Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи среднего уровня.

 

 

Задача 1. В комнате объема V = 60 м^3 испарили капельку духов, содержащую m= 10^{-4} г ароматического вещества. Сколько молекул ароматического вещества попадает в легкие человека при каждом вздохе? Объем вдыхаемого воздуха V_B =1 дм^3. Молярная масса ароматического вещества M = 1 кг / моль.

Молекулы духов распространились по всей комнате и распределились по всему ее объему. Всего молекул в капельке было:

    \[N=\nu N_A=\frac{m}{M}N_A\]

Число молекул во вдыхаемом воздухе так относится к общему числу молекул, как сам этот объем относится к полному объему комнаты:

    \[\frac{N_1}{N}=\frac{ V_B }{V}\]

Тогда

    \[N_1=\frac{ V_B N}{V}=\frac{ V_B m N_A}{VM}=\frac{ 10^{-3}\cdot10^{-4}\cdot6\cdot10^{23}}{60}=10^{12}\]

Ответ: N=10^{12}.

К задаче 2

Задача 2. При взрыве атомной бомбы (М = 1 кг плутония 242Рu) получается одна радиоактивная частица на каждый атом плутония. Предполагая, что ветры равномерно перемешивают эти частицы во всей атмосфере, подсчитайте число радиоактивных частиц, попадающих в объем V = 1 дм^3 воздуха у поверхности Земли. Радиус Земли принять равным R_Z= 6\cdot10^6 м.

Данных этой задачи, на мой взгляд, недостаточно. Нужно бы знать толщину атмосферы, иначе как посчитать ее объем? Примем толщину атмосферы равной 10 км и будем считать ее равноплотной. Тогда количество частиц, которые образуются при взрыве, равно

    \[N=\nu N_A=\frac{m}{M}N_A\]

Они равномерно распределятся, и число частиц в V = 1 дм^3 воздуха у поверхности Земли так относится к общему числу молекул, как сам этот объем относится к полному объему атмосферы:

    \[\frac{N_1}{N}=\frac{ V }{V_a}\]

Тогда

    \[N_1=\frac{ V N}{V_a}=\frac{ V m N_A}{V_a M}\]

Определим объем атмосферы. Для этого определим объем нашей Земли вместе с атмосферой, а затем вычтем объем планеты:

    \[V_a=V_{az}-V_z=\frac{4\pi (R+h)^3}{3}-\frac{4\pi R^3}{3}=\frac{4h\pi}{3}((R+h)^3-R^3)\]

    \[V_a=\frac{4\pi h}{3}(R^2+Rh+h^2)= \frac{4\pi \cdot10^4}{3}(36\cdot10^{12}+6\cdot10^6 \cdot10^4+10^8)= \frac{4\pi\cdot10^{12}}{3}(360000+600+1)=1,51\cdot 10^{18}\]

Следовательно,

    \[N_1=\frac{ V m N_A}{V_a M}=\frac{ 10^{-3}\cdot6\cdot10^{23}}{1,51\cdot 10^{18}\cdot0,242}=16\cdot10^2\]

Если же принять толщину атмосферы в 100 км, то результат будет 9 частиц на дм^3.

 

Задача 3. Спутник сечения S = 1 м^2 движется с первой космической скоростью \upsilon = 7,9 км/с по околоземной орбите. Давление воздуха на высоте орбиты (h = 200 км) p= 1,37\cdot 10^{-4} Па, температура Т = 1226 К. Определите число столкновений спутника с молекулами воздуха в единицу времени.

К задаче 3

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[pV=\nu RT\]

Так как N=\nu N_A, то можно переписать это таким образом:

    \[pV N_A= N RT\]

Разделим на время правую и левую части равенства:

    \[\frac{pV N_A}{t}= \frac{N RT}{t}\]

Искомая величина – \frac{N}{t}, из последнего уравнения она равна

    \[\frac{N}{t}=\frac{pV N_A}{RTt}\]

Но объем, «покрываемый» ракетой за время t, равен

    \[\frac{V}{t}=\frac{Sl}{t}=S\upsilon\]

Тогда

    \[\frac{N}{t}=\frac{p N_A}{RT}\cdot \frac{V}{t}=\frac{p N_A S\upsilon }{RT}\]

Подставим числа:

    \[\frac{N}{t}=\frac{1,37\cdot 10^{-4} \cdot6\cdot10^{23}\cdot 1\cdot 7900}{8,31\cdot 1226}=6,37\cdot 10^{19}\]

Ответ: 6,37\cdot 10^{19} c^{-1}.

 

Задача 4. Некоторая масса водорода занимает объем 10 дм^3 при давлении p = 10^7 Па и температуре t = 20^{\circ} С. Какая масса водорода израсходована, если при сжигании оставшегося водорода образовалось 0,5 дм^3 воды?

Заметим, что 0,5 дм^3 воды – это пол-литра, а пол-литра – это полкило воды. Однако на экзамене все эти доводы надо оформить соответствующим образом.  Найдем массу воды m_v через ее объем V_v  и плотность:

    \[m_v=\rho_v V_v\]

Тогда количество вещества воды равно

    \[\nu=\frac{m_v}{M_v}=\frac{\rho_v V_v }{ M_v }\]

Интересно, что и в молекуле водорода, и в молекуле воды два атома водорода. Следовательно, количество вещества воды и количество вещества оставшегося водорода совпадают. Тогда, если водорода было \nu_1, а осталось \nu, то потратили

    \[\Delta \nu=\nu_1-\nu\]

А по массе это

    \[m=(\nu_1-\nu)M_{H_2}\]

Определим количество вещества, которое было изначально:

    \[pV=\nu_1 RT\]

    \[\nu_1=\frac{ pV }{ RT }\]

    \[m=(\frac{ pV }{ RT }-\frac{\rho_v V_v }{ M_v })M_{H_2}\]

Подставим числа:

    \[m=(\frac{ 10^7\cdot 10^{-2} }{ 8,31\cdot 293 }-\frac{10^3\cdot 0,5\cdot10^{-3} }{ 0,018 })0,002=0,0266\]

Ответ: m = 26,6 г.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *