Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения задач посложнее.
[latexpage]
Задача 1. Пар органического соединения углерода ${C_6}^12$, водорода ${H_1}^1$ и кислорода ${O_2}^16$, формула которого $(C_3H_6O)_n$, массой 716 мг, занимает при температуре $ t=200^{\circ}C$ и давлении $p=10^5$ Па объем $V=242,6$ см$^3$. Найти число $n$.
Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона
$$pV=\nu RT$$
$$pV=\frac{m RT}{M}$$
Молярная масса вещества равна:
$$M=\frac{m RT}{pV}=\frac{0,716 \cdot10^{-3}\cdot 8,31\cdot473}{10^5\cdot242,6 \cdot10^{-6}}=116 \cdot10^{-3}$$
В формулу подставлена абсолютная температура $T=t+273^{\circ}=473^{\circ}$ К и объем выражен в м$^3$: $V=242,6 \cdot10^{-6}$.
$M=116\cdot10^{-3}$ кг/моль, или 116 г/моль, или молекулярная масса равна 116 а.е.м. – то есть в состав соединения войдет три атома углерода с молекулярной массой 12 а.е.м., 6 атомов водорода с молекулярной массой 1 а.е.м. и атом кислорода с молекулярной массой 16 а.е.м. –молекулярная масса такого соединения $12\cdot3+6+16=58$, сравнивая с полученной молекулярной массой, получаем $n=2$ .
Ответ: $n=2$.
Задача 2. Один моль гелия находится при температуре $T_1=300$ К в вертикальном закрытом теплоизолированном цилиндре с поршнем массой $m_p=2$ кг и диаметром $d=10$ см. На поршень ставят гирю массой $m_g=3$ кг. При этом поршень опускается на $h=5$ см. Определить установившуюся температуру газа, если атмосферное давление $p_0=10^5$ Па.
Газ давит на поршень снизу. Сверху на газ давит атмосфера, к давлению которой надо добавить вес поршня, то есть изначально давление газа равно
$$p_1=p_0+\frac{P_p}{S_p}=p_0+\frac{m_pg}{S_p}$$
Где $S_p$ – площадь поверхности поршня, $S_p=\frac{\pi d^2}{4}$.
С другой стороны, давление газа можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$p_1V_1=\nu RT_1$$
$$p_1=\frac{\nu RT_1 }{V_1}$$
Объем газа до установки гири тогда можно определить:
$$p_0+\frac{m_pg}{S_p}=\frac{\nu RT_1 }{V_1}$$
$$V_1=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}$$
Когда на поршень устанавливают гирю, меняется давление на газ – и, соответственно, давление газа, и также меняется объем. Объем уменьшится на величину:
$$\Delta V=S_p h$$
И станет
$$V_2=V_1-\Delta V=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h$$
После установки гири давление на газ становится равным:
$$p_2=p_0+\frac{P_p}{S_p}+\frac{P_g}{S_p}= p_0+\frac{m_pg}{S_p}+\frac{m_gg}{S_p}$$
$$p_2= p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}$$
С другой стороны, для газа в новом состоянии можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона:
$$p_2V_2=\nu RT_2$$
$$T_2=\frac{p_2 V_2}{\nu R }$$
$$T_2=\frac{ \left(p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h \right)}{\nu R }$$
Умножим и разделим на площадь поверхности поршня:
$$T_2=\frac{ \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ S_pp_0+m_pg}- h \right)}{\nu R }$$
Наконец, избавимся от знаменателя дроби:
$$T_2= \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{T_1 }{ S_pp_0+m_pg}- \frac{h}{\nu R} \right)$$
Подставляем $S_p=\frac{\pi d^2}{4}$:
$$T_2= \left(\frac{\pi d^2}{4}p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{4T_1 }{ \pi d^2p_0+4m_pg}- \frac{h}{\nu R} \right)$$
Наконец, числа:
$$T_2= \left(\frac{0.0314\cdot10^5}{4}+10(2+ 3)\right)\left(\frac{4\cdot300 }{ 0.0314\cdot10^5+4\cdot2\cdot10}- \frac{0,05}{8,31} \right)$$
$$T_2= \left(785+50\right)\left(\frac{1200 }{ 3220}- \frac{0,05}{8,31} \right)=306$$
Ответ: 306 К
Задача 3. Состояние идеального газа массой $m$ изменяется в соответствии с законом $\frac{p^2}{T}=a$, где $a$ – известная константа. Определить зависимость давления газа от его объема в этом процессе. Молярная масса газа равна $M$.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона:
$$pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT$$
$\frac{p^2}{T}=a$, откуда $p\cdot\frac{p}{T}=a$, или $p=\frac{aT}{p}$
Подставим в уравнение:
$$\frac{aT}{p}V=\frac{m}{M}RT$$
$$\frac{1}{p}=\frac{mR}{VMa}$$
Откуда
$$p=\frac{VMa}{mR}=\frac{Ma}{mR}V$$
Задача 4. Процесс в идеальном газе идет так, что давление и объем связаны равенством $p\sqrt{V}=B$. Когда температура газа достигает значения $T$, процесс продолжается при другом характере зависимости давления от объема: $p=\frac{D}{V^2}$. Найти температуру $T$, считая количество молей газа, константы $B$ и $D$ известными.
В уравнение Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$ подставим произведение $pV$, которое найдем из заданной зависимости
$$p\sqrt{V}=B$$
$$pV=B\sqrt{V}$$
$$B\sqrt{V}=\nu RT $$
Или, выражая объем, получим:
$$V=\left(\frac{\nu RT }{B}\right)^2$$
Теперь запишем новый закон, которому подчиняется состояние газа:
$$pV=\nu RT$$
$$\frac{D}{V^2}V=\nu RT$$
$$\frac{D}{V}=\nu RT$$
Подставляем найденный ранее объем:
$$\frac{DB^2}{(\nu RT)^2 }=\nu RT$$
Или
$$DB^2=(\nu RT)^3$$
Или
$$\nu RT=\sqrt[3]{DB^2}$$
Но тогда температура газа:
$$T=\frac{\sqrt[3]{DB^2}}{\nu R }$$
Задача 5. Газгольдер (баллон с предохранительным клапаном) содержит водород при $ t=15^{\circ}C$ и давлении $p=10^5$ Па. При нагревании баллона до $ t=37^{\circ}C$ через клапан выходит водород массой $m=6$ кг, вследствие чего давление не изменяется. Определить объем баллона.
Итак, сначала состояние газа описывалось уравнением:
$$p_1V=\nu RT_1$$
$$p_1V=\frac{m_1}{M} RT_1$$
Масса газа в баллоне была, соответственно:
$$m_1=\frac{Mp_1V}{RT_1}$$
Понятно, что после установления нового равновесия масса газа в баллоне станет:
$$m_2=\frac{Mp_2V}{RT_2}$$
По условию задачи $m_1-m_2=m$, $p_1=p_2$:
$$m=\frac{MpV}{RT_1}-\frac{MpV}{RT_2}$$
$$m=\frac{MpV}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)= \frac{MpV}{R}\left(\frac{T_2-T_1}{T_1T_2}\right)$$
Откуда объем сосуда равен:
$$V=\frac{mR}{pM}\left(\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\right)$$
Подставим числа, не забыв перевести температуры в абсолютные: $T_1=t_1+273^{\circ}=288^{\circ}$ К, $T_2=t_2+273^{\circ}=310^{\circ}$ К
$$V=\frac{6\cdot8,31}{10^5\cdot0,002}\left(\frac{288\cdot310}{22}\right)=1011$$
Ответ: объем газгольдера 1011 м$^3$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...