Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи посложнее

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения задач посложнее.

Задача 1. Пар органического соединения углерода ${C_6}^12$ , водорода ${H_1}^1$ и кислорода ${O_2}^16$ , формула которого $(C_3H_6O)_n$ , массой 716 мг, занимает при температуре $t=200^{\circ}C$ и давлении $p=10^5$ Па объем $V=242,6$ см $^3$ . Найти число $n$ .

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$pV=\nu RT$

$pV=\frac{m RT}{M}$

Молярная масса вещества равна:

$M=\frac{m RT}{pV}=\frac{0,716 \cdot10^{-3}\cdot 8,31\cdot473}{10^5\cdot242,6 \cdot10^{-6}}=116 \cdot10^{-3}$

В формулу подставлена абсолютная температура $T=t+273^{\circ}=473^{\circ}$ К и объем выражен в м $^3$ : $V=242,6 \cdot10^{-6}$ .

$M=116\cdot10^{-3}$ кг/моль, или 116 г/моль, или молекулярная масса равна 116 а.е.м. – то есть в состав соединения войдет три атома углерода с молекулярной массой 12 а.е.м., 6 атомов водорода с молекулярной массой 1 а.е.м. и атом кислорода с молекулярной массой 16 а.е.м. –молекулярная масса такого соединения $12\cdot3+6+16=58$ , сравнивая с полученной молекулярной массой, получаем $n=2$ .

Ответ: $n=2$ .

Задача 2. Один моль гелия находится при температуре $T_1=300$ К в вертикальном закрытом теплоизолированном цилиндре с поршнем массой $m_p=2$ кг и диаметром $d=10$ см. На поршень ставят гирю массой $m_g=3$ кг. При этом поршень опускается на $h=5$ см. Определить установившуюся температуру газа, если атмосферное давление $p_0=10^5$ Па.

Газ давит на поршень снизу. Сверху на газ давит атмосфера, к давлению которой надо добавить вес поршня, то есть изначально давление газа равно

$p_1=p_0+\frac{P_p}{S_p}=p_0+\frac{m_pg}{S_p}$

Где $S_p$ – площадь поверхности поршня, $S_p=\frac{\pi d^2}{4}$ .

С другой стороны, давление газа можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$p_1V_1=\nu RT_1$

$p_1=\frac{\nu RT_1 }{V_1}$

Объем газа до установки гири тогда можно определить:

$p_0+\frac{m_pg}{S_p}=\frac{\nu RT_1 }{V_1}$

$V_1=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}$

Когда на поршень устанавливают гирю, меняется давление на газ – и, соответственно, давление газа, и также меняется объем. Объем уменьшится на величину:

$\Delta V=S_p h$

И станет

$V_2=V_1-\Delta V=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h$

После установки гири давление на газ становится равным:

$p_2=p_0+\frac{P_p}{S_p}+\frac{P_g}{S_p}= p_0+\frac{m_pg}{S_p}+\frac{m_gg}{S_p}$

$p_2= p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}$

С другой стороны, для газа в новом состоянии можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона:

$p_2V_2=\nu RT_2$

$T_2=\frac{p_2 V_2}{\nu R }$

$T_2=\frac{ \left(p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h \right)}{\nu R }$

Умножим и разделим на площадь поверхности поршня:

$T_2=\frac{ \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ S_pp_0+m_pg}- h \right)}{\nu R }$

Наконец, избавимся от знаменателя дроби:

$T_2= \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{T_1 }{ S_pp_0+m_pg}- \frac{h}{\nu R} \right)$

Подставляем $S_p=\frac{\pi d^2}{4}$ :

$T_2= \left(\frac{\pi d^2}{4}p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{4T_1 }{ \pi d^2p_0+4m_pg}- \frac{h}{\nu R} \right)$

Наконец, числа:

$T_2= \left(\frac{0.0314\cdot10^5}{4}+10(2+ 3)\right)\left(\frac{4\cdot300 }{ 0.0314\cdot10^5+4\cdot2\cdot10}- \frac{0,05}{8,31} \right)$

$T_2= \left(785+50\right)\left(\frac{1200 }{ 3220}- \frac{0,05}{8,31} \right)=306$

Ответ: 306 К

Задача 3. Состояние идеального газа массой $m$ изменяется в соответствии с законом $\frac{p^2}{T}=a$ , где $a$ – известная константа. Определить зависимость давления газа от его объема в этом процессе. Молярная масса газа равна $M$ .

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT$

$\frac{p^2}{T}=a$ , откуда $p\cdot\frac{p}{T}=a$ , или $p=\frac{aT}{p}$

Подставим в уравнение:

$\frac{aT}{p}V=\frac{m}{M}RT$

$\frac{1}{p}=\frac{mR}{VMa}$

Откуда

$p=\frac{VMa}{mR}=\frac{Ma}{mR}V$

Задача 4. Процесс в идеальном газе идет так, что давление и объем связаны равенством $p\sqrt{V}=B$ . Когда температура газа достигает значения $T$ , процесс продолжается при другом характере зависимости давления от объема: $p=\frac{D}{V^2}$ . Найти температуру $T$ , считая количество молей газа, константы $B$ и $D$ известными.

В уравнение Менделеева-Клапейрона $pV=\nu RT$ подставим произведение $pV$ , которое найдем из заданной зависимости

$p\sqrt{V}=B$

$pV=B\sqrt{V}$

$B\sqrt{V}=\nu RT$

Или, выражая объем, получим:

$V=\left(\frac{\nu RT }{B}\right)^2$

Теперь запишем новый закон, которому подчиняется состояние газа:

$pV=\nu RT$

$\frac{D}{V^2}V=\nu RT$

$\frac{D}{V}=\nu RT$

Подставляем найденный ранее объем:

$\frac{DB^2}{(\nu RT)^2 }=\nu RT$

Или

$DB^2=(\nu RT)^3$

Или

$\nu RT=\sqrt[3]{DB^2}$

Но тогда температура газа:

$T=\frac{\sqrt[3]{DB^2}}{\nu R }$

Задача 5. Газгольдер (баллон с предохранительным клапаном) содержит водород при $t=15^{\circ}C$ и давлении $p=10^5$ Па. При нагревании баллона до $t=37^{\circ}C$ через клапан выходит водород массой $m=6$ кг, вследствие чего давление не изменяется. Определить объем баллона.