Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи посложнее

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения задач посложнее.

[latexpage]

Задача 1. Пар органического соединения углерода ${C_6}^12$, водорода ${H_1}^1$ и кислорода ${O_2}^16$, формула которого $(C_3H_6O)_n$, массой 716 мг, занимает при температуре $ t=200^{\circ}C$ и давлении $p=10^5$ Па объем $V=242,6$ см$^3$. Найти число $n$.

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

$$pV=\nu RT$$

$$pV=\frac{m RT}{M}$$

Молярная масса вещества равна:

$$M=\frac{m RT}{pV}=\frac{0,716 \cdot10^{-3}\cdot 8,31\cdot473}{10^5\cdot242,6 \cdot10^{-6}}=116 \cdot10^{-3}$$

В формулу подставлена абсолютная температура $T=t+273^{\circ}=473^{\circ}$ К и объем выражен в м$^3$: $V=242,6 \cdot10^{-6}$.

$M=116\cdot10^{-3}$ кг/моль, или 116 г/моль, или молекулярная масса равна 116 а.е.м. – то есть в состав соединения войдет три атома углерода с молекулярной массой 12 а.е.м., 6 атомов водорода с молекулярной массой 1 а.е.м.  и атом кислорода с молекулярной массой 16 а.е.м. –молекулярная масса такого соединения $12\cdot3+6+16=58$, сравнивая с полученной молекулярной массой, получаем $n=2$ .

Ответ: $n=2$.

Задача 2. Один моль гелия находится при температуре $T_1=300$ К в вертикальном закрытом теплоизолированном цилиндре с поршнем массой $m_p=2$ кг и диаметром $d=10$ см. На поршень ставят гирю массой $m_g=3$ кг. При этом поршень опускается на $h=5$ см. Определить установившуюся температуру газа, если атмосферное давление $p_0=10^5$ Па.

Газ давит на поршень снизу. Сверху на газ  давит атмосфера, к давлению которой надо добавить вес поршня, то есть изначально давление газа равно

$$p_1=p_0+\frac{P_p}{S_p}=p_0+\frac{m_pg}{S_p}$$

Где $S_p$ – площадь поверхности поршня, $S_p=\frac{\pi d^2}{4}$.

С другой стороны, давление газа можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$$p_1V_1=\nu RT_1$$

$$p_1=\frac{\nu RT_1 }{V_1}$$

Объем газа до установки гири тогда можно определить:

$$p_0+\frac{m_pg}{S_p}=\frac{\nu RT_1 }{V_1}$$

$$V_1=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}$$

Когда на поршень устанавливают гирю, меняется давление на газ – и, соответственно, давление газа, и также меняется объем. Объем уменьшится на величину:

$$\Delta V=S_p h$$

И станет

$$V_2=V_1-\Delta V=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h$$

После установки гири давление на газ становится равным:

$$p_2=p_0+\frac{P_p}{S_p}+\frac{P_g}{S_p}= p_0+\frac{m_pg}{S_p}+\frac{m_gg}{S_p}$$

$$p_2= p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}$$

С другой стороны, для газа в новом состоянии можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона:

$$p_2V_2=\nu RT_2$$

$$T_2=\frac{p_2 V_2}{\nu R }$$

$$T_2=\frac{ \left(p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h \right)}{\nu R }$$

Умножим и разделим на площадь поверхности поршня:

$$T_2=\frac{ \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ S_pp_0+m_pg}-  h \right)}{\nu R }$$

Наконец, избавимся от знаменателя дроби:

$$T_2= \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{T_1 }{ S_pp_0+m_pg}-  \frac{h}{\nu R} \right)$$

Подставляем $S_p=\frac{\pi d^2}{4}$:

$$T_2= \left(\frac{\pi d^2}{4}p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{4T_1 }{ \pi d^2p_0+4m_pg}-  \frac{h}{\nu R} \right)$$

Наконец, числа:

$$T_2= \left(\frac{0.0314\cdot10^5}{4}+10(2+ 3)\right)\left(\frac{4\cdot300 }{ 0.0314\cdot10^5+4\cdot2\cdot10}-  \frac{0,05}{8,31} \right)$$

$$T_2= \left(785+50\right)\left(\frac{1200 }{ 3220}-  \frac{0,05}{8,31} \right)=306$$

Ответ: 306 К

Задача 3. Состояние идеального газа массой $m$ изменяется в соответствии с законом $\frac{p^2}{T}=a$, где $a$ – известная константа. Определить зависимость давления газа от его объема в этом процессе. Молярная  масса газа равна $M$.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

$$pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT$$

$\frac{p^2}{T}=a$, откуда $p\cdot\frac{p}{T}=a$, или $p=\frac{aT}{p}$

Подставим в уравнение:

$$\frac{aT}{p}V=\frac{m}{M}RT$$

$$\frac{1}{p}=\frac{mR}{VMa}$$

Откуда

$$p=\frac{VMa}{mR}=\frac{Ma}{mR}V$$

Задача 4. Процесс в идеальном газе идет так, что давление и объем связаны равенством $p\sqrt{V}=B$. Когда температура газа достигает значения $T$, процесс продолжается при другом характере зависимости давления от объема: $p=\frac{D}{V^2}$. Найти температуру $T$, считая количество молей газа, константы $B$ и $D$ известными.

В уравнение Менделеева-Клапейрона  $pV=\nu RT$ подставим произведение $pV$, которое найдем из заданной зависимости

$$p\sqrt{V}=B$$

$$pV=B\sqrt{V}$$

$$B\sqrt{V}=\nu RT $$

Или, выражая объем, получим:

$$V=\left(\frac{\nu RT }{B}\right)^2$$

Теперь запишем новый закон, которому подчиняется состояние газа:

$$pV=\nu RT$$

$$\frac{D}{V^2}V=\nu RT$$

$$\frac{D}{V}=\nu RT$$

Подставляем найденный ранее объем:

$$\frac{DB^2}{(\nu RT)^2 }=\nu RT$$

Или

$$DB^2=(\nu RT)^3$$

Или

$$\nu RT=\sqrt[3]{DB^2}$$

Но тогда температура газа:

$$T=\frac{\sqrt[3]{DB^2}}{\nu R }$$

Задача 5. Газгольдер (баллон с предохранительным клапаном) содержит водород при $ t=15^{\circ}C$ и давлении $p=10^5$ Па. При  нагревании баллона до $ t=37^{\circ}C$ через клапан выходит водород массой $m=6$ кг, вследствие чего давление не изменяется. Определить объем баллона.

Итак, сначала состояние газа описывалось уравнением:

$$p_1V=\nu RT_1$$

$$p_1V=\frac{m_1}{M} RT_1$$

Масса газа в баллоне была, соответственно:

$$m_1=\frac{Mp_1V}{RT_1}$$

Понятно, что после установления нового равновесия масса газа в баллоне станет:

$$m_2=\frac{Mp_2V}{RT_2}$$

По условию задачи $m_1-m_2=m$, $p_1=p_2$:

$$m=\frac{MpV}{RT_1}-\frac{MpV}{RT_2}$$

$$m=\frac{MpV}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)= \frac{MpV}{R}\left(\frac{T_2-T_1}{T_1T_2}\right)$$

Откуда объем сосуда равен:

$$V=\frac{mR}{pM}\left(\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\right)$$

Подставим числа, не забыв перевести температуры в абсолютные: $T_1=t_1+273^{\circ}=288^{\circ}$ К, $T_2=t_2+273^{\circ}=310^{\circ}$ К

$$V=\frac{6\cdot8,31}{10^5\cdot0,002}\left(\frac{288\cdot310}{22}\right)=1011$$

Ответ: объем газгольдера 1011 м$^3$.