Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи посложнее

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения задач посложнее.

Задача 1. Пар органического соединения углерода {C_6}^12, водорода {H_1}^1 и кислорода {O_2}^16, формула которого (C_3H_6O)_n, массой 716 мг, занимает при температуре t=200^{\circ}C и давлении p=10^5 Па объем V=242,6 см^3. Найти число n.

Согласно уравнению Менделеева-Клапейрона

    \[pV=\nu RT\]

    \[pV=\frac{m RT}{M}\]

Молярная масса вещества равна:

    \[M=\frac{m RT}{pV}=\frac{0,716 \cdot10^{-3}\cdot 8,31\cdot473}{10^5\cdot242,6 \cdot10^{-6}}=116 \cdot10^{-3}\]

В формулу подставлена абсолютная температура T=t+273^{\circ}=473^{\circ} К и объем выражен в м^3: V=242,6 \cdot10^{-6}.

M=116\cdot10^{-3} кг/моль, или 116 г/моль, или молекулярная масса равна 116 а.е.м. – то есть в состав соединения войдет три атома углерода с молекулярной массой 12 а.е.м., 6 атомов водорода с молекулярной массой 1 а.е.м.  и атом кислорода с молекулярной массой 16 а.е.м. –молекулярная масса такого соединения 12\cdot3+6+16=58, сравнивая с полученной молекулярной массой, получаем n=2 .

Ответ: n=2.

 

Задача 2. Один моль гелия находится при температуре T_1=300 К в вертикальном закрытом теплоизолированном цилиндре с поршнем массой m_p=2 кг и диаметром d=10 см. На поршень ставят гирю массой m_g=3 кг. При этом поршень опускается на h=5 см. Определить установившуюся температуру газа, если атмосферное давление p_0=10^5 Па.

Газ давит на поршень снизу. Сверху на газ  давит атмосфера, к давлению которой надо добавить вес поршня, то есть изначально давление газа равно

    \[p_1=p_0+\frac{P_p}{S_p}=p_0+\frac{m_pg}{S_p}\]

Где S_p – площадь поверхности поршня, S_p=\frac{\pi d^2}{4}.

С другой стороны, давление газа можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

    \[p_1V_1=\nu RT_1\]

    \[p_1=\frac{\nu RT_1 }{V_1}\]

Объем газа до установки гири тогда можно определить:

    \[p_0+\frac{m_pg}{S_p}=\frac{\nu RT_1 }{V_1}\]

    \[V_1=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}\]

Когда на поршень устанавливают гирю, меняется давление на газ – и, соответственно, давление газа, и также меняется объем. Объем уменьшится на величину:

    \[\Delta V=S_p h\]

И станет

    \[V_2=V_1-\Delta V=\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h\]

После установки гири давление на газ становится равным:

    \[p_2=p_0+\frac{P_p}{S_p}+\frac{P_g}{S_p}= p_0+\frac{m_pg}{S_p}+\frac{m_gg}{S_p}\]

    \[p_2= p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}\]

С другой стороны, для газа в новом состоянии можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона:

    \[p_2V_2=\nu RT_2\]

    \[T_2=\frac{p_2 V_2}{\nu R }\]

    \[T_2=\frac{ \left(p_0+\frac{g(m_p+ m_g)}{S_p}\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ p_0+\frac{m_pg}{S_p}}- S_p h \right)}{\nu R }\]

Умножим и разделим на площадь поверхности поршня:

    \[T_2=\frac{ \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{\nu RT_1 }{ S_pp_0+m_pg}-  h \right)}{\nu R }\]

Наконец, избавимся от знаменателя дроби:

    \[T_2= \left(S_p p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{T_1 }{ S_pp_0+m_pg}-  \frac{h}{\nu R} \right)\]

Подставляем S_p=\frac{\pi d^2}{4}:

    \[T_2= \left(\frac{\pi d^2}{4}p_0+g(m_p+ m_g)\right)\left(\frac{4T_1 }{ \pi d^2p_0+4m_pg}-  \frac{h}{\nu R} \right)\]

Наконец, числа:

    \[T_2= \left(\frac{0.0314\cdot10^5}{4}+10(2+ 3)\right)\left(\frac{4\cdot300 }{ 0.0314\cdot10^5+4\cdot2\cdot10}-  \frac{0,05}{8,31} \right)\]

    \[T_2= \left(785+50\right)\left(\frac{1200 }{ 3220}-  \frac{0,05}{8,31} \right)=306\]

Ответ: 306 К

Задача 3. Состояние идеального газа массой m изменяется в соответствии с законом \frac{p^2}{T}=a, где a – известная константа. Определить зависимость давления газа от его объема в этом процессе. Молярная  масса газа равна M.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

    \[pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT\]

\frac{p^2}{T}=a, откуда p\cdot\frac{p}{T}=a, или p=\frac{aT}{p}

Подставим в уравнение:

    \[\frac{aT}{p}V=\frac{m}{M}RT\]

    \[\frac{1}{p}=\frac{mR}{VMa}\]

Откуда

    \[p=\frac{VMa}{mR}=\frac{Ma}{mR}V\]

 

Задача 4. Процесс в идеальном газе идет так, что давление и объем связаны равенством p\sqrt{V}=B. Когда температура газа достигает значения T, процесс продолжается при другом характере зависимости давления от объема: p=\frac{D}{V^2}. Найти температуру T, считая количество молей газа, константы B и D известными.

В уравнение Менделеева-Клапейрона  pV=\nu RT подставим произведение pV, которое найдем из заданной зависимости

    \[p\sqrt{V}=B\]

    \[pV=B\sqrt{V}\]

    \[B\sqrt{V}=\nu RT\]

Или, выражая объем, получим:

    \[V=\left(\frac{\nu RT }{B}\right)^2\]

Теперь запишем новый закон, которому подчиняется состояние газа:

    \[pV=\nu RT\]

    \[\frac{D}{V^2}V=\nu RT\]

    \[\frac{D}{V}=\nu RT\]

Подставляем найденный ранее объем:

    \[\frac{DB^2}{(\nu RT)^2 }=\nu RT\]

Или

    \[DB^2=(\nu RT)^3\]

Или

    \[\nu RT=\sqrt[3]{DB^2}\]

Но тогда температура газа:

    \[T=\frac{\sqrt[3]{DB^2}}{\nu R }\]

 

Задача 5. Газгольдер (баллон с предохранительным клапаном) содержит водород при t=15^{\circ}C и давлении p=10^5 Па. При  нагревании баллона до t=37^{\circ}C через клапан выходит водород массой m=6 кг, вследствие чего давление не изменяется. Определить объем баллона.

Итак, сначала состояние газа описывалось уравнением:

    \[p_1V=\nu RT_1\]

    \[p_1V=\frac{m_1}{M} RT_1\]

Масса газа в баллоне была, соответственно:

    \[m_1=\frac{Mp_1V}{RT_1}\]

Понятно, что после установления нового равновесия масса газа в баллоне станет:

    \[m_2=\frac{Mp_2V}{RT_2}\]

По условию задачи m_1-m_2=m, p_1=p_2:

    \[m=\frac{MpV}{RT_1}-\frac{MpV}{RT_2}\]

    \[m=\frac{MpV}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\right)= \frac{MpV}{R}\left(\frac{T_2-T_1}{T_1T_2}\right)\]

Откуда объем сосуда равен:

    \[V=\frac{mR}{pM}\left(\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\right)\]

Подставим числа, не забыв перевести температуры в абсолютные: T_1=t_1+273^{\circ}=288^{\circ} К, T_2=t_2+273^{\circ}=310^{\circ} К

    \[V=\frac{6\cdot8,31}{10^5\cdot0,002}\left(\frac{288\cdot310}{22}\right)=1011\]

Ответ: объем газгольдера 1011 м^3.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *