Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи посложнее 2


Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения задач посложнее.

Задача 1. В неплотно закрытом баллоне объемом V=10^{-2} м^3 при температуре 293 К и давлении 10МПа находится водород. Сколько водорода было потеряно, если из оставшегося водорода может образоваться вода массой 0,5 кг?

Определим сначала, сколько водорода было при данных условиях:

    \[pV=\nu RT\]

    \[\nu=\frac{pV}{RT}=\frac{10\cdot 10^6\cdot 10^{-2}}{8,31 \cdot 293}=41\]

Итак, водорода было ровно 41 моль. Теперь выясним, сколько осталось. Молярная масса воды – 18 г/моль. Поэтому в 0,5 кг содержится \nu_1=\frac{m}{M}=\frac{500}{18}=28 моль воды. Так как в каждую молекулу воды входит два атома водорода, то и газообразного водорода из такого количества воды получилось бы ровно 28 моль. Поэтому утечка составила 41-28=13 моль. Можно перевести это количество в массу: 13 моль водорода весят 13\cdot 0,002=26 г.

Ответ: 26 г.

 

Задача 2. В сосуде объемом 1 л находится идеальный газ. Сколько молекул газа нужно выпустить из сосуда, чтобы при понижении температуры в 2 раза его давление уменьшилось в 4 раза? Первоначальная концентрация молекул n_1=2\cdot 10^26 м^{-3}.

Запишем, что было вначале:

    \[p_1V=\nu RT_1=\frac{N_1}{N_A}RT_1\]

    \[p_1=\frac{n_1}{N_A}RT_1\]

    \[n_1 =\frac{ p_1N_A }{ RT_1 }\]

 

Тогда для второго состояния

    \[n_2 =\frac{ p_2N_A }{ RT_2 }\]

    \[p_2=\frac{p_1}{4}\]

    \[T_2=\frac{T_1}{2}\]

Подставим:

    \[n_2 =\frac{ 2p_1N_A }{4 RT_1 }=\frac{ p_1N_A }{2 RT_1 }\]

Разделим теперь n_1 на n_2:

    \[\frac{n_1}{n_2}=2\]

Иными словами, нужно выпустить половину молекул, или \frac{n_1}{2}=10^23 молекул, учитывая, что в литре их количество в тысячу раз меньше, чем в кубическом метре.

Ответ: 10^23 молекул.

Задача 3. По трубе, площадь сечения которой S=5 \cdot 10^{-4} м^2, течет углекислый газ CO_2 под давлением  p=3,92\cdot10^5 Па при температуре T=280 К. Найти среднюю скорость протекания газа по трубе, если через поперечное сечение за время t=10 мин.  проходит газ массой 20 кг.

Скорость газа нам необходимо получить в м/с. Пока что у нас есть некоторая величина \frac{m}{t}, которую можно выразить в кг/с: \frac{m}{t}=\frac{20}{600}=\frac{1}{30}.

Уравнение состояния газа:

    \[pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT\]

Объем газа: V=lS, где S – поперечное сечение трубы, l – длина.

Тогда можем записать уравнение так:

    \[pSl=\frac{m}{M}RT\]

    \[\frac{pSl}{t}=\frac{m}{tM}RT\]

Разделив уравнение на время t, мы получили слева отношение \frac{l}{t} – как раз скорость, а справа ту самую величину \frac{m}{t}, которую мы знаем. Тогда:

    \[\upsilon pS=\frac{m}{tM}RT\]

    \[\upsilon =\frac{m}{t}\frac{RT }{M pS }= \frac{1}{30}\frac{8,31\cdot280 }{0,044\cdot 3,92\cdot10^5\cdot 5 \cdot 10^{-4}}=8,9\]

Ответ: скорость газа 8,9 м/с

 

Задача 4. Аэростат объемом V=300 м^3 наполняется молекулярным водородом при температуре T=300 К и давлении p=10^5 Па. Какое время будет производиться наполнение оболочки аэростата, если из баллонов каждую секунду переходит в аэростат \Delta m=25 г водорода? До наполнения оболочка водорода не содержала, газ считать идеальным.

Нам опять дана величина \frac{\Delta m}{t}=\frac{25\cdot10^{-3}}{1}.

Найдем массу газа в аэростате:

    \[pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT\]

    \[m =\frac{pVM}{RT}\]

Время наполнения оболочки аэростата тогда t=\frac{m}{\Delta m}

    \[t=\frac{m}{\Delta m}=\frac{pVM}{RT\Delta m}=\frac{10^5\cdot300 \cdot0,002}{8,31\cdot300\cdot0,025}=962,7\]

Получили результат в секундах, тогда в минутах это \frac{962,7}{60}=16 минут.

Ответ: 16 минут.

Задача 5. Цилиндрический сосуд длиной l=85 см разделен на две части легкоподвижным поршнем. При каком положении поршня давление в обеих частях сосуда будет одинаковым, если одна часть заполнена кислородом, а другая водородом такой же массы? Температура в обеих частях цилиндра одинакова.

Для кислорода:

    \[pV_{O_2}=\frac{m}{M_{O_2}}RT\]

Для водорода:

    \[pV_{H_2}=\frac{m}{M_{H_2}}RT\]

Давление и температура газов одинаковы, массы тоже. Разделим уравнения друг на друга:

    \[\frac{ V_{O_2}}{ V_{H_2}}=\frac{ M_{H_2}}{ M_{O_2}}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}\]

Таким образом, при равном сечении сосуда объемы газов будут относиться как отношения длин отрезков справа и слева от поршня. Когда имеем отношение, то всегда надо сложить части: всего сосуд разделится на 16+1=17 частей, тогда каждая из них будет пропорциональна \frac{85}{17}=5 см длины сосуда. Понятно, что кислород, будучи тяжелее, займет меньшую часть сосуда, а водород – большую, так как на 1 моль кислорода приходится 16 моль водорода. Кислород займет часть сосуда, равную 5 см по длине, а водород – часть сосуда, равную 80 см.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *