Уравнение Менделеева-Клапейрона: задачи посложнее 2

[latexpage]

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения задач посложнее.

Задача 1. В неплотно закрытом баллоне объемом $V=10^{-2}$ м$^3$ при температуре 293 К и давлении 10МПа находится водород. Сколько водорода было потеряно, если из оставшегося водорода может образоваться вода массой 0,5 кг?

Определим сначала, сколько водорода было при данных условиях:

$$pV=\nu RT $$

$$\nu=\frac{pV}{RT}=\frac{10\cdot 10^6\cdot 10^{-2}}{8,31 \cdot 293}=41$$

Итак, водорода было ровно 41 моль. Теперь выясним, сколько осталось. Молярная масса воды – 18 г/моль. Поэтому в 0,5 кг содержится $\nu_1=\frac{m}{M}=\frac{500}{18}=28$ моль воды. Так как в каждую молекулу воды входит два атома водорода, то и газообразного водорода из такого количества воды получилось бы ровно 28 моль. Поэтому утечка составила $41-28=13$ моль. Можно перевести это количество в массу: 13 моль водорода весят $13\cdot 0,002=26$ г.

Ответ: 26 г.

Задача 2. В сосуде объемом 1 л находится идеальный газ. Сколько молекул газа нужно выпустить из сосуда, чтобы при понижении температуры в 2 раза его давление уменьшилось в 4 раза? Первоначальная концентрация молекул $n_1=2\cdot 10^26$ м$^{-3}$.

Запишем, что было вначале:

$$p_1V=\nu RT_1=\frac{N_1}{N_A}RT_1 $$

$$p_1=\frac{n_1}{N_A}RT_1 $$

$$n_1 =\frac{ p_1N_A }{ RT_1 } $$

Тогда для второго состояния

$$n_2 =\frac{ p_2N_A }{ RT_2 } $$

$$p_2=\frac{p_1}{4} $$

$$T_2=\frac{T_1}{2}$$

Подставим: $$n_2 =\frac{ 2p_1N_A }{4 RT_1 }=\frac{ p_1N_A }{2 RT_1 } $$

Разделим теперь $n_1$ на $n_2$:

$$\frac{n_1}{n_2}=2$$

Иными словами, нужно выпустить половину молекул, или $\frac{n_1}{2}=10^23$ молекул, учитывая, что в литре их количество в тысячу раз меньше, чем в кубическом метре.

Ответ: $10^23$ молекул.

Задача 3. По трубе, площадь сечения которой $S=5 \cdot 10^{-4}$ м$^2$, течет углекислый газ $CO_2$ под давлением  $p=3,92\cdot10^5$ Па при температуре $T=280$ К. Найти среднюю скорость протекания газа по трубе, если через поперечное сечение за время $t=10$ мин.  проходит газ массой 20 кг.

Скорость газа нам необходимо получить в м/с. Пока что у нас есть некоторая величина $\frac{m}{t}$, которую можно выразить в кг/с: $\frac{m}{t}=\frac{20}{600}=\frac{1}{30}$.

Уравнение состояния газа:

$$pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT$$

Объем газа: $V=lS$, где $S$ – поперечное сечение трубы, $l$ – длина.

Тогда можем записать уравнение так:

$$pSl=\frac{m}{M}RT$$

$$\frac{pSl}{t}=\frac{m}{tM}RT$$

Разделив уравнение на время $t$, мы получили слева отношение $\frac{l}{t}$ – как раз скорость, а справа ту самую величину $\frac{m}{t}$, которую мы знаем. Тогда:

$$\upsilon pS=\frac{m}{tM}RT$$

$$\upsilon =\frac{m}{t}\frac{RT }{M pS }= \frac{1}{30}\frac{8,31\cdot280 }{0,044\cdot 3,92\cdot10^5\cdot 5 \cdot 10^{-4}}=8,9$$

Ответ: скорость газа 8,9 м/с

Задача 4. Аэростат объемом $V=300$ м$^3$ наполняется молекулярным водородом при температуре $T=300$ К и давлении $p=10^5$ Па. Какое время будет производиться наполнение оболочки аэростата, если из баллонов каждую секунду переходит в аэростат $\Delta m=25$ г водорода? До наполнения оболочка водорода не содержала, газ считать идеальным.

Нам опять дана величина $\frac{\Delta m}{t}=\frac{25\cdot10^{-3}}{1}$.

Найдем массу газа в аэростате:

$$pV=\nu RT=\frac{m}{M}RT$$

$$ m =\frac{pVM}{RT}$$

Время наполнения оболочки аэростата тогда $t=\frac{m}{\Delta m}$

$$t=\frac{m}{\Delta m}=\frac{pVM}{RT\Delta m}=\frac{10^5\cdot300 \cdot0,002}{8,31\cdot300\cdot0,025}=962,7$$

Получили результат в секундах, тогда в минутах это $\frac{962,7}{60}=16$ минут.

Ответ: 16 минут.

Задача 5. Цилиндрический сосуд длиной $l=85$ см разделен на две части легкоподвижным поршнем. При каком положении поршня давление в обеих частях сосуда будет одинаковым, если одна часть заполнена кислородом, а другая водородом такой же массы? Температура в обеих частях цилиндра одинакова.

Для кислорода:

$$pV_{O_2}=\frac{m}{M_{O_2}}RT$$

Для водорода:

$$pV_{H_2}=\frac{m}{M_{H_2}}RT$$

Давление и температура газов одинаковы, массы тоже. Разделим уравнения друг на друга:

$$\frac{ V_{O_2}}{ V_{H_2}}=\frac{ M_{H_2}}{ M_{O_2}}=\frac{2}{32}=\frac{1}{16}$$

Таким образом, при равном сечении сосуда объемы газов будут относиться как отношения длин отрезков справа и слева от поршня. Когда имеем отношение, то всегда надо сложить части: всего сосуд разделится на 16+1=17 частей, тогда каждая из них будет пропорциональна $\frac{85}{17}=5$ см длины сосуда. Понятно, что кислород, будучи тяжелее, займет меньшую часть сосуда, а водород – большую, так как на 1 моль кислорода приходится 16 моль водорода. Кислород займет часть сосуда, равную 5 см по длине, а водород – часть сосуда, равную 80 см.