Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: сложные задачи

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения действительно сложных задач.



Состояние поршня до разогрева и после

Задача 1. В вертикально расположенном цилиндре находится газ массой кг. Он отделен от атмосферы поршнем, соединенным с дном пружиной жесткостью Н/м. При температуре К поршень расположен на расстоянии м от дна цилиндра. До какой температуры надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты м? Молярная масса газа кг/моль.

Как всегда, при решении задач по физике главное – хорошо представить себе, что происходит. Сначала: пружина находится в слегка растянутом состоянии – это надо хорошо понимать. Есть такое положение поршня, когда пружина не растянута, но пока мы не знаем, что это за положение. Потом: пружина растянется больше, чем в начальном положении, что связано с нагревом и расширением газа. То есть и в  первом, и во втором положении поршня пружина растянута.

Тогда для первого состояния газа

   

   

   

Тогда давление

   

Объем газа поначалу:

   

Здесь – высота расположения поршня над дном, когда пружина в нерастянутом положении.

Где

Тогда уравнение состояния газа будет выглядеть так:

   

   

Откуда

   

Вот теперь мы можем найти то положение поршня, когда пружина находится в нерастянутом состоянии:

   

Теперь переходим к рассмотрению состояния газа, когда его нагрели:

   

Искомая температура:

   

Здесь , .

   

   

Тогда

   

   

Осталось подставить в нашу формулу начальное положение поршня – , и количество вещества – . Получаем:

   

   

   

Ответ: 726 К. Остался вопрос: что ж это за газ такой с молярной массой 29 кг/моль, когда, например, у ртути она 200 г/моль? А у самого тяжелого элемента – лоуренсия – 256 г/моль?

 



Задача 2. Гелий массой 20 г бесконечно медленно переводят из состояния, в котором газ занимает объем л при давлении Па в состояние  с термодинамическими параметрами  л, Па. До какой наибольшей температуры нагревается газ в этом процессе?

Рисунок к задаче и изотерма

В осях , в которых изображен график, изотермы представляют собой гиперболы. Лежащая выше всех изотерма соответствует самой высокой температуре. Прямая, изображающая процесс, будет касательной к данной изотерме. Выведем уравнение данной прямой. Имея две точки, принадлежащие ей, это нетрудно сделать. Общее уравнение прямой , в нашем случае . Подставив в это уравнение координаты точек – то есть давление и объем для каждого состояния – получим коэффициенты прямой.

   

Вычитая уравнения, имеем

   

   

Определим второй коэффициент, подставив первый в любое из уравнений:

   

   

   

   

Тогда наша зависимость давления от объема приобретает вид:

   

Уравнение состояния газа

   

Подставляем в него полученную зависимость давления от объема:

   

Мы получили квадратичную зависимость: причем надо обратить внимание на то, что прямая на первом рисунке имеет отрицательный наклон, то есть , а значит, и в уравнении полученной квадратичной зависимости первый коэффициент – отрицательный, и парабола у нас будет расположена ветвями вниз. То есть функция, полученная нами, имеет максимум в вершине параболы, которую легко найти, располагая ее уравнением.

   

Определяем коэффициенты и численно:

   

   

Максимальное давление будет:

   

   

Здесь .

Ответ: 481 К

 

Задача 3. Два одинаковых сосуда соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ  из одного баллона в другой при разности давлений Па. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом идеальный газ при температуре под давлением Па. Затем оба баллона нагрели до температуры . Найти давление газа в баллоне, где был вакуум.

В первом сосуде был газ в состоянии

   

Когда температура поднялась, то состояние газа изменилось, более того, изменилось и количество вещества, так как часть газа перешла во второй сосуд.

   

   

Здесь – количество вещества, перешедшее во второй сосуд.

Во втором сосуде состояние газа описывается уравнением

   

   

По условию,

То есть можно записать:

   

   

Для количества вещества можем записать:

   

Подставим:

   

   

   

   

   

Тогда

   

Считаем:

   

   

 

   

Ответ: 0,1 атм или 10 кПа



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *