Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона: сложные задачи

Уравнению Менделеева -Клапейрона подчиняются газы, которые могут считаться идеальными или близкими к идеальным по своим свойствам. В этой статье для вас собраны решения действительно сложных задач.



Состояние поршня до разогрева и после

Задача 1. В вертикально расположенном цилиндре находится газ массой m=0,01 кг. Он отделен от атмосферы поршнем, соединенным с дном пружиной жесткостью k=20 Н/м. При температуре T_1=290 К поршень расположен на расстоянии h=0,2 м от дна цилиндра. До какой температуры T_2 надо нагреть газ, чтобы поршень поднялся до высоты H=0,5 м? Молярная масса газа M=29 кг/моль.

Как всегда, при решении задач по физике главное – хорошо представить себе, что происходит. Сначала: пружина находится в слегка растянутом состоянии – это надо хорошо понимать. Есть такое положение поршня, когда пружина не растянута, но пока мы не знаем, что это за положение. Потом: пружина растянется больше, чем в начальном положении, что связано с нагревом и расширением газа. То есть и в  первом, и во втором положении поршня пружина растянута.

Тогда для первого состояния газа

    \[pV=\nu R T\]

    \[p=\frac{F}{S}\]

    \[F=k\Delta x\]

Тогда давление

    \[p=\frac{ k\Delta x }{S}\]

Объем газа поначалу:

    \[V=(\Delta x+x)S\]

Здесь x – высота расположения поршня над дном, когда пружина в нерастянутом положении.

Где =(\Delta x+x)=h

Тогда уравнение состояния газа будет выглядеть так:

    \[\frac{ k\Delta x }{S} (\Delta x+x)S =\nu R T\]

    \[k\Delta x h =\nu R T\]

Откуда

    \[\Delta x=\frac{\nu R T }{k h}\]

Вот теперь мы можем найти то положение поршня, когда пружина находится в нерастянутом состоянии:

    \[x=h-\Delta x=h-\frac{\nu R T }{k h}\]

Теперь переходим к рассмотрению состояния газа, когда его нагрели:

    \[p_2V_2=\nu R T_2\]

Искомая температура:

    \[T_2=\frac {p_2V_2}{\nu R }\]

Здесь V_2=HS, p_2=\frac{F_2}{S}.

    \[F_2={\Delta x}_2 k\]

    \[{\Delta x}_2=H-x\]

Тогда F_2=(H-x)k

    \[p_2=\frac{(H-x)k }{S}\]

    \[T_2=\frac {(H-x)k H}{\nu R }\]

Осталось подставить в нашу формулу начальное положение поршня – x, и количество вещества – \nu=\frac{m}{M}. Получаем:

    \[T_2=\frac {(H- h+\frac{m R T }{M k h})k MH}{m R }\]

    \[T_2=\frac {HMk(H- h)+\frac{m R T H}{h}}{m R }=\frac {HMk(H- h)}{mR}+\frac {HT}{h}\]

    \[T_2=\frac {0,5\cdot29\cdot20(0,5- 0,2)}{0,0831}+\frac {0,5\cdot290}{0,2}=726\]

Ответ: 726 К. Остался вопрос: что ж это за газ такой с молярной массой 29 кг/моль, когда, например, у ртути она 200 г/моль? А у самого тяжелого элемента – лоуренсия – 256 г/моль?

 



Задача 2. Гелий массой 20 г бесконечно медленно переводят из состояния, в котором газ занимает объем V_1=32 л при давлении p_1=4,1\cdot 10^5 Па в состояние  с термодинамическими параметрами  V_2=9 л, p_2=15,5\cdot 10^5 Па. До какой наибольшей температуры нагревается газ в этом процессе?

Рисунок к задаче и изотерма

В осях pV, в которых изображен график, изотермы представляют собой гиперболы. Лежащая выше всех изотерма соответствует самой высокой температуре. Прямая, изображающая процесс, будет касательной к данной изотерме. Выведем уравнение данной прямой. Имея две точки, принадлежащие ей, это нетрудно сделать. Общее уравнение прямой y=kx+b, в нашем случае p=kV+b. Подставив в это уравнение координаты точек – то есть давление и объем для каждого состояния – получим коэффициенты прямой.

    \[\begin{Bmatrix}{ p_1=kV_1+b }\\{ p_2=kV_2+b }\end{matrix}\]

Вычитая уравнения, имеем

    \[p_1-p_2=k(V_1-V_2)\]

    \[k=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}\]

Определим второй коэффициент, подставив первый в любое из уравнений:

    \[p_1=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V_1+b\]

    \[b = p_1-\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V_1\]

    \[b =\frac{ p_1(V_1-V_2)- (p_1-p_2)V_1}{ V_1-V_2}\]

    \[b =\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}\]

Тогда наша зависимость давления от объема приобретает вид:

    \[p=kV+b=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V+\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}\]

Уравнение состояния газа

    \[pV=\nu R T\]

Подставляем в него полученную зависимость давления от объема:

    \[\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}V^2+\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}V=\nu R T\]

Мы получили квадратичную зависимость: причем надо обратить внимание на то, что прямая на первом рисунке имеет отрицательный наклон, то есть k<0, а значит, и в уравнении полученной квадратичной зависимости первый коэффициент – отрицательный, и парабола у нас будет расположена ветвями вниз. То есть функция, полученная нами, имеет максимум в вершине параболы, которую легко найти, располагая ее уравнением.

    \[V_{max}=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}}{2\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}}= \frac{ p_1V_2-p_2V_1}{2(p_1-p_2)}=20\]

Определяем коэффициенты b и k численно:

    \[b =\frac{ p_2V_1-p_1V_2}{ V_1-V_2}=20\cdot10^5\]

    \[k=\frac{ p_1-p_2}{ V_1-V_2}=-0,5 \cdot10^5\]

Максимальное давление будет:

    \[p_{max}=k V_{max}+b=-0,5\cdot20\cdot10^5+20\cdot10^5=10\cdot10^5\]

    \[T_{max}=\frac{ p_{max} V_{max}}{\nu R}=\frac{10^6\cdot20\cdot10^{-3}}{5\cdot 8,31}=481,3\]

Здесь \nu=\frac{m}{M}=\frac{20}{4}=5.

Ответ: 481 К

 

Задача 3. Два одинаковых сосуда соединены трубкой с клапаном, пропускающим газ  из одного баллона в другой при разности давлений \Delta p\geqslant 1,1\cdot 10^5 Па. Сначала в одном баллоне был вакуум, а в другом идеальный газ при температуре t_1=19^{\circ}C под давлением p_1=10^5 Па. Затем оба баллона нагрели до температуры t_2=107^{\circ}C. Найти давление газа в баллоне, где был вакуум.

В первом сосуде был газ в состоянии

    \[p_1V=\nu R T_1\]

Когда температура поднялась, то состояние газа изменилось, более того, изменилось и количество вещества, так как часть газа перешла во второй сосуд.

    \[p_2V=(\nu-\nu') R T_2\]

    \[p_2=\frac{(\nu-\nu') R T_2}{V}\]

Здесь \nu' – количество вещества, перешедшее во второй сосуд.

Во втором сосуде состояние газа описывается уравнением

    \[p' V=\nu' R T_2\]

    \[p'=\frac{\nu' R T_2}{V}\]

По условию, p_2-p'=\Delta p

То есть можно записать:

    \[\frac{(\nu-\nu') R T_2}{V}-\frac{\nu' R T_2}{V}=\Delta p\]

    \[\frac{(\nu-2\nu') R T_2}{V}=\Delta p\]

Для количества вещества можем записать:

    \[\nu=\frac{p_1V}{RT_1}\]

Подставим:

    \[\frac{(\frac{p_1V}{RT_1}-2\nu') R T_2}{V}=\Delta p\]

    \[\frac{p_1 T_2}{T_1}-\frac{2\nu' R T_2}{V}=\Delta p\]

    \[\frac{2\nu' R T_2}{V}=\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p\]

    \[\nu' =\frac{\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p}{\frac{2RT_2}{V}}\]

    \[\nu' =\frac{\left(\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p\right)V}{2RT_2}\]

Тогда

    \[p'=\frac{\nu' R T_2}{V}=\frac{\frac{p_1 T_2}{T_1}-\Delta p}{2}\]

Считаем:

    \[T_1=273^{\circ}+19^{\circ}=292^{\circ}\]

    \[T_2=273^{\circ}+107^{\circ}=380^{\circ}\]

 

    \[p'=\frac{\frac{10^5\cdot 380}{292}-1,1\cdot 10^5}{2}=0,1\cdot10^5\]

Ответ: 0,1 атм или 10 кПа



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *