[latexpage]
В этой статье предложены задачи на применение уравнения Менделеева-Клапейрона. Также вспомним и закон Дальтона: давление смеси газов складывается из парциальных давлений всех компонентов смеси.
Задача 1. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу $m_1=1$ кг. Шар наполняют гелием. Атмосферное давление $10^5$ Па равно давлению гелия в шаре. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар оторвется от земли. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна $0^{\circ}$ С.
Масса гелия в оболочке равна:
$$m_{He}=\rho V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho$$
Масса оболочки:
$$m_{ob}=m_1 S=4 \pi R_s^2m_1$$
Масса всего шара:
$$M= m_{He}+ m_{ob}=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho+4 \pi R_s^2m_1=4 \pi R_s^2\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)$$
Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:
$$F_A=\rho_v g V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g$$
Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:
$$\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g=4 \pi R^2g\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)$$
$$\frac{R_s}{3}\rho_v=\frac{R_s}{3}\rho+m_1$$
$$R_s=\frac{3m_1}{\rho_v -\rho}$$
Чтобы определить плотность гелия, запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия:
$$pV=\nu RT$$
$$ pV=\frac{m_{He}}{M_{He}} RT$$
$$\frac{m_{He}}{V}=\frac{pM_{He}}{RT}=\rho$$
Для воздуха поступим аналогично, при этом объем можно принять равным 1 м$^3$ (это неважно):
$$\frac{m}{V}=\frac{pM_v}{RT}=\rho_v$$
Тогда
$$R_s=\frac{3m_1RT}{p(M_v –M_{He})}$$
А масса оболочки равна
$$ m_{ob}=4 \pi R_s^2m_1=4 \pi \cdot \frac{9m_1^3R^2T^2}{p^2(M_v –M_{He})^2}=4 \cdot3,14 \cdot \frac{9\cdot8,31^2\cdot273^2}{10^{10}(0,029 –0,004)^2}=93$$
Ответ: 93 кг
Задача 2. Воздушный шар объемом $V=2500$ м$^3$ с массой оболочки $m_ob=400$ кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры $t_1$ нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой $m_{gr}=200$ кг? Температура окружающего воздуха $7^{\circ}$ С, плотность $\rho=1,2$ кг/м$^3$. Оболочку шара считать нерастяжимой.
Масса всего шара:
$$M= m_v+ m_{ob}+ m_{gr}$$
Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:
$$F_A=\rho_v g V$$
Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:
$$Mg=\rho_v g V$$
$$M=\frac{4}{3}\rho_v \pi R_s^3$$
$$R_s=\sqrt[3]{\frac{3M}{4\rho_v \pi }}=\sqrt[3]{\frac{3(m_v+ m_{ob})}{4\rho_v \pi }}$$
Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим массу воздуха в шаре:
$$pV=\nu RT_1$$
$$ pV=\frac{m_v}{M} RT_1$$
$$m_v=\frac{pVM}{RT_1}$$
Теперь составим уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха, чтобы определить давление:
$$pV=\nu RT_0$$
$$p=\frac{\nu RT_0}{V}$$
Вернемся к силе тяжести и силе Архимеда:
$$Mg=\rho_v g V$$
$$ m_v+ m_{ob}+ m_{gr}=\rho_v V$$
$$ m_v= \rho_v V –(m_{ob}+ m_{gr})$$
$$\frac{pVM}{RT_1}=\rho_v V –(m_{ob}+ m_{gr})$$
Подставим давление:
$$\frac{VM}{RT_1}\cdot\frac{\nu RT_0}{V}=\rho_v V –(m_{ob}+ m_{gr})$$
Упрощаем:
$$\frac{M}{T_1}\cdot\nu T_0=\rho_v V –(m_{ob}+ m_{gr})$$
Откуда $T_1$:
$$T_1=\frac{\nu T_0 M}{\rho_v V –(m_{ob}+ m_{gr})}=\frac{\rho V T_0 }{\rho_v V –(m_{ob}+ m_{gr})}$$
Подставляем числа:
$$T_1=\frac{1,2\cdot2500 \cdot280 }{1,2\cdot2500 –(400+ 200)}=350$$
Ответ: $T_1=350$ K или $67^{\circ}$ С.
Задача 3. Теплоизолированный цилиндр, расположенный горизонтально, разделен подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой – аргон. В начальный момент времени температура гелия равна 300 К, а аргона – 900 К, объемы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объем, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемещается без трения? Теплоемкостью цилиндра и поршня пренебречь.
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
$$p_{He}=\frac{\nu_{He} R T_{He}}{V}$$
$$p_{Ar}=\frac{\nu_{Ar} R T_{Ar}}{V}$$
Так как давление одинаково, то
$$\frac{\nu R T_{He}}{V}=\frac{\nu R T_{Ar}}{V}$$
$$\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}$$
Общий объем сосуда равен $2V$, где $V$ – объемы обоих газов.
После установления теплового равновесия объемы $V_{He}$, $V_{Ar}$.
Давления будут тоже другими (и равными!):
$$p_1 V_{He}=\nu_{He} R T$$
$$p_2 V_{Ar}=\nu_{Ar} R T$$
Тогда
$$\frac{ p_1 V_{He}}{ p_2 V_{Ar}}=\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}$$
$$\frac{ V_{He}}{ V_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}$$
Но $ V_{He}+ V_{Ar}=2V$, а с учетом отношения объемов
$$ V_{Ar}+\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}} V_{Ar}=2V$$
$$ V_{Ar}=\frac{V}{2}$$
$$ V_{He}=\frac{3V}{2}$$
Таким образом, объем гелия изменится в 1,5 раза.
Задача 4. Сосуд объемом 10 л содержит смесь водорода и гелия общей массой 2 г. При температуре $27^{\circ}$ С давление в сосуде равно 200 кПа. Каково отношение массы водорода к массе гелия в смеси?
Каждый газ создает свое парциальное давление, поэтому
$$p= p_{He}+ p_{H}$$
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
$$p_{He}=\frac{\nu_{He} R T}{V}$$
$$p_{H}=\frac{\nu_H R T}{V}$$
Тогда
$$p=\frac{ R T}{V}\left(\nu_{He}+\nu_H \right)$$
$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_{He}}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)$$
$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m-m_H}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)$$
$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{(m-m_H)M_H+m_HM_{He}}{M_{He}M_H} \right)$$
$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_H(M_{He}-M_H)+mM_H}{M_{He}M_H} \right)$$
$$m_H(M_{He}-M_H)+mM_H=\frac{p M_{He}M_HV}{RT}$$
$$m_H=\frac{\frac{ p V M_{He}M_H }{ R T }-mM_H }{M_{He}-M_H}$$
Определив массу водорода, найдем массу гелия как $m-m_{H}$.
$$m_H=\frac{\frac{ 2\cdot10^5 \cdot0,01\cdot4\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-3} }{ 8,31\cdot 300 }-0,002\cdot0,004}{0,004-0,002}=0,0012$$
$$m_{He}=m-m_H=0,002-0,0012=0,0008$$
Определяем отношение масс:
$$\frac{ m_H }{ m_{He}}=\frac{0,0012}{0,0008}=1,5$$
Ответ: $\frac{ m_H }{ m_{He}}=1,5$.
Задача 5. В камере, заполненной азотом, при температуре $T_0=300$ К находится открытый цилиндрический сосуд. Высота сосуда $L=50$ см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры $T_1$. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным $h=40$ см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры $T_0$. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным $H=46$ см. Чему равна температура $T_1$? Величина силы трения между пробкой и стенками постоянна. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.
Сначала состояние газа в сосуде описывается уравнением:
$$p_0 V_0=\nu R T_0$$
$$p_0 V_0=\frac{m}{M} R T_0$$
Когда сосуд охлаждают, его состояние изменится:
$$p_1 V_1=\frac{m}{M} R T_1$$
Затем сосуд снова нагрели:
$$p_2 V_2=\frac{m}{M} R T_0$$
Здесь $V_1=hS$, $V_2=HS$, $V_0=LS$, $p_0$ – атмосферное давление.
При охлаждении сосуда объем газа будет уменьшаться вследствие падения давления, и пробку будет затягивать в сосуд. При этом сила трения направлена против движения пробки, то есть вверх. Тогда
$$p_0=p_1+\frac{F_{tr}}{S}$$
Откуда
$$F_{tr}=(p_0-p_1)S$$
Когда же сосуд вновь начнут нагревать, расширяющийся азот будет выталкивать пробку вверх, и сила трения будет направлена вниз, тогда:
$$p_2=p_0+ \frac{F_{tr}}{S}$$
Подставим силу трения, полученную ранее:
$$p_2=p_0+ p_0-p_1=2p_0-p_1$$
Из уравнений Менделеева-Клапейрона найдем $\nu R$
$$\frac{ p_2V_2}{T_0}=\frac{p_0V_0}{T_0}$$
Или
$$ p_2V_2= p_0V_0$$
Подставим объемы:
$$p_2 HS=p_0 LS$$
$$p_2=\frac{p_0L}{H}$$
Также
$$\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{p_1V_1}{T_1}$$
Подставим объемы:
$$\frac{p_0SL}{T_0}=\frac{p_1Sh}{T_1}$$
$$p_1=\frac{p_0 L T_1}{T_0 h}$$
Приравняем давление $p_2$, полученное двумя способами:
$$2p_0-p_1=\frac{p_0L}{H}$$
Подставим $p_1$:
$$2p_0-\frac{p_0 L T_1}{T_0 h}=\frac{p_0L}{H}$$
$$2-\frac{L T_1}{T_0 h}=\frac{L}{H}$$
$$\frac{L T_1}{T_0 h}=2-\frac{L}{H}$$
$$T_1=\frac{(2H-L)h T_0}{H L}=\frac{(0,92-0,5)0,4\cdot 300}{0,46\cdot0,5}=219$$
Ответ: $T_1=219$ К.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...