Уравнение Менделеева-Клапейрона и закон Дальтона

[latexpage]

В этой статье предложены задачи на применение  уравнения Менделеева-Клапейрона. Также вспомним и закон Дальтона: давление смеси газов складывается из парциальных давлений всех компонентов смеси.

Задача 1. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу $m_1=1$ кг. Шар наполняют гелием. Атмосферное давление $10^5$ Па равно давлению гелия в шаре. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар оторвется от земли. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна $0^{\circ}$ С.

Масса гелия в оболочке равна:

$$m_{He}=\rho V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho$$

Масса оболочки:

$$m_{ob}=m_1 S=4 \pi R_s^2m_1$$

Масса всего шара:

$$M= m_{He}+ m_{ob}=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho+4 \pi R_s^2m_1=4 \pi R_s^2\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)$$

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

$$F_A=\rho_v g V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g$$

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

$$\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g=4 \pi R^2g\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)$$

$$\frac{R_s}{3}\rho_v=\frac{R_s}{3}\rho+m_1$$

$$R_s=\frac{3m_1}{\rho_v -\rho}$$

Чтобы определить плотность гелия, запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия:

$$pV=\nu RT$$

$$ pV=\frac{m_{He}}{M_{He}} RT$$

$$\frac{m_{He}}{V}=\frac{pM_{He}}{RT}=\rho$$

Для воздуха поступим аналогично, при этом объем можно принять равным 1 м$^3$ (это неважно):

$$\frac{m}{V}=\frac{pM_v}{RT}=\rho_v$$

Тогда

$$R_s=\frac{3m_1RT}{p(M_v –M_{He})}$$

А масса оболочки равна

$$ m_{ob}=4 \pi R_s^2m_1=4 \pi \cdot \frac{9m_1^3R^2T^2}{p^2(M_v –M_{He})^2}=4 \cdot3,14 \cdot \frac{9\cdot8,31^2\cdot273^2}{10^{10}(0,029 –0,004)^2}=93$$

Ответ: 93 кг

 

Задача 2. Воздушный шар объемом $V=2500$ м$^3$ с массой оболочки $m_ob=400$ кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры $t_1$ нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой $m_{gr}=200$ кг? Температура окружающего воздуха $7^{\circ}$ С, плотность $\rho=1,2$ кг/м$^3$. Оболочку шара считать нерастяжимой.

Масса всего шара:

$$M= m_v+ m_{ob}+ m_{gr}$$

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

$$F_A=\rho_v g V$$

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

$$Mg=\rho_v g V$$

$$M=\frac{4}{3}\rho_v \pi R_s^3$$

$$R_s=\sqrt[3]{\frac{3M}{4\rho_v \pi }}=\sqrt[3]{\frac{3(m_v+ m_{ob})}{4\rho_v \pi }}$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим массу воздуха в шаре:

$$pV=\nu RT_1$$

$$ pV=\frac{m_v}{M} RT_1$$

$$m_v=\frac{pVM}{RT_1}$$

Теперь составим уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха, чтобы определить давление:

$$pV=\nu RT_0$$

$$p=\frac{\nu RT_0}{V}$$

Вернемся к силе тяжести и силе Архимеда:

$$Mg=\rho_v g V$$

$$ m_v+ m_{ob}+ m_{gr}=\rho_v  V$$

$$ m_v= \rho_v  V –(m_{ob}+ m_{gr})$$

$$\frac{pVM}{RT_1}=\rho_v  V –(m_{ob}+ m_{gr})$$

Подставим давление:

$$\frac{VM}{RT_1}\cdot\frac{\nu RT_0}{V}=\rho_v  V –(m_{ob}+ m_{gr})$$

Упрощаем:

$$\frac{M}{T_1}\cdot\nu T_0=\rho_v  V –(m_{ob}+ m_{gr})$$

Откуда $T_1$:

$$T_1=\frac{\nu T_0 M}{\rho_v  V –(m_{ob}+ m_{gr})}=\frac{\rho V T_0 }{\rho_v  V –(m_{ob}+ m_{gr})}$$

Подставляем числа:

$$T_1=\frac{1,2\cdot2500 \cdot280 }{1,2\cdot2500 –(400+ 200)}=350$$

Ответ: $T_1=350$ K или $67^{\circ}$ С.

 

Задача 3. Теплоизолированный цилиндр, расположенный горизонтально, разделен подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой – аргон. В начальный момент времени температура гелия равна 300 К, а аргона – 900 К, объемы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объем, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемещается без трения? Теплоемкостью цилиндра и поршня пренебречь.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$$p_{He}=\frac{\nu_{He} R T_{He}}{V}$$

$$p_{Ar}=\frac{\nu_{Ar} R T_{Ar}}{V}$$

Так как давление одинаково, то

$$\frac{\nu R T_{He}}{V}=\frac{\nu R T_{Ar}}{V}$$

$$\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}$$

Общий объем сосуда равен $2V$, где $V$ – объемы обоих газов.

После установления теплового равновесия объемы $V_{He}$, $V_{Ar}$.

Давления будут тоже другими (и равными!):

$$p_1 V_{He}=\nu_{He} R T$$

$$p_2 V_{Ar}=\nu_{Ar} R T$$

Тогда

$$\frac{ p_1 V_{He}}{ p_2 V_{Ar}}=\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}$$

$$\frac{ V_{He}}{ V_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}$$

Но $ V_{He}+ V_{Ar}=2V$, а с учетом отношения объемов

$$ V_{Ar}+\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}} V_{Ar}=2V$$

$$ V_{Ar}=\frac{V}{2}$$

$$ V_{He}=\frac{3V}{2}$$

Таким образом, объем гелия изменится в 1,5 раза.

Задача 4. Сосуд объемом 10 л содержит смесь водорода и гелия общей массой 2 г. При температуре  $27^{\circ}$ С давление в сосуде равно 200 кПа. Каково отношение массы водорода к массе гелия в смеси?

Каждый газ создает свое парциальное давление, поэтому

$$p= p_{He}+ p_{H}$$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$$p_{He}=\frac{\nu_{He} R T}{V}$$

$$p_{H}=\frac{\nu_H R T}{V}$$

Тогда

$$p=\frac{ R T}{V}\left(\nu_{He}+\nu_H \right)$$

$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_{He}}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)$$

$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m-m_H}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)$$

$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{(m-m_H)M_H+m_HM_{He}}{M_{He}M_H} \right)$$

$$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_H(M_{He}-M_H)+mM_H}{M_{He}M_H} \right)$$

$$m_H(M_{He}-M_H)+mM_H=\frac{p M_{He}M_HV}{RT}$$

 

$$m_H=\frac{\frac{ p V M_{He}M_H }{ R T }-mM_H }{M_{He}-M_H}$$

Определив массу водорода, найдем массу гелия как $m-m_{H}$.

$$m_H=\frac{\frac{ 2\cdot10^5 \cdot0,01\cdot4\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-3} }{ 8,31\cdot 300 }-0,002\cdot0,004}{0,004-0,002}=0,0012$$

$$m_{He}=m-m_H=0,002-0,0012=0,0008$$

Определяем отношение масс:

$$\frac{ m_H }{ m_{He}}=\frac{0,0012}{0,0008}=1,5$$

Ответ: $\frac{ m_H }{ m_{He}}=1,5$.

 

Задача 5. В камере, заполненной азотом, при температуре $T_0=300$ К находится открытый цилиндрический сосуд. Высота сосуда $L=50$ см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры $T_1$. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным $h=40$ см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры $T_0$. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным $H=46$ см. Чему равна температура $T_1$? Величина силы трения между пробкой и стенками постоянна. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.

Сначала состояние газа в сосуде описывается уравнением:

$$p_0 V_0=\nu R T_0$$

$$p_0 V_0=\frac{m}{M} R T_0$$

Когда сосуд охлаждают, его состояние изменится:

$$p_1 V_1=\frac{m}{M} R T_1$$

Затем сосуд снова нагрели:

$$p_2 V_2=\frac{m}{M} R T_0$$

Здесь $V_1=hS$, $V_2=HS$, $V_0=LS$, $p_0$ – атмосферное давление.

При охлаждении сосуда объем газа будет уменьшаться вследствие падения давления, и пробку будет затягивать в сосуд. При этом сила трения направлена против движения пробки, то есть вверх. Тогда

$$p_0=p_1+\frac{F_{tr}}{S}$$

Откуда

$$F_{tr}=(p_0-p_1)S$$

Когда же сосуд вновь начнут нагревать, расширяющийся азот будет выталкивать пробку вверх, и сила трения будет направлена вниз, тогда:

$$p_2=p_0+ \frac{F_{tr}}{S}$$

Подставим силу трения, полученную ранее:

$$p_2=p_0+ p_0-p_1=2p_0-p_1$$

Из уравнений Менделеева-Клапейрона найдем $\nu R$

$$\frac{ p_2V_2}{T_0}=\frac{p_0V_0}{T_0}$$

Или

$$ p_2V_2= p_0V_0$$

Подставим объемы:

$$p_2 HS=p_0 LS$$

$$p_2=\frac{p_0L}{H}$$

Также

$$\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{p_1V_1}{T_1}$$

Подставим объемы:

$$\frac{p_0SL}{T_0}=\frac{p_1Sh}{T_1}$$

$$p_1=\frac{p_0 L T_1}{T_0 h}$$

Приравняем давление $p_2$, полученное двумя способами:

$$2p_0-p_1=\frac{p_0L}{H}$$

Подставим $p_1$:

$$2p_0-\frac{p_0 L T_1}{T_0 h}=\frac{p_0L}{H}$$

$$2-\frac{L T_1}{T_0 h}=\frac{L}{H}$$

$$\frac{L T_1}{T_0 h}=2-\frac{L}{H}$$

$$T_1=\frac{(2H-L)h T_0}{H L}=\frac{(0,92-0,5)0,4\cdot 300}{0,46\cdot0,5}=219$$

Ответ: $T_1=219$ К.