Уравнение Менделеева-Клапейрона и закон Дальтона

В этой статье предложены задачи на применение уравнения Менделеева-Клапейрона. Также вспомним и закон Дальтона: давление смеси газов складывается из парциальных давлений всех компонентов смеси.

Задача 1. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу $m_1=1$ кг. Шар наполняют гелием. Атмосферное давление $10^5$ Па равно давлению гелия в шаре. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар оторвется от земли. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна $0^{\circ}$ С.

Масса гелия в оболочке равна:

$m_{He}=\rho V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho$

Масса оболочки:

$m_{ob}=m_1 S=4 \pi R_s^2m_1$

Масса всего шара:

$M= m_{He}+ m_{ob}=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho+4 \pi R_s^2m_1=4 \pi R_s^2\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)$

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

$F_A=\rho_v g V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g$

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

$\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g=4 \pi R^2g\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)$

$\frac{R_s}{3}\rho_v=\frac{R_s}{3}\rho+m_1$

$R_s=\frac{3m_1}{\rho_v -\rho}$

Чтобы определить плотность гелия, запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия:

$pV=\nu RT$

$pV=\frac{m_{He}}{M_{He}} RT$

$\frac{m_{He}}{V}=\frac{pM_{He}}{RT}=\rho$

Для воздуха поступим аналогично, при этом объем можно принять равным 1 м $^3$ (это неважно):

$\frac{m}{V}=\frac{pM_v}{RT}=\rho_v$

Тогда

$R_s=\frac{3m_1RT}{p(M_v -M_{He})}$

А масса оболочки равна

$m_{ob}=4 \pi R_s^2m_1=4 \pi \cdot \frac{9m_1^3R^2T^2}{p^2(M_v -M_{He})^2}=4 \cdot3,14 \cdot \frac{9\cdot8,31^2\cdot273^2}{10^{10}(0,029 -0,004)^2}=93$

Ответ: 93 кг

Задача 2. Воздушный шар объемом $V=2500$ м $^3$ с массой оболочки $m_ob=400$ кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры $t_1$ нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой $m_{gr}=200$ кг? Температура окружающего воздуха $7^{\circ}$ С, плотность $\rho=1,2$ кг/м $^3$ . Оболочку шара считать нерастяжимой.

Масса всего шара:

$M= m_v+ m_{ob}+ m_{gr}$

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

$F_A=\rho_v g V$

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

$Mg=\rho_v g V$

$M=\frac{4}{3}\rho_v \pi R_s^3$

$R_s=\sqrt[3]{\frac{3M}{4\rho_v \pi }}=\sqrt[3]{\frac{3(m_v+ m_{ob})}{4\rho_v \pi }}$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим массу воздуха в шаре:

$pV=\nu RT_1$

$pV=\frac{m_v}{M} RT_1$

$m_v=\frac{pVM}{RT_1}$

Теперь составим уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха, чтобы определить давление:

$pV=\nu RT_0$

$p=\frac{\nu RT_0}{V}$

Вернемся к силе тяжести и силе Архимеда:

$Mg=\rho_v g V$

$m_v+ m_{ob}+ m_{gr}=\rho_v V$

$m_v= \rho_v V -(m_{ob}+ m_{gr})$

$\frac{pVM}{RT_1}=\rho_v V -(m_{ob}+ m_{gr})$

Подставим давление:

$\frac{VM}{RT_1}\cdot\frac{\nu RT_0}{V}=\rho_v V -(m_{ob}+ m_{gr})$

Упрощаем:

$\frac{M}{T_1}\cdot\nu T_0=\rho_v V -(m_{ob}+ m_{gr})$

Откуда $T_1$ :

$T_1=\frac{\nu T_0 M}{\rho_v V -(m_{ob}+ m_{gr})}=\frac{\rho V T_0 }{\rho_v V -(m_{ob}+ m_{gr})}$

Подставляем числа:

$T_1=\frac{1,2\cdot2500 \cdot280 }{1,2\cdot2500 -(400+ 200)}=350$

Ответ: $T_1=350$ K или $67^{\circ}$ С.

Задача 3. Теплоизолированный цилиндр, расположенный горизонтально, разделен подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой – аргон. В начальный момент времени температура гелия равна 300 К, а аргона – 900 К, объемы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объем, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемещается без трения? Теплоемкостью цилиндра и поршня пренебречь.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$p_{He}=\frac{\nu_{He} R T_{He}}{V}$

$p_{Ar}=\frac{\nu_{Ar} R T_{Ar}}{V}$

Так как давление одинаково, то

$\frac{\nu R T_{He}}{V}=\frac{\nu R T_{Ar}}{V}$

$\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}$

Общий объем сосуда равен $2V$ , где $V$ – объемы обоих газов.

После установления теплового равновесия объемы $V_{He}$ , $V_{Ar}$ .

Давления будут тоже другими (и равными!):

$p_1 V_{He}=\nu_{He} R T$

$p_2 V_{Ar}=\nu_{Ar} R T$

Тогда

$\frac{ p_1 V_{He}}{ p_2 V_{Ar}}=\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}$

$\frac{ V_{He}}{ V_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}$

Но $V_{He}+ V_{Ar}=2V$ , а с учетом отношения объемов

$V_{Ar}+\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}} V_{Ar}=2V$

$V_{Ar}=\frac{V}{2}$

$V_{He}=\frac{3V}{2}$

Таким образом, объем гелия изменится в 1,5 раза.

Задача 4. Сосуд объемом 10 л содержит смесь водорода и гелия общей массой 2 г. При температуре $27^{\circ}$ С давление в сосуде равно 200 кПа. Каково отношение массы водорода к массе гелия в смеси?

Каждый газ создает свое парциальное давление, поэтому

$p= p_{He}+ p_{H}$

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

$p_{He}=\frac{\nu_{He} R T}{V}$

$p_{H}=\frac{\nu_H R T}{V}$

Тогда

$p=\frac{ R T}{V}\left(\nu_{He}+\nu_H \right)$

$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_{He}}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)$

$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m-m_H}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)$

$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{(m-m_H)M_H+m_HM_{He}}{M_{He}M_H} \right)$

$p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_H(M_{He}-M_H)+mM_H}{M_{He}M_H} \right)$

$m_H(M_{He}-M_H)+mM_H=\frac{p M_{He}M_HV}{RT}$

$m_H=\frac{\frac{ p V M_{He}M_H }{ R T }-mM_H }{M_{He}-M_H}$

Определив массу водорода, найдем массу гелия как $m-m_{H}$ .

$m_H=\frac{\frac{ 2\cdot10^5 \cdot0,01\cdot4\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-3} }{ 8,31\cdot 300 }-0,002\cdot0,004}{0,004-0,002}=0,0012$

$m_{He}=m-m_H=0,002-0,0012=0,0008$

Определяем отношение масс:

$\frac{ m_H }{ m_{He}}=\frac{0,0012}{0,0008}=1,5$

Ответ: $\frac{ m_H }{ m_{He}}=1,5$ .

Задача 5. В камере, заполненной азотом, при температуре $T_0=300$ К находится открытый цилиндрический сосуд. Высота сосуда $L=50$ см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры $T_1$ . В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным $h=40$ см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры $T_0$ . Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным $H=46$ см. Чему равна температура $T_1$ ? Величина силы трения между пробкой и стенками постоянна. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.

Сначала состояние газа в сосуде описывается уравнением:

$p_0 V_0=\nu R T_0$

$p_0 V_0=\frac{m}{M} R T_0$

Когда сосуд охлаждают, его состояние изменится:

$p_1 V_1=\frac{m}{M} R T_1$

Затем сосуд снова нагрели:

$p_2 V_2=\frac{m}{M} R T_0$

Здесь $V_1=hS$ , $V_2=HS$ , $V_0=LS$ , $p_0$ – атмосферное давление.

При охлаждении сосуда объем газа будет уменьшаться вследствие падения давления, и пробку будет затягивать в сосуд. При этом сила трения направлена против движения пробки, то есть вверх. Тогда

$p_0=p_1+\frac{F_{tr}}{S}$