Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона и закон Дальтона

В этой статье предложены задачи на применение  уравнения Менделеева-Клапейрона. Также вспомним и закон Дальтона: давление смеси газов складывается из парциальных давлений всех компонентов смеси.

Задача 1. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу m_1=1 кг. Шар наполняют гелием. Атмосферное давление 10^5 Па равно давлению гелия в шаре. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар оторвется от земли. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0^{\circ} С.

Масса гелия в оболочке равна:

    \[m_{He}=\rho V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho\]

Масса оболочки:

    \[m_{ob}=m_1 S=4 \pi R_s^2m_1\]

Масса всего шара:

    \[M= m_{He}+ m_{ob}=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho+4 \pi R_s^2m_1=4 \pi R_s^2\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)\]

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

    \[F_A=\rho_v g V=\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g\]

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

    \[\frac{4}{3}\pi R_s^3 \rho_v g=4 \pi R^2g\left(\frac{4R_s}{3}\rho+m_1\right)\]

    \[\frac{R_s}{3}\rho_v=\frac{R_s}{3}\rho+m_1\]

    \[R_s=\frac{3m_1}{\rho_v -\rho}\]

Чтобы определить плотность гелия, запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия:

    \[pV=\nu RT\]

    \[pV=\frac{m_{He}}{M_{He}} RT\]

    \[\frac{m_{He}}{V}=\frac{pM_{He}}{RT}=\rho\]

Для воздуха поступим аналогично, при этом объем можно принять равным 1 м^3 (это неважно):

    \[\frac{m}{V}=\frac{pM_v}{RT}=\rho_v\]

Тогда

    \[R_s=\frac{3m_1RT}{p(M_v -M_{He})}\]

А масса оболочки равна

    \[m_{ob}=4 \pi R_s^2m_1=4 \pi \cdot \frac{9m_1^3R^2T^2}{p^2(M_v -M_{He})^2}=4 \cdot3,14 \cdot \frac{9\cdot8,31^2\cdot273^2}{10^{10}(0,029 -0,004)^2}=93\]

Ответ: 93 кг

 

Задача 2. Воздушный шар объемом V=2500 м^3 с массой оболочки m_ob=400 кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры t_1 нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой m_{gr}=200 кг? Температура окружающего воздуха 7^{\circ} С, плотность \rho=1,2 кг/м^3. Оболочку шара считать нерастяжимой.

Масса всего шара:

    \[M= m_v+ m_{ob}+ m_{gr}\]

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

    \[F_A=\rho_v g V\]

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

    \[Mg=\rho_v g V\]

    \[M=\frac{4}{3}\rho_v \pi R_s^3\]

    \[R_s=\sqrt[3]{\frac{3M}{4\rho_v \pi }}=\sqrt[3]{\frac{3(m_v+ m_{ob})}{4\rho_v \pi }}\]

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим массу воздуха в шаре:

    \[pV=\nu RT_1\]

    \[pV=\frac{m_v}{M} RT_1\]

    \[m_v=\frac{pVM}{RT_1}\]

Теперь составим уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха, чтобы определить давление:

    \[pV=\nu RT_0\]

    \[p=\frac{\nu RT_0}{V}\]

Вернемся к силе тяжести и силе Архимеда:

    \[Mg=\rho_v g V\]

    \[m_v+ m_{ob}+ m_{gr}=\rho_v  V\]

    \[m_v= \rho_v  V -(m_{ob}+ m_{gr})\]

    \[\frac{pVM}{RT_1}=\rho_v  V -(m_{ob}+ m_{gr})\]

Подставим давление:

    \[\frac{VM}{RT_1}\cdot\frac{\nu RT_0}{V}=\rho_v  V -(m_{ob}+ m_{gr})\]

Упрощаем:

    \[\frac{M}{T_1}\cdot\nu T_0=\rho_v  V -(m_{ob}+ m_{gr})\]

Откуда T_1:

    \[T_1=\frac{\nu T_0 M}{\rho_v  V -(m_{ob}+ m_{gr})}=\frac{\rho V T_0 }{\rho_v  V -(m_{ob}+ m_{gr})}\]

Подставляем числа:

    \[T_1=\frac{1,2\cdot2500 \cdot280 }{1,2\cdot2500 -(400+ 200)}=350\]

Ответ: T_1=350 K или 67^{\circ} С.

 

Задача 3. Теплоизолированный цилиндр, расположенный горизонтально, разделен подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой – аргон. В начальный момент времени температура гелия равна 300 К, а аргона – 900 К, объемы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объем, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемещается без трения? Теплоемкостью цилиндра и поршня пренебречь.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

    \[p_{He}=\frac{\nu_{He} R T_{He}}{V}\]

    \[p_{Ar}=\frac{\nu_{Ar} R T_{Ar}}{V}\]

Так как давление одинаково, то

    \[\frac{\nu R T_{He}}{V}=\frac{\nu R T_{Ar}}{V}\]

    \[\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}\]

Общий объем сосуда равен 2V, где V – объемы обоих газов.

После установления теплового равновесия объемы V_{He}, V_{Ar}.

Давления будут тоже другими (и равными!):

    \[p_1 V_{He}=\nu_{He} R T\]

    \[p_2 V_{Ar}=\nu_{Ar} R T\]

Тогда

    \[\frac{ p_1 V_{He}}{ p_2 V_{Ar}}=\frac{\nu_{He}}{\nu_{Ar}}\]

    \[\frac{ V_{He}}{ V_{Ar}}=\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}}\]

Но V_{He}+ V_{Ar}=2V, а с учетом отношения объемов

    \[V_{Ar}+\frac{ T_{Ar}}{ T_{He}} V_{Ar}=2V\]

    \[V_{Ar}=\frac{V}{2}\]

    \[V_{He}=\frac{3V}{2}\]

Таким образом, объем гелия изменится в 1,5 раза.

Задача 4. Сосуд объемом 10 л содержит смесь водорода и гелия общей массой 2 г. При температуре  27^{\circ} С давление в сосуде равно 200 кПа. Каково отношение массы водорода к массе гелия в смеси?

Каждый газ создает свое парциальное давление, поэтому

    \[p= p_{He}+ p_{H}\]

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

    \[p_{He}=\frac{\nu_{He} R T}{V}\]

    \[p_{H}=\frac{\nu_H R T}{V}\]

Тогда

    \[p=\frac{ R T}{V}\left(\nu_{He}+\nu_H \right)\]

    \[p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_{He}}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)\]

    \[p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m-m_H}{M_{He}}+\frac{m_H}{M_H} \right)\]

    \[p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{(m-m_H)M_H+m_HM_{He}}{M_{He}M_H} \right)\]

    \[p=\frac{ R T}{V}\left(\frac{m_H(M_{He}-M_H)+mM_H}{M_{He}M_H} \right)\]

    \[m_H(M_{He}-M_H)+mM_H=\frac{p M_{He}M_HV}{RT}\]

 

    \[m_H=\frac{\frac{ p V M_{He}M_H }{ R T }-mM_H }{M_{He}-M_H}\]

Определив массу водорода, найдем массу гелия как m-m_{H}.

    \[m_H=\frac{\frac{ 2\cdot10^5 \cdot0,01\cdot4\cdot10^{-3}\cdot2\cdot10^{-3} }{ 8,31\cdot 300 }-0,002\cdot0,004}{0,004-0,002}=0,0012\]

    \[m_{He}=m-m_H=0,002-0,0012=0,0008\]

Определяем отношение масс:

    \[\frac{ m_H }{ m_{He}}=\frac{0,0012}{0,0008}=1,5\]

Ответ: \frac{ m_H }{ m_{He}}=1,5.

 

Задача 5. В камере, заполненной азотом, при температуре T_0=300 К находится открытый цилиндрический сосуд. Высота сосуда L=50 см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры T_1. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным h=40 см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры T_0. Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным H=46 см. Чему равна температура T_1? Величина силы трения между пробкой и стенками постоянна. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.

Сначала состояние газа в сосуде описывается уравнением:

    \[p_0 V_0=\nu R T_0\]

    \[p_0 V_0=\frac{m}{M} R T_0\]

Когда сосуд охлаждают, его состояние изменится:

    \[p_1 V_1=\frac{m}{M} R T_1\]

Затем сосуд снова нагрели:

    \[p_2 V_2=\frac{m}{M} R T_0\]

Здесь V_1=hS, V_2=HS, V_0=LS, p_0 – атмосферное давление.

При охлаждении сосуда объем газа будет уменьшаться вследствие падения давления, и пробку будет затягивать в сосуд. При этом сила трения направлена против движения пробки, то есть вверх. Тогда

    \[p_0=p_1+\frac{F_{tr}}{S}\]

Откуда

    \[F_{tr}=(p_0-p_1)S\]

Когда же сосуд вновь начнут нагревать, расширяющийся азот будет выталкивать пробку вверх, и сила трения будет направлена вниз, тогда:

    \[p_2=p_0+ \frac{F_{tr}}{S}\]

Подставим силу трения, полученную ранее:

    \[p_2=p_0+ p_0-p_1=2p_0-p_1\]

Из уравнений Менделеева-Клапейрона найдем \nu R

    \[\frac{ p_2V_2}{T_0}=\frac{p_0V_0}{T_0}\]

Или

    \[p_2V_2= p_0V_0\]

Подставим объемы:

    \[p_2 HS=p_0 LS\]

    \[p_2=\frac{p_0L}{H}\]

Также

    \[\frac{p_0V_0}{T_0}=\frac{p_1V_1}{T_1}\]

Подставим объемы:

    \[\frac{p_0SL}{T_0}=\frac{p_1Sh}{T_1}\]

    \[p_1=\frac{p_0 L T_1}{T_0 h}\]

Приравняем давление p_2, полученное двумя способами:

    \[2p_0-p_1=\frac{p_0L}{H}\]

Подставим p_1:

    \[2p_0-\frac{p_0 L T_1}{T_0 h}=\frac{p_0L}{H}\]

    \[2-\frac{L T_1}{T_0 h}=\frac{L}{H}\]

    \[\frac{L T_1}{T_0 h}=2-\frac{L}{H}\]

    \[T_1=\frac{(2H-L)h T_0}{H L}=\frac{(0,92-0,5)0,4\cdot 300}{0,46\cdot0,5}=219\]

Ответ: T_1=219 К.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *