Уравнение Менделеева-Клапейрона и закон Дальтона

В этой статье предложены задачи на применение  уравнения Менделеева-Клапейрона. Также вспомним и закон Дальтона: давление смеси газов складывается из парциальных давлений всех компонентов смеси.

Задача 1. Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу кг. Шар наполняют гелием. Атмосферное давление Па равно давлению гелия в шаре. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар оторвется от земли. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна С.

Масса гелия в оболочке равна:

   

Масса оболочки:

   

Масса всего шара:

   

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

   

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

   

   

   

Чтобы определить плотность гелия, запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для гелия:

   

   

   

Для воздуха поступим аналогично, при этом объем можно принять равным 1 м (это неважно):

   

Тогда

   

А масса оболочки равна

   

Ответ: 93 кг

 

Задача 2. Воздушный шар объемом м с массой оболочки кг имеет внизу отверстие, через которое воздух в шаре нагревается горелкой. До какой минимальной температуры нужно нагреть воздух в шаре, чтобы шар взлетел вместе с грузом (корзиной и воздухоплавателем) массой кг? Температура окружающего воздуха С, плотность кг/м. Оболочку шара считать нерастяжимой.

Масса всего шара:

   

Чтобы шар оторвался, необходимо, чтобы сила тяжести была бы уравновешена силой Архимеда:

   

Приравняем силу тяжести и силу Архимеда:

   

   

   

Из уравнения Менделеева-Клапейрона получим массу воздуха в шаре:

   

   

   

Теперь составим уравнение Менделеева-Клапейрона для наружного воздуха, чтобы определить давление:

   

   

Вернемся к силе тяжести и силе Архимеда:

   

   

   

   

Подставим давление:

   

Упрощаем:

   

Откуда :

   

Подставляем числа:

   

Ответ: K или С.

 

Задача 3. Теплоизолированный цилиндр, расположенный горизонтально, разделен подвижным теплопроводящим поршнем на две части. В одной части цилиндра находится гелий, а в другой – аргон. В начальный момент времени температура гелия равна 300 К, а аргона – 900 К, объемы, занимаемые газами, одинаковы, а поршень находится в равновесии. Во сколько раз изменится объем, занимаемый гелием, после установления теплового равновесия, если поршень перемещается без трения? Теплоемкостью цилиндра и поршня пренебречь.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

   

   

Так как давление одинаково, то

   

   

Общий объем сосуда равен , где – объемы обоих газов.

После установления теплового равновесия объемы , .

Давления будут тоже другими (и равными!):

   

   

Тогда

   

   

Но , а с учетом отношения объемов

   

   

   

Таким образом, объем гелия изменится в 1,5 раза.

Задача 4. Сосуд объемом 10 л содержит смесь водорода и гелия общей массой 2 г. При температуре  С давление в сосуде равно 200 кПа. Каково отношение массы водорода к массе гелия в смеси?

Каждый газ создает свое парциальное давление, поэтому

   

Из уравнения Менделеева-Клапейрона

   

   

Тогда

   

   

   

   

   

   

 

   

Определив массу водорода, найдем массу гелия как .

   

   

Определяем отношение масс:

   

Ответ: .

 

Задача 5. В камере, заполненной азотом, при температуре К находится открытый цилиндрический сосуд. Высота сосуда см. Сосуд плотно закрывают цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры . В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки становится равным см. Затем сосуд нагревают до первоначальной температуры . Расстояние от дна сосуда до низа пробки при этой температуре становится равным см. Чему равна температура ? Величина силы трения между пробкой и стенками постоянна. Массой пробки пренебречь. Давление азота в камере во время эксперимента поддерживается постоянным.

Сначала состояние газа в сосуде описывается уравнением:

   

   

Когда сосуд охлаждают, его состояние изменится:

   

Затем сосуд снова нагрели:

   

Здесь , , , – атмосферное давление.

При охлаждении сосуда объем газа будет уменьшаться вследствие падения давления, и пробку будет затягивать в сосуд. При этом сила трения направлена против движения пробки, то есть вверх. Тогда

   

Откуда

   

Когда же сосуд вновь начнут нагревать, расширяющийся азот будет выталкивать пробку вверх, и сила трения будет направлена вниз, тогда:

   

Подставим силу трения, полученную ранее:

   

Из уравнений Менделеева-Клапейрона найдем

   

Или

   

Подставим объемы:

   

   

Также

   

Подставим объемы:

   

   

Приравняем давление , полученное двумя способами:

   

Подставим :

   

   

   

   

Ответ: К.