Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона. Графические задачи.

В этой статье приведены задачи, решая которые, мы научимся определять по графикам параметры состояния газа, и использовать найденные или известные параметры для отыскания неизвестных.

К задаче 1

Задача  1. Моль аргона, имеющий температуру T_1 = 900 К в состоянии 1, последовательно переводят в состояние 3. Считая аргон идеальным газом, определите среднюю квадратичную  скорость его атомов в состоянии 3. M= 40 г/моль.

Запишем формулу для среднеквадратичной скорости молекул:

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{3kT}{m_0}}\]

Так как нас интересует скорость атомов в состоянии 3, то и температуру нам надо найти именно для этого состояния газа. Ну а массу атома мы определим, зная количество вещества:

    \[M=N_A\cdot m_0\]

    \[m_0=\frac{M}{ N_A }\]

Для определения температуры давайте напишем уравнения для состояний газа:

    \[p_1V_1=RT_1\]

    \[p_2V_2=RT_2\]

    \[p_3V_3=RT_3\]

Разделим третье уравнение на первое:

    \[\frac{T_3}{T_1}=\frac{ p_3V_3}{ p_1V_1}\]

Так как p_1=p_0, V_1=V_0, p_3=3p_0, V_3=3V_0, то

    \[\frac{T_3}{T_1}=\frac{ p_0\cdot V_0}{ 3p_0\cdot 3V_0}=9\]

Следовательно, T_1=9T_3

    \[T_3=\frac{T_1}{9}=100\]

Определяем скорость:

    \[\upsilon=\sqrt{\frac{3kT_3}{m_0}}=\sqrt{\frac{kT_1 N_A}{3M}}=\sqrt{\frac{1,38\cdot10^{-23}\cdot900\cdot6\cdot10^{23}}{3\cdot4\cdot10^{-2}}}=249,2\]

Ответ: \upsilon=249,2 м/с.

 

К задаче 2

Задача 2. На рТ-диаграмме изображен замкнутый процесс, который совершает некоторая масса кислорода. Известно, что максимальный объем, который занимал газ в этом процессе, V_{max} = 16,4 дм^3. Определите массу газа и его объем в точке 1.

Напишем уравнение Менделева-Клапейрона для состояния газа:

    \[pV=\nu RT\]

Тогда объем равен:

    \[V=\frac{\nu RT }{p}\]

Следовательно, объем будет максимален при минимальном давлении и максимальной температуре. На рисунке это точка 3.

    \[V_3=\frac{\nu RT_3 }{p_3}\]

Определим из этого уравнения недостающие для решения задачи данные:

    \[\nu R = \frac{p_3V_3}{ T_3}\]

Тогда объем газа в точке 1 равен:

    \[V_1=\frac{\nu RT_1 }{p_1}=\frac{ p_3 V_3 T_1 }{p_1 T_3}=\frac{ 10^5\cdot 16,4 \cdot 10^{-3}\cdot 300 }{10^5\cdot 400}=0,0123\]

А масса газа определится из выражения:

    \[V_3=\frac{\nu RT_3 }{p_3}=\frac{m RT_3 }{Mp_3}\]

    \[m=\frac{p_3 V_3 M}{ RT_3 }=\frac{10^5\cdot 16,4 \cdot 10^{-3}\cdot32\cdot10^{-3}}{ 8,31\cdot 400 }=0,0158\]

Ответ: V_1=12,3 дм^3; m=0,016 кг.
Задача 3. Некоторая масса газа занимает объем при давлении p_1 и температуре T_1‚ равный V_1. Затем газ при постоянном объеме нагревают до температуры T_2 = 2T_1; после чего происходит расширение газа при постоянном давлении до объема V_3 = 4V_1. Из получившегося состояния газ возвращают в начальное (p_1, V_1, T_1)‚ причем так, что во время этого процесса pV^n=const. Определите показатель степени n.
Первый процесс протекает при постоянном объеме, то есть изохорно, следовательно, можно записать уравнение по закону Шарля:

    \[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2}\]

Так как T_2 = 2T_1, то p_2=2p_1.

Затем расширение происходит по закону Гей-Люссака:

    \[\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}\]

Так как V_3 = 4V_1, то

    \[\frac{V_1}{2T_1}=\frac{4V_1}{T_3}\]

    \[T_3=8T_1\]

Далее процесс происходит по закону

    \[p_1V_1^n=p_3V_3^n\]

Подставим известное давление и сократим известные величины:

    \[p_1V_1^n=2p_1(4V_1)^n\]

    \[V_1^n=2\cdot4^n\cdot V_1^n\]

Получили показательное уравнение:

    \[1=2\cdot2^{2n}\]

    \[2^0=2^{1+2n}\]

    \[1+2n=0\]

Откуда n=-\frac{1}{2}.

Ответ: n=-\frac{1}{2}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *