Уравнение Менделеева-Клапейрона.

1. При температуре 250 K и давлении 1,5*10^5 Па плотность газа равна 2 кг/ . Какова молярная масса этого газа?

1) $3,6*10^{-3}$ кг/моль
2) 240 кг/моль
3) $27,7*10^{-3}$ кг/моль
4) 0,28*10^5 кг/моль

Уравнение Менделеева-Клапейрона связывает объем, давление, температуру и количество вещества газа:

Количество вещества газа можем записать как частное от деления массы газа на его молярную массу: {nu}=m/M

, а массу – как произведение плотности на объем: m={rho}V

Собираем это все в одну формулу: pV={{{rho}V}/M}RT

Сокращаем объем и “вытаскиваем” молярную массу:

Считаем: $M={2*8,314*250}/{1,5*10^5}=27,7*10^{-3}$ кг/моль

Ответ: 3.

2. Воздух охлаждали в сосуде постоянного объема. При этом температура воздуха в сосуде снизилась в 8 раз, а его давление уменьшилось в 4 раза. Оказалось, что кран у сосуда был закрыт плохо, и через него просачивался воздух. Во сколько раз изменилась масса воздуха в сосуде?

1) увеличилась в 8 раз
2) уменьшилась в 8 раз
3) уменьшилась в 2 раза
4) увеличилась в 2 раза

Выражаем количество вещества через массу и молярную массу газа: {nu}=m/M , тогда: pV={m/M}RT

Запишем это выражение для первого и второго состояний газа: $p_1V={m_1/M}RT_1$ ,

$p_2V={m_2/M}RT_2$ . Объем оставили неизменным, так как он не менялся по условию. Выражаем массу:

$m_1={p_1VM}/{RT_1}$ , $m_2={p_2VM}/{RT_2}$ .

Теперь найдем отношение этих двух выражений:

${m_1/m_2}={p_1T_2}/{p_2T_1}$

В эту формулу введем произошедшие изменения: $p_2={1/4}p_1$ , $T_2={1/8}T_1$ :

${m_1/m_2}={4p_1T_1}/{8p_1T_1}=4/8=1/2$ , или m_2=2m_1 , что означает, что в сосуд просочился воздух извне и масса увеличилась вдвое.

Ответ: 4.

3. Одноатомный идеальный газ в количестве молей поглощает количество теплоты 2 кДж. При этом температура газа повышается на 40 К. Работа, совершаемая газом в этом процессе, равна 1 кДж. Число молей газа приблизительно равно

1) 1
2) 2
3) 6
4) 4

Сначала определим, на какую величину изменилась внутренняя энергия газа. По первому началу термодинамики энергия, поглощенная газом, идет на работу и повышение внутренней энергии газа. У нас газ поглотил 2 кДж энергии, а работы совершил на 1 кДж, значит, 1 кДж он “положил в карман”. Изменение внутренней энергии можно записать: {Delta}U={3/2}{nu}R{Delta}T , откуда выразим количество вещества:

${nu}={{Delta}U}/{{3/2}R{Delta}T}={2{Delta}U}/{3R{Delta}T}={2*10^3}/{3*8,314*40}=50/{3*8,314}{approx}50/24{approx}2$

Ответ: 2.

4. Два моля идеального газа находились в баллоне, где имеется клапан, выпускающий газ при давлении внутри баллона более 1,5*10^5 Па. При температуре 300 К давление в баллоне было равно 1*10^5 Па. Затем газ нагрели до температуры 900 К. Сколько газа при этом вышло из баллона?

1) 0,25 моль
2) 0,5 моль
3) 1 моль
4) 1,5 моль

Уравнение Менделеева-Клапейрона связывает объем, давление, температуру и количество вещества газа:

pV={nu}RT

Давление можно записать: p={{nu}RT}/V , как видно, оно прямо зависит от температуры. Поэтому, если 300 К соответствует давление 100 кПа, то втрое большей температуре будет соответствовать давление 300 кПа, что превышает допустимое в ${3*10^5}/{1,5*10^5}=2$ раза. То есть реальное, высокое, давление благодаря утечке изменится и станет в 2 раза меньше. Значит, и количество вещества изменится во столько же раз: ${nu_2}/{nu_1}=1/2$ , ${nu_2}={nu_1}/2=1$ моль. Тогда из баллона вышло ${nu_1}-{nu_2}=2-1=1$ моль газа.

Можно решать эту задачу и так: найти объем баллона, затем определить количество вещества, которое может находиться в баллоне при указанной температуре 900 К, и вычесть это количество из исходных 2 моль.

Ответ: 3.

5. Идеальный газ изохорно нагревают так, что его температура изменяется на {Delta}T=240 К, а давление — в 1,8 раза. Масса газа постоянна. Какова начальная температура газа по шкале Кельвина?

1) 384 К

2) 857 К
3) 300 К
4) 400 К

Раз газ нагревают изохорно, то его объем не меняется. На этом и построим решение. Запишем объем для первого состояния газа и для второго и приравняем их:

pV={nu}RT , V={{nu}RT}/p .

Первоначальное состояние:

$V={{nu}RT_1}/{p_1}$

Состояние после нагрева:

$V={{nu}RT_2}/{p_2}$

Приравниваем объемы: ${{nu}RT_2}/{p_2}={{nu}RT_1}/{p_1}$ , или ${T_2}/{p_2}={T_1}/{p_1}$ .

Известно, что изменилась температура газа: T_2=T_1+240 и давление $p_2={1,8}p_1$ .

Подставим наши изменения:

${T_1+240}/{1,8p_1}={T_1}/{p_1}$ , или ${T_1+240}=1,8{T_1}$

$240=0,8{T_1}$

${T_1}=300$

Ответ: 3

6. Идеальный газ, находящийся в сосуде, переводят из состояния 1 в состояние 2. В таблице указаны значения давления р, объёма V и температуры Т газа в этих состояниях.

Параметры газа	Состояние 1	Состояние 2
р, атм.	2	1,5
V, л	1	2
Т, град. Цельсия	27	177

Из таблицы следует, что

1) из сосуда имеется утечка газа

2) в сосуд добавляли газ
3) сосуд плотно закрыт и в нём находится $0,8*10^{-3}$ молей газа
4) сосуд плотно закрыт и в нём находится 0,08 молей газа

Определим количество вещества газа для обоих состояний: из уравнения Клапейрона-Менделеева pV={nu}RT , откуда

{nu}=pV/RT

${nu_1}={2*1}/{8,31*(27+273)}=1/{8,31*150}$

${nu_2}={1,5*2}/{8,31*(177+273)}=3/{8,31*450}=1/{8,31*150}$

Даже не доводя расчет до конца, видим, что оба состояния эквивалентны и количество вещества в том и другом случаях одинаково. Первый и второй ответы отбрасываем. Определим количество газа:

${nu_2}=1/{8,31*150}=0,8*10^{-3}$ молей.

Ответ: 3.

7. С идеальным газом происходит циклический процесс, диаграмма p–V которого представлена на рисунке. Наинизшая температура, достигаемая газом в этом процессе, составляет 300 К. Определите количество вещества этого газа.

работа газа

1) 0,36 моль
2) 0,18 моль
3) 0,12 моль
4) 0,24 моль

Из уравнения pV={nu}RT видно, что произведение давления на объем пропорционально температуре. Поэтому минимальной температуре будут соответствовать минимальное давление и минимальный объем. На графике это точка, совпадающая с нижним левым углом прямоугольника, изображающего цикл. Этой точке соответствует давление 100 кПа и объем 3 л. Теперь можем и количество вещества определить (не забудем от литров перейти к кубическим метрам): ${nu}={pV}/{RT}={100*10^3*3*10^{-3}}/{8,31*300}=0,12$ моль.

Ответ: 3.

8. Во время опыта абсолютная температура воздуха в сосуде понизилась в 2 раза, и он перешёл из состояния 1 в состояние 2 (см. рисунок). Кран у сосуда был закрыт неплотно, и сквозь него мог просачиваться воздух. Рассчитайте отношение N_2/N_1 числа молекул газа в сосуде в конце и начале опыта. Воздух считать идеальным газом.

1) {1/3}

2) {2/3}
3) {3/2}

4) {4/3}

Отношение количества молекул газа равно отношению количества вещества в состоянии 1 и в состоянии 2. А количество вещества можно легко определить из уравнения Менделеева-Клапейрона:

{nu}={pV}/{RT} моль.