Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Уравнение Менделеева-Клапейрона

Уравнение Менделеева-Клапейрона.

1. При тем­пе­ра­ту­ре 250 K и дав­ле­нии 1,5*10^5 Па  плот­ность газа равна 2 кг/ . Ка­ко­ва мо­ляр­ная масса этого газа?

1) 3,6*10^{-3} кг/моль
2) 240 кг/моль
3) 27,7*10^{-3} кг/моль
4) 0,28*10^5 кг/моль

Уравнение Менделеева-Клапейрона связывает объем, давление, температуру и количество вещества газа:
pV={nu}RT
Количество вещества газа можем записать как частное от деления массы газа на его молярную массу: {nu}=m/M, а массу – как произведение плотности на объем: m={rho}V.
Собираем это все в одну формулу: pV={{{rho}V}/M}RT
Сокращаем объем и “вытаскиваем” молярную массу:
p={{rho}/M}RT
M={{rho}RT}/p
Считаем: M={2*8,314*250}/{1,5*10^5}=27,7*10^{-3} кг/моль
Ответ: 3.

2. Воз­дух охла­жда­ли в со­су­де по­сто­ян­но­го объ­е­ма. При этом тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в со­су­де сни­зи­лась в 8 раз, а его дав­ле­ние умень­ши­лось в 4 раза. Ока­за­лось, что кран у со­су­да был за­крыт плохо, и через него про­са­чи­вал­ся воз­дух. Во сколь­ко раз из­ме­ни­лась масса воз­ду­ха в со­су­де?

1) уве­ли­чи­лась в 8 раз
2) умень­ши­лась в 8 раз
3) умень­ши­лась в 2 раза
4) уве­ли­чи­лась в 2 раза

Выражаем количество вещества через массу и молярную массу газа:  {nu}=m/M, тогда: pV={m/M}RT

Запишем это выражение для первого и второго состояний газа: p_1V={m_1/M}RT_1,

p_2V={m_2/M}RT_2. Объем оставили неизменным, так как он не менялся по условию. Выражаем массу:

m_1={p_1VM}/{RT_1}m_2={p_2VM}/{RT_2}.

Теперь найдем отношение этих двух выражений:

{m_1/m_2}={p_1T_2}/{p_2T_1}

В эту формулу введем произошедшие изменения: p_2={1/4}p_1T_2={1/8}T_1:

{m_1/m_2}={4p_1T_1}/{8p_1T_1}=4/8=1/2, или m_2=2m_1, что означает, что в сосуд просочился воздух извне и масса увеличилась вдвое.

Ответ: 4.

3. Од­но­атом­ный иде­аль­ный газ в ко­ли­че­стве nu молей по­гло­ща­ет ко­ли­че­ство теп­ло­ты 2 кДж. При этом тем­пе­ра­ту­ра газа по­вы­ша­ет­ся на 40 К. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая газом в этом про­цес­се, равна 1 кДж. Число молей газа при­бли­зи­тель­но равно

1) 1
2) 2
3) 6
4) 4

Сначала определим, на какую величину изменилась внутренняя энергия газа. По первому началу термодинамики энергия, поглощенная газом, идет на работу и повышение внутренней энергии газа. У нас газ поглотил 2 кДж энергии, а работы совершил на 1 кДж, значит, 1 кДж он “положил в карман”. Изменение внутренней энергии можно записать: {Delta}U={3/2}{nu}R{Delta}T, откуда выразим количество вещества:

{nu}={{Delta}U}/{{3/2}R{Delta}T}={2{Delta}U}/{3R{Delta}T}={2*10^3}/{3*8,314*40}=50/{3*8,314}{approx}50/24{approx}2

Ответ: 2.

4. Два моля иде­аль­но­го газа на­хо­ди­лись в бал­ло­не, где име­ет­ся кла­пан, вы­пус­ка­ю­щий газ при дав­ле­нии внут­ри бал­ло­на более 1,5*10^5 Па. При тем­пе­ра­ту­ре 300 К дав­ле­ние в бал­ло­не было равно 1*10^5 Па. Затем газ на­гре­ли до тем­пе­ра­ту­ры 900 К. Сколь­ко газа при этом вышло из бал­ло­на?

 

1) 0,25 моль
2) 0,5 моль
3) 1 моль
4) 1,5 моль

Уравнение Менделеева-Клапейрона связывает объем, давление, температуру и количество вещества газа:

pV={nu}RT

Давление можно записать: p={{nu}RT}/V, как видно, оно прямо зависит от температуры. Поэтому, если 300 К соответствует давление 100 кПа, то втрое большей температуре будет соответствовать давление 300 кПа, что превышает допустимое в {3*10^5}/{1,5*10^5}=2 раза. То есть реальное, высокое, давление благодаря утечке изменится и станет в 2 раза меньше. Значит, и количество вещества изменится во столько же раз: {nu_2}/{nu_1}=1/2{nu_2}={nu_1}/2=1 моль. Тогда из баллона вышло {nu_1}-{nu_2}=2-1=1 моль газа.

Можно решать эту задачу и так: найти объем баллона, затем определить количество вещества, которое может находиться в баллоне при указанной температуре 900 К, и вычесть это количество из исходных 2 моль.

Ответ: 3.

5. Иде­аль­ный газ изо­хор­но на­гре­ва­ют так, что его тем­пе­ра­ту­ра из­ме­ня­ет­ся на {Delta}T=240 К, а дав­ле­ние — в 1,8 раза. Масса газа по­сто­ян­на. Ка­ко­ва на­чаль­ная тем­пе­ра­ту­ра газа по шкале Кель­ви­на?

1) 384 К

2) 857 К
3) 300 К
4) 400 К

Раз газ нагревают изохорно, то его объем не меняется. На этом и построим решение. Запишем объем для первого состояния газа и для второго и приравняем их:

pV={nu}RTV={{nu}RT}/p.

Первоначальное состояние:

V={{nu}RT_1}/{p_1}

Состояние после нагрева:

V={{nu}RT_2}/{p_2}

Приравниваем объемы: {{nu}RT_2}/{p_2}={{nu}RT_1}/{p_1}, или {T_2}/{p_2}={T_1}/{p_1}.

Известно, что изменилась температура газа: T_2=T_1+240 и давление p_2={1,8}p_1.

Подставим наши изменения:

{T_1+240}/{1,8p_1}={T_1}/{p_1}, или {T_1+240}=1,8{T_1}

240=0,8{T_1}

{T_1}=300

Ответ: 3

6. Иде­аль­ный газ, на­хо­дя­щий­ся в со­су­де, пе­ре­во­дят из со­сто­я­ния 1 в со­сто­я­ние 2. В таб­ли­це ука­за­ны зна­че­ния дав­ле­ния р, объёма V и тем­пе­ра­ту­ры Т газа в этих со­сто­я­ни­ях.
Параметры газаСостояние 1Состояние 2
р, атм.21,5
V, л12
Т, град. Цельсия27177

Из таб­ли­цы сле­ду­ет, что

1) из со­су­да име­ет­ся утеч­ка газа

2) в сосуд до­бав­ля­ли газ
3) сосуд плот­но за­крыт и в нём на­хо­дит­ся 0,8*10^{-3}  молей газа
4) сосуд плот­но за­крыт и в нём на­хо­дит­ся 0,08 молей газа

Определим количество вещества газа для обоих состояний:  из уравнения Клапейрона-Менделеева pV={nu}RT, откуда

{nu}=pV/RT

{nu_1}={2*1}/{8,31*(27+273)}=1/{8,31*150}

{nu_2}={1,5*2}/{8,31*(177+273)}=3/{8,31*450}=1/{8,31*150}

Даже не доводя расчет до конца, видим, что оба состояния эквивалентны и количество вещества в том и другом случаях одинаково. Первый и второй ответы отбрасываем. Определим количество газа:

{nu_2}=1/{8,31*150}=0,8*10^{-3} молей.

Ответ: 3.

7. С иде­аль­ным газом про­ис­хо­дит цик­ли­че­ский про­цесс, диа­грам­ма p–V ко­то­ро­го пред­став­ле­на на ри­сун­ке. Наи­низ­шая тем­пе­ра­ту­ра, до­сти­га­е­мая газом в этом про­цес­се, со­став­ля­ет 300 К. Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство ве­ще­ства этого газа.

1) 0,36 моль
2) 0,18 моль
3) 0,12 моль
4) 0,24 моль

Из уравнения pV={nu}RT видно, что произведение давления на объем пропорционально температуре. Поэтому минимальной температуре будут соответствовать минимальное давление и минимальный объем. На графике это точка, совпадающая с нижним левым углом прямоугольника, изображающего цикл. Этой точке соответствует давление 100 кПа и объем 3 л. Теперь можем и количество вещества определить (не забудем от литров перейти к кубическим метрам):   {nu}={pV}/{RT}={100*10^3*3*10^{-3}}/{8,31*300}=0,12 моль.

Ответ: 3.

8. Во время опыта аб­со­лют­ная тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха в со­су­де по­ни­зи­лась в 2 раза, и он перешёл из со­сто­я­ния 1 в со­сто­я­ние 2 (см. ри­су­нок). Кран у со­су­да был за­крыт не­плот­но, и сквозь него мог про­са­чи­вать­ся воз­дух. Рас­счи­тай­те от­но­ше­ние  N_2/N_1  числа мо­ле­кул газа в со­су­де в конце и на­ча­ле опыта. Воз­дух счи­тать иде­аль­ным газом.

1) {1/3}  

2){2/3} 
3) {3/2} 

4) {4/3} 

Отношение  количества молекул газа равно отношению количества вещества в состоянии 1 и в состоянии 2. А количество вещества можно легко определить из уравнения Менделеева-Клапейрона:

{nu}={pV}/{RT} моль.

Найдем отношение количеств вещества в первом и втором состояниях:

{nu_1}={p_1V_1}/{RT_1}

{nu_2}={p_2V_2}/{RT_2}

{nu_1}/{nu_2}={{p_1V_1}/{T_1}}*{{T_2}/{p_2V_2}}=900/{300*2}={3/2}, а  {nu_2}/{nu_1}={2/3}

Ответ: 2.

9. На ри­сун­ке по­ка­зан гра­фик изо­тер­ми­че­ско­го сжа­тия газа при тем­пе­ра­ту­ре 150 К. Какое ко­ли­че­ство га­зо­об­раз­но­го ве­ще­ства со­дер­жит­ся в этом со­су­де?

1) 40 моль
2) 50 моль
3) 60 моль
4) 20 моль

 Возьмем какую-нибудь целочисленную точку на графике: например, давление 50*10^4 Па и объем 0,1 куб. метра. Зная температуру, легко определяем количество вещества:

{nu}={pV}/{RT}={50*10^4*0,1}/{8,31*150}=40 моль.

Ответ: 1.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *