Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: Гидродинамика

Уравнение Бернулли. Теорема о неразрывности струи.


Сегодня решаем задачи на теорему Эйлера о неразрывности струи и вспоминаем уравнение Бернулли.

Уравнение неразрывности струи:

Русло реки в разрезе

Русло реки. Разрез

Здесь – скорость струи в сечении , а   – скорость в сечении . Можно сделать вывод о том, что чем уже трубка, по которой течет жидкость, тем быстрее она течет. Именно поэтому течение реки  быстрее на поверхности, чем в глубине и в середине русла, чем у берега. На рисунке показан разрез русла реки, и синим выделены зоны, где течение быстрее.

Конечно, деление сечения русла на зоны условно.

Уравнение Бернулли:

   

Здесь – плотность жидкости, – ускорение свободного падения, и – высоты элемента жидкости над землей, и – скорости жидкости на этих высотах, и – давления жидкости на этих высотах. Уравнение может быть применено как к жидкой среде, так и к газообразной.

Если записать уравнение иначе:

   

то слева имеем разность давлений. Предположим, высота одинакова, тогда уравнение запишется так:

   

Или

   

Тогда становится понятно, почему при сильном ветре большие стекла могут быть выдавлены изнутри, ведь внутри помещения скорость ветра нулевая. Если среда 1 – улица, а среда 2 – среда внутри помещения, то:

   

То есть давление внутри помещения больше давления снаружи, поэтому выдавливание произойдет наружу.

Аналогичные рассуждения можно провести и сделать вывод, что крыши во время урагана срывает по той же причине.

 

Задача 1. На эффекте Бернулли основано движение роторного судна. На этом корабле вместо парусов имеются огромные вертикальные цилиндры, непрерывно вращающиеся с помощью моторов. Допустим, что дует постоянный южный ветер, а корабль такой конструкции должен плыть на восток. Как должны вращаться цилиндры – по часовой стрелке или против, если смотреть на них сверху?


Роторное судно

Цилиндр сверху

Рассмотрим рисунок. Слева ветер как бы подгоняет цилиндр: скорость ветра складывается со скоростью цилиндра, а справа скорость ветра направлена против скорости цилинда, ветер «тормозит» его вращение. Тогда согласно уравнению Бернулли возникает положительная разность давлений: давление впереди цилиндра по ходу движения меньше, чем давление позади. Эта разность давлений и будет подталкивать судно в направлении слева направо, то есть на восток.

Ответ: по часовой стрелке.

Эффект Магнуса – также проявление действия закона Бернулли. Здесь можно посмотреть интересное видео, где показано проявление этого эффекта.

Задача 2. Вода течет по горизонтальной трубе переменного сечения. Скорость течения в горизонтальной части трубы равна 20 см/с. Определить скорость течения воды в узкой части трубы, диаметр которой в 1,5 раза меньше диаметра широкой части.


 

Воспользуемся уравнением неразрывности струи:

Пусть – скорость воды в узкой части трубы и – сечение трубы в узкой части.

Выразим из него скорость  :

   

Сечение трубы – круг, площадь круга в узкой части , в широкой части .

Тогда:

   

Про отношение диаметров нам известно, что

Тогда можно подставить в нашу формулу числа (только не забудем представить известную скорость в единицах СИ).

   

Ответ: скорость воды в узкой части 0,45 м/с

 

Задача 3. С катера, идущего со скоростью км/ч, опускают в воду изогнутую под прямым углом трубку так, что опущенный конец трубки горизонтален и обращен отверстием в сторону движения. Другой конец трубки, находящийся в воздухе, вертикален. На какую высоту по отношению к уровню воды в озере поднимется вода в трубке? Трением пренебречь.

Скорость нужно представить в единицах СИ: м/с

Скорость воды относительно катера также равна 5 м/с. То есть вода обладает кинетической энергией . Когда вода поднимается в трубку, ее кинетическая энергия преобразуется в потенциальную: .

Так как трения нет, то нет и потерь энергии, то есть можем приравнять:

   

Тогда высота подъема:

   

Ответ: 1,2 м

 

Задача 4. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью м/с. Определить скорость течения нефти в узкой части трубы, если разность давлений в широкой и узкой частях трубы составляет мм рт. ст.


 

Здесь нам снова придет на помощь уравнение Бернулли, из него можно исключить слагаемые, в которые входит высота подъема, так как по условию труба расположена горизонтально. Тогда уравнение примет вид:

   

Разность скоростей:

   

   

   

Прежде чем подставлять числа, надо выразить давление в Паскалях:

   

   

Ответ: 4,16 м/c

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *