[latexpage]
Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – девятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Про натуральные числа $x,y$ и нечетное число $z$ известно, что
$x!+y!=24z+2017$. Найти все тройки этих чисел.
Если тройка $x_0, y_0, z_0$ является решением, то $ y_0, x_0, z_0$ – тоже решение.
Справа – нечетное число. Но факториал, больший 1, обязательно четное число. Значит, либо $x=1$, либо $y=1$. Если $y=1$, то
$$ x!=24z+2016$$
$$z=84-\frac{x!}{24}$$
Так как $z$ – целое, то $\frac{x!}{24}$ тоже целое. Следовательно, $x!\geqslant 24$, а $x\geqslant 4$.
Но так как $z$ – нечетное, то $\frac{x!}{24}$ тоже нечетное. Если $x>5$, то дробь четна, значит, $x\leqslant 5$.
$x=4$, $y=1$, $z=-83$.
И, поскольку есть симметрия, то $x=1$, $y=4$, $z=-83$ – тоже решение.
$x=5$, $y=1$, $z=-79$.
И, поскольку есть симметрия, то $x=1$, $y=5$, $z=-79$ – тоже решение.
Ответ: $(1; 4; -83), (4; 1; -83), (1; 5; -79), (5; 1; -79)$
Задача 2. Решить в целых числах:
$$\begin{Bmatrix}{ x+y =z}\\{ x!+y!=z! } \end{matrix}$$
Подставим во второе уравнение $z=x+y$:
$$ x!+y!=(x+y)!$$
Если предположить, что $x\geqslant y$, то
$$ x!+y!< x!+x!=2x! $$
С другой стороны,
$$(x+y)!\geqslant(x+1)!$$
Тогда
$$x!(x+1)\leqslant 2x!$$
$$x+1\leqslant 2$$
$$x \leqslant 1$$
$$x=1$$
Тогда $y=1$ и $z=2$.
Ответ: $(1; 1; 2)$
Задача 3. Решить в целых числах: $x^y=y^x$.
Пусть $x>y, x>0, y>0$. Прологарифмируем:
$$y \ln x=x \ln y $$
$$\frac{\ln y }{y}=\frac{\ln x }{x}$$
Введем функцию:
$$f(t)= \frac{\ln t }{t}$$
Исследуем ее:
$$f’(t)=\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\ln t}{t^2}=\frac{1-\ln t}{t^2}=0$$
$$t=e$$
В точке $e$ – максимум функции.
$$0<y<e<x$$
$y=2$ (случай $y=1$ неинтересен).
Тогда
$$2^x=x^2$$
Подбором устанавливаем, что $x=4$.
Ответ: $(2;4), (4; 2)$
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...