Учимся решать задачу 19. Часть 9

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – девятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Про натуральные числа $x,y$ и нечетное число $z$ известно, что

$x!+y!=24z+2017$. Найти все тройки этих чисел.

Если тройка $x_0, y_0, z_0$ является решением, то  $ y_0, x_0, z_0$ – тоже решение.

Справа – нечетное число. Но факториал, больший 1, обязательно четное число. Значит, либо $x=1$, либо $y=1$. Если $y=1$, то

$$ x!=24z+2016$$

$$z=84-\frac{x!}{24}$$

Так как $z$ – целое, то $\frac{x!}{24}$ тоже целое. Следовательно, $x!\geqslant 24$, а $x\geqslant 4$.

Но так как $z$ – нечетное, то $\frac{x!}{24}$ тоже нечетное. Если $x>5$, то дробь четна, значит, $x\leqslant 5$.

$x=4$, $y=1$, $z=-83$.

И, поскольку есть симметрия, то $x=1$, $y=4$, $z=-83$ – тоже решение.

$x=5$, $y=1$, $z=-79$.

И, поскольку есть симметрия, то $x=1$, $y=5$, $z=-79$ – тоже решение.

Ответ: $(1; 4; -83), (4; 1; -83), (1; 5; -79), (5; 1; -79)$

Задача 2. Решить в целых числах:

$$\begin{Bmatrix}{ x+y =z}\\{ x!+y!=z! } \end{matrix}$$

Подставим во второе уравнение $z=x+y$:

$$ x!+y!=(x+y)!$$

Если предположить, что $x\geqslant y$, то

$$ x!+y!< x!+x!=2x! $$

С другой стороны,

$$(x+y)!\geqslant(x+1)!$$

Тогда

$$x!(x+1)\leqslant 2x!$$

$$x+1\leqslant 2$$

$$x \leqslant 1$$

$$x=1$$

Тогда $y=1$ и $z=2$.

Ответ: $(1; 1; 2)$

Задача 3. Решить в целых числах: $x^y=y^x$.

Пусть $x>y, x>0, y>0$. Прологарифмируем:

$$y \ln x=x \ln y $$

$$\frac{\ln y }{y}=\frac{\ln x }{x}$$

Введем функцию:

$$f(t)= \frac{\ln t }{t}$$

Исследуем ее:

$$f’(t)=\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\ln t}{t^2}=\frac{1-\ln t}{t^2}=0$$

$$t=e$$

В точке $e$ – максимум функции.

$$0<y<e<x$$

$y=2$ (случай $y=1$ неинтересен).

Тогда

$$2^x=x^2$$

Подбором устанавливаем, что $x=4$.

Ответ: $(2;4), (4; 2)$