Просто о физике, математике, электротехнике

Просто о физике, математике, электротехнике

Репетитор

Главная /// Математика /// ЕГЭ профиль /// Теория чисел (19 (C7)) /// Учимся решать задачу 19. Часть 9

Категория: Теория чисел (19 (C7))

2019-10-22 | Автор: Анна

Учимся решать задачу 19. Часть 9

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – девятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Про натуральные числа $x,y$ и нечетное число $z$ известно, что

$x!+y!=24z+2017$ . Найти все тройки этих чисел.

Если тройка $x_0, y_0, z_0$ является решением, то $y_0, x_0, z_0$ – тоже решение.

Справа – нечетное число. Но факториал, больший 1, обязательно четное число. Значит, либо $x=1$ , либо $y=1$ . Если $y=1$ , то

$x!=24z+2016$

$z=84-\frac{x!}{24}$

Так как $z$ – целое, то $\frac{x!}{24}$ тоже целое. Следовательно, $x!\geqslant 24$ , а $x\geqslant 4$ .

Но так как $z$ – нечетное, то $\frac{x!}{24}$ тоже нечетное. Если $x>5$ , то дробь четна, значит, $x\leqslant 5$ .

$x=4$ , $y=1$ , $z=-83$ .

И, поскольку есть симметрия, то $x=1$ , $y=4$ , $z=-83$ – тоже решение.

$x=5$ , $y=1$ , $z=-79$ .

И, поскольку есть симметрия, то $x=1$ , $y=5$ , $z=-79$ – тоже решение.

Ответ: $(1; 4; -83), (4; 1; -83), (1; 5; -79), (5; 1; -79)$

Задача 2. Решить в целых числах:

$\begin{Bmatrix}{ x+y =z}\\{ x!+y!=z! } \end{matrix}$

Подставим во второе уравнение $z=x+y$ :

$x!+y!=(x+y)!$

Если предположить, что $x\geqslant y$ , то

$x!+y!< x!+x!=2x!$

С другой стороны,

$(x+y)!\geqslant(x+1)!$

Тогда

$x!(x+1)\leqslant 2x!$

$x+1\leqslant 2$

$x \leqslant 1$

$x=1$

Тогда $y=1$ и $z=2$ .

Ответ: $(1; 1; 2)$

Задача 3. Решить в целых числах: $x^y=y^x$ .

Пусть $x>y, x>0, y>0$ . Прологарифмируем:

$y \ln x=x \ln y$

$\frac{\ln y }{y}=\frac{\ln x }{x}$

Введем функцию:

$f(t)= \frac{\ln t }{t}$

Исследуем ее:

$f'(t)=\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\ln t}{t^2}=\frac{1-\ln t}{t^2}=0$

$t=e$

В точке $e$ – максимум функции.

$0<y<e<x$

$y=2$ (случай $y=1$ неинтересен).

Тогда

$2^x=x^2$

Подбором устанавливаем, что $x=4$ .

Ответ: $(2;4), (4; 2)$

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

МЕНЮ

2019

Автор сайта

EASY-PHYSIC.RU © 17-11-2019

Денисова Анна Валерьевна

Авторские права

Сайт Денисовой Анны Валерьевны «Простая физика» - Просто об электротехнике, электронике, математике, физике. © Все права защищены. 2014 - 2015.

Все материалы сайта бесплатны! Копируя, ставьте пожалуйста ссылку на сайт "Простая физика".

Календарь