Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 9

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – девятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Про натуральные числа x,y и нечетное число z известно, что

x!+y!=24z+2017. Найти все тройки этих чисел.

Если тройка x_0, y_0, z_0 является решением, то  y_0, x_0, z_0 – тоже решение.

Справа – нечетное число. Но факториал, больший 1, обязательно четное число. Значит, либо x=1, либо y=1. Если y=1, то

    \[x!=24z+2016\]

    \[z=84-\frac{x!}{24}\]

Так как z – целое, то \frac{x!}{24} тоже целое. Следовательно, x!\geqslant 24, а x\geqslant 4.

Но так как z – нечетное, то \frac{x!}{24} тоже нечетное. Если x>5, то дробь четна, значит, x\leqslant 5.

x=4, y=1, z=-83.

И, поскольку есть симметрия, то x=1, y=4, z=-83 – тоже решение.

x=5, y=1, z=-79.

И, поскольку есть симметрия, то x=1, y=5, z=-79 – тоже решение.

Ответ: (1; 4; -83), (4; 1; -83), (1; 5; -79), (5; 1; -79)

Задача 2. Решить в целых числах:

    \[\begin{Bmatrix}{ x+y =z}\\{ x!+y!=z! } \end{matrix}\]

Подставим во второе уравнение z=x+y:

    \[x!+y!=(x+y)!\]

Если предположить, что x\geqslant y, то

    \[x!+y!< x!+x!=2x!\]

С другой стороны,

    \[(x+y)!\geqslant(x+1)!\]

Тогда

    \[x!(x+1)\leqslant 2x!\]

    \[x+1\leqslant 2\]

    \[x \leqslant 1\]

    \[x=1\]

Тогда y=1 и z=2.

Ответ: (1; 1; 2)

Задача 3. Решить в целых числах: x^y=y^x.

Пусть x>y, x>0, y>0. Прологарифмируем:

    \[y \ln x=x \ln y\]

    \[\frac{\ln y }{y}=\frac{\ln x }{x}\]

Введем функцию:

    \[f(t)= \frac{\ln t }{t}\]

Исследуем ее:

    \[f'(t)=\frac{\frac{1}{t}\cdot t-\ln t}{t^2}=\frac{1-\ln t}{t^2}=0\]

    \[t=e\]

В точке e – максимум функции.

    \[0<y<e<x\]

y=2 (случай y=1 неинтересен).

Тогда

    \[2^x=x^2\]

Подбором устанавливаем, что x=4.

Ответ: (2;4), (4; 2)

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *