[latexpage]
Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восьмая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1, x_2 \in N, p,q\in Z$.
а)Найти все значения $p$, если $q=55$.
б)Известно, что $p+q=30$. Найти все $q$.
в)При $q^2-p^2=2108$ найти все корни.
а) По Виету $q=x_1x_2$, и так как $ x_1, x_2 \in N$, то $q>0$.
$p=-x_1-x_2<0$
Тогда
$$ x_1x_2=55=1\cdot55=5\cdot11$$
$$p_1=-(1+55)=-56$$
$$p_2=-(5+11)=-16$$
б) По Виету $q=x_1x_2$, $p=-x_1-x_2$
Тогда
$$ x_1x_2-x_1-x_2=30$$
$$(x_1-1)(x_2-1)=31$$
Если $x_1-1=1$, $x_2-1=31$, то $x_1=2$, $x_2=32$.
$$q=64$$
в)
$$ (q-p)(q+p)=2108$$
Так как произведение четное, и разность слагаемых четная, то и множители четные.
$$2108=2^2\cdot17\cdot31$$
Кроме того, $q>p$.
Тогда
q-p | q+p |
---|---|
2*17 | 2*31 |
2 | 2*17*31 |
2*31 | 2*17 |
2*17*31 | 2 |
Первый случай.
$$\begin{Bmatrix}{ q-p =34}\\{ q+p=62 } \end{matrix}$$
Складываем уравнения
$$2q=96$$
$$q=48$$
$$p=14$$
Тогда
$$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ -x_1-x_2=14 } \end{matrix}$$
$$x_2=-x_1-14$$
$$x_1(-x_1-14)=48$$
$$x_1=-6$$
Или $x_1=-8$, тогда $x_2=-8$ или $x_2=-6$ – все не натуральные.
Второй случай:
$$\begin{Bmatrix}{ q-p =2}\\{ q+p=1054 } \end{matrix}$$
Складываем уравнения
$$2q=1056$$
$$q=528$$
$$p=526$$
Тогда
$$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =528}\\{ -x_1-x_2=526 } \end{matrix}$$
$$x_2=-x_1-526$$
$$x_1(-x_1-526)=528$$
Дискриминант – не целое. Корни не натуральные.
Третий случай:
$$\begin{Bmatrix}{ q-p =62}\\{ q+p=34 } \end{matrix}$$
Складываем уравнения
$$2q=96$$
$$q=48$$
$$p=-14$$
Тогда
$$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ x_1+x_2=14 } \end{matrix}$$
Корни видны по Виету: 6 и 8.
В четвертом случае снова получим дискриминант, не являющийся полным квадратом.
Ответ: а)$p_1=-56, p_2=-16$, б) $q=64$, в) $(6,8)$.
Задача 2. Решить в натуральных числах: $m!+12=n^2$.
Заметим, что если $m\geqslant 5$, то $m!$ делится на 10. То есть $m<5$.
Если $m=1$, то $n^2=13$
Если $m=2$, то $n^2=14$
Если $m=3$, то $n^2=18$
Если $m=4$, то $n^2=36$
Ответ: $m=4, n=6$.
Задача 3. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Эти же шарики можно разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 5 шариков меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет по три пакетика и коробок потребуется на 2 меньше, чем раньше. Какое наибольшее количество шариков может быть при этих условиях?
Пусть имеется $n$ шариков в пакетике, а коробок – $k$ штук. Тогда всего шариков $2nk$. Во втором случае коробок будет $k-2$, а шариков в пакетике $n-5$. Всего шариков $3\cdot(n-5)\cdot(k-2)$. Приравниваем:
$$2nk=3\cdot(n-5)\cdot(k-2)$$
$$2nk=3nk-6n-15k+30$$
$$n(k-6)=15k-30$$
$$n=\frac{15k-30}{k-6}=\frac{15k-90+60}{k-6}=15+\frac{60}{k-6}$$
Осталось перебрать все делители числа 60, и выяснить, чему будет равно $k$, потом определить $n$ и найти максимальное их произведение. Все сведено в таблицу:
n | k |
---|---|
75 | 7 |
45 | 8 |
35 | 9 |
30 | 10 |
27 | 11 |
25 | 12 |
21 | 16 |
20 | 18 |
19 | 21 |
18 | 26 |
17 | 36 |
16 | 66 |
Произведение максимально при $k=66, n=16$. Количество шариков при этом $$2nk=2\cdot 66\cdot 16=2112$$
Ответ: 2112.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...