Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 8

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восьмая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Уравнение x^2+px+q=0 имеет корни x_1, x_2 \in N, p,q\in Z.

а)Найти все значения p, если q=55.

б)Известно, что p+q=30. Найти все q.

в)При q^2-p^2=2108 найти все корни.

а) По Виету q=x_1x_2, и так как x_1, x_2 \in N, то q>0.

p=-x_1-x_2<0

Тогда

    \[x_1x_2=55=1\cdot55=5\cdot11\]

    \[p_1=-(1+55)=-56\]

    \[p_2=-(5+11)=-16\]

б) По Виету q=x_1x_2, p=-x_1-x_2

Тогда

    \[x_1x_2-x_1-x_2=30\]

    \[(x_1-1)(x_2-1)=31\]

Если x_1-1=1, x_2-1=31, то x_1=2, x_2=32.

    \[q=64\]

в)

    \[(q-p)(q+p)=2108\]

Так как произведение четное, и разность слагаемых четная, то и множители четные.

    \[2108=2^2\cdot17\cdot31\]

Кроме того, q>p.

Тогда

q-pq+p
2*172*31
22*17*31
2*312*17
2*17*312

Первый случай.

    \[\begin{Bmatrix}{ q-p =34}\\{ q+p=62 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2q=96\]

    \[q=48\]

    \[p=14\]

Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ -x_1-x_2=14 } \end{matrix}\]

    \[x_2=-x_1-14\]

    \[x_1(-x_1-14)=48\]

    \[x_1=-6\]

Или x_1=-8, тогда x_2=-8 или x_2=-6 – все не натуральные.

Второй случай:

    \[\begin{Bmatrix}{ q-p =2}\\{ q+p=1054 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2q=1056\]

    \[q=528\]

    \[p=526\]

Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =528}\\{ -x_1-x_2=526 } \end{matrix}\]

    \[x_2=-x_1-526\]

    \[x_1(-x_1-526)=528\]

Дискриминант – не целое. Корни не натуральные.

Третий случай:

    \[\begin{Bmatrix}{ q-p =62}\\{ q+p=34 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2q=96\]

    \[q=48\]

    \[p=-14\]

Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ x_1+x_2=14 } \end{matrix}\]

Корни видны по Виету: 6 и 8.

В четвертом случае снова получим дискриминант, не являющийся полным квадратом.

Ответ: а)p_1=-56, p_2=-16, б) q=64, в) (6,8).

Задача 2. Решить в натуральных числах:  m!+12=n^2.

Заметим, что если m\geqslant 5, то m! делится на 10. То есть m<5.

Если m=1, то n^2=13

Если m=2, то n^2=14

Если m=3, то n^2=18

Если m=4, то n^2=36

Ответ: m=4, n=6.

Задача 3. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Эти же шарики можно разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 5 шариков меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет по три пакетика и коробок потребуется на 2 меньше, чем раньше. Какое наибольшее количество шариков может быть при этих условиях?

Пусть имеется n шариков в пакетике, а коробок – k штук. Тогда всего шариков 2nk. Во втором случае коробок будет k-2, а шариков в пакетике n-5. Всего шариков 3\cdot(n-5)\cdot(k-2). Приравниваем:

    \[2nk=3\cdot(n-5)\cdot(k-2)\]

    \[2nk=3nk-6n-15k+30\]

    \[n(k-6)=15k-30\]

    \[n=\frac{15k-30}{k-6}=\frac{15k-90+60}{k-6}=15+\frac{60}{k-6}\]

Осталось перебрать все делители числа 60, и выяснить, чему будет равно k, потом определить n и найти максимальное их произведение. Все сведено в таблицу:

nk
757
458
359
3010
2711
2512
2116
2018
1921
1826
1736
1666

Произведение максимально при k=66, n=16. Количество шариков при этом

    \[2nk=2\cdot 66\cdot 16=2112\]

Ответ: 2112.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *