Учимся решать задачу 19. Часть 8

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восьмая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1, x_2 \in N, p,q\in Z$.

а)Найти все значения $p$, если $q=55$.

б)Известно, что $p+q=30$. Найти все $q$.

в)При $q^2-p^2=2108$ найти все корни.

а) По Виету $q=x_1x_2$, и так как $ x_1, x_2 \in N$, то $q>0$.

$p=-x_1-x_2<0$

Тогда

$$ x_1x_2=55=1\cdot55=5\cdot11$$

$$p_1=-(1+55)=-56$$

$$p_2=-(5+11)=-16$$

б) По Виету $q=x_1x_2$, $p=-x_1-x_2$

Тогда

$$ x_1x_2-x_1-x_2=30$$

$$(x_1-1)(x_2-1)=31$$

Если $x_1-1=1$, $x_2-1=31$, то $x_1=2$, $x_2=32$.

$$q=64$$

в)

$$ (q-p)(q+p)=2108$$

Так как произведение четное, и разность слагаемых четная, то и множители четные.

$$2108=2^2\cdot17\cdot31$$

Кроме того, $q>p$.

Тогда

Первый случай.

$$\begin{Bmatrix}{ q-p =34}\\{ q+p=62 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2q=96$$

$$q=48$$

$$p=14$$

Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ -x_1-x_2=14 } \end{matrix}$$

$$x_2=-x_1-14$$

$$x_1(-x_1-14)=48$$

$$x_1=-6$$

Или $x_1=-8$, тогда $x_2=-8$ или $x_2=-6$ – все не натуральные.

Второй случай:

$$\begin{Bmatrix}{ q-p =2}\\{ q+p=1054 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2q=1056$$

$$q=528$$

$$p=526$$

Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =528}\\{ -x_1-x_2=526 } \end{matrix}$$

$$x_2=-x_1-526$$

$$x_1(-x_1-526)=528$$

Дискриминант – не целое. Корни не натуральные.

Третий случай:

$$\begin{Bmatrix}{ q-p =62}\\{ q+p=34 } \end{matrix}$$

Складываем уравнения

$$2q=96$$

$$q=48$$

$$p=-14$$

Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ x_1+x_2=14 } \end{matrix}$$

Корни видны по Виету: 6 и 8.

В четвертом случае снова получим дискриминант, не являющийся полным квадратом.

Ответ: а)$p_1=-56, p_2=-16$, б) $q=64$, в) $(6,8)$.

Задача 2. Решить в натуральных числах:  $m!+12=n^2$.

Заметим, что если $m\geqslant 5$, то $m!$ делится на 10. То есть $m<5$.

Если $m=1$, то $n^2=13$

Если $m=2$, то $n^2=14$

Если $m=3$, то $n^2=18$

Если $m=4$, то $n^2=36$

Ответ: $m=4, n=6$.

Задача 3. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Эти же шарики можно разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 5 шариков меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет по три пакетика и коробок потребуется на 2 меньше, чем раньше. Какое наибольшее количество шариков может быть при этих условиях?

Пусть имеется $n$ шариков в пакетике, а коробок – $k$ штук. Тогда всего шариков $2nk$. Во втором случае коробок будет $k-2$, а шариков в пакетике $n-5$. Всего шариков $3\cdot(n-5)\cdot(k-2)$. Приравниваем:

$$2nk=3\cdot(n-5)\cdot(k-2)$$

$$2nk=3nk-6n-15k+30$$

$$n(k-6)=15k-30$$

$$n=\frac{15k-30}{k-6}=\frac{15k-90+60}{k-6}=15+\frac{60}{k-6}$$

Осталось перебрать все делители числа 60, и выяснить, чему будет равно $k$, потом определить $n$ и найти максимальное их произведение. Все сведено в таблицу:

Произведение максимально при $k=66, n=16$. Количество шариков при этом $$2nk=2\cdot 66\cdot 16=2112$$

Ответ: 2112.