Учимся решать задачу 19. Часть 8

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восьмая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Уравнение $x^2+px+q=0$ имеет корни $x_1, x_2 \in N, p,q\in Z$ .

а)Найти все значения $p$ , если $q=55$ .

б)Известно, что $p+q=30$ . Найти все $q$ .

в)При $q^2-p^2=2108$ найти все корни.

а) По Виету $q=x_1x_2$ , и так как $x_1, x_2 \in N$ , то $q>0$ .

$p=-x_1-x_2<0$

Тогда

$x_1x_2=55=1\cdot55=5\cdot11$

$p_1=-(1+55)=-56$

$p_2=-(5+11)=-16$

б) По Виету $q=x_1x_2$ , $p=-x_1-x_2$

Тогда

$x_1x_2-x_1-x_2=30$

$(x_1-1)(x_2-1)=31$

Если $x_1-1=1$ , $x_2-1=31$ , то $x_1=2$ , $x_2=32$ .

$q=64$

в)

$(q-p)(q+p)=2108$

Так как произведение четное, и разность слагаемых четная, то и множители четные.

$2108=2^2\cdot17\cdot31$

Кроме того, $q>p$ .

Тогда

q-p	q+p
2*17	2*31
2	21731
2*31	2*17
21731	2

Первый случай.

$\begin{Bmatrix}{ q-p =34}\\{ q+p=62 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2q=96$

$q=48$

$p=14$

Тогда

$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ -x_1-x_2=14 } \end{matrix}$

$x_2=-x_1-14$

$x_1(-x_1-14)=48$

$x_1=-6$

Или $x_1=-8$ , тогда $x_2=-8$ или $x_2=-6$ – все не натуральные.

Второй случай:

$\begin{Bmatrix}{ q-p =2}\\{ q+p=1054 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2q=1056$

$q=528$

$p=526$

Тогда

$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =528}\\{ -x_1-x_2=526 } \end{matrix}$

$x_2=-x_1-526$

$x_1(-x_1-526)=528$

Дискриминант – не целое. Корни не натуральные.

Третий случай:

$\begin{Bmatrix}{ q-p =62}\\{ q+p=34 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2q=96$

$q=48$

$p=-14$

Тогда

$\begin{Bmatrix}{ x_1x_2 =48}\\{ x_1+x_2=14 } \end{matrix}$

Корни видны по Виету: 6 и 8.

В четвертом случае снова получим дискриминант, не являющийся полным квадратом.

Ответ: а) $p_1=-56, p_2=-16$ , б) $q=64$ , в) $(6,8)$ .

Задача 2. Решить в натуральных числах: $m!+12=n^2$ .

Заметим, что если $m\geqslant 5$ , то $m!$ делится на 10. То есть $m<5$ .

Если $m=1$ , то $n^2=13$

Если $m=2$ , то $n^2=14$

Если $m=3$ , то $n^2=18$

Если $m=4$ , то $n^2=36$

Ответ: $m=4, n=6$ .

Задача 3. Шарики можно разложить в пакетики, а пакетики упаковать в коробки, по 2 пакетика в одну коробку. Эти же шарики можно разложить в пакетики так, что в каждом пакетике будет на 5 шариков меньше, чем раньше, но тогда в каждой коробке будет по три пакетика и коробок потребуется на 2 меньше, чем раньше. Какое наибольшее количество шариков может быть при этих условиях?

Пусть имеется $n$ шариков в пакетике, а коробок – $k$ штук. Тогда всего шариков $2nk$ . Во втором случае коробок будет $k-2$ , а шариков в пакетике $n-5$ . Всего шариков $3\cdot(n-5)\cdot(k-2)$ . Приравниваем:

$2nk=3\cdot(n-5)\cdot(k-2)$

$2nk=3nk-6n-15k+30$

$n(k-6)=15k-30$

$n=\frac{15k-30}{k-6}=\frac{15k-90+60}{k-6}=15+\frac{60}{k-6}$

Осталось перебрать все делители числа 60, и выяснить, чему будет равно $k$ , потом определить $n$ и найти максимальное их произведение. Все сведено в таблицу:

n	k
75	7
45	8
35	9
30	10
27	11
25	12
21	16
20	18
19	21
18	26
17	36
16	66

Произведение максимально при $k=66, n=16$ . Количество шариков при этом

$2nk=2\cdot 66\cdot 16=2112$

Ответ: 2112.

Учимся решать задачу 19. Часть 8

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Центр обучения Фоксфорд

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Последние записи

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь

Ноябрь 2019
Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Окт
				1	2	3
4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17
18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30