Учимся решать задачу 19. Часть 7

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – седьмая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в натуральных числах $n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1)$ .

$(n^2-3n)(n^2-3n+2)= m(m-1)$

Если $n^2-3n=t$ , то

$t(t+2)= m(m-1)$

$t^2+2t-(m^2-m)=0$

Решаем как квадратное:

$D=4+4m^2-4m=(2m-1)^2+3=z^2$

Тогда

$z^2-(2m-1)^2=3$

$(z-2m+1)(z+2m-1)=3\cdot 1=1\cdot 3=(-1)\cdot(-3)=(-3)\cdot(-1)$

Первый случай:

$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =3}\\{ z+2m-1=1 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2z=4$

$z=2$

$m=0$

Искать $n$ нет смысла, $m$ в данном случае – не натуральное.

Второй случай:

$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =1}\\{ z+2m-1=3 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2z=4$

$z=2$

$m=1$

$m$ – натуральное, находим $n$ .

$t^2+2t=0$

$t=0$ или $t=-2$

$n^2-3n=0$

$n=3$

$n^2-3n=-2$

$n=1$

$n=2$

Получили три пары: $(1; 3)$ , $(1;2)$ и $(1; 1)$ .

Третий случай:

$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =-1}\\{ z+2m-1=-3 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2z=-4$

$z=-2$

$m=0$

Четвертый случай:

$\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =-3}\\{ z+2m-1=-1 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2z=-4$

$z=-2$

$m=1$

Здесь получатся те же значения $n$ .

Ответ: три пары: $(1; 3)$ , $(1;2)$ и $(1; 1)$ .

Задача 2. Решить в натуральных числах $x^6=y^3+217$ .

$x^6-y^3=217$

Раскрываем разность кубов:

$(x^2-y)(x^4+x^2y+y^2)=217=7 \cdot31=217\cdot1$

Так как $x^4+x^2y+y^2>0$ , то $x^2-y>0$ и $x^2>y$ .

Значение выражения в первой скобке меньше, чем во второй. Поэтому либо

$\begin{Bmatrix}{ x^2-y=1}\\{ x^4+x^2y+y^2=217} \end{matrix}$

либо

$\begin{Bmatrix}{ x^2-y=7}\\{ x^4+x^2y+y^2=31} \end{matrix}$

Решаем первое:

$x^2=y+1$

Подставим во второе:

$(y+1)^2+(y+1)y+y^2=217$

$y^2+y-72=0$

$y=8$

$x=3$

Теперь решим второе:

$x^2=y+7$

Подставим во второе:

$(y+7)^2+(y+7)y+y^2=31$

$y^2+7y+6=0$

В этом случае решения не натуральные.

Ответ: (3; 8).

Задача 3. Решить в натуральных числах $2n-\frac{1}{n^5}=3-\frac{2}{n}$ .

$2n-3=\frac{1}{n^5}-\frac{2}{n}$

Если $n>1$ , то в правой части – дробь. А в левой – целое. Значит, $n=1$ .

Ответ: $n=1$ .

Задача 4. Решить в целых числах $(x^2+y^2)(x+y-3)=2xy$ .

а) Пусть одно из чисел, например, $x=0$ . Тогда правая часть равна 0. Следовательно,

$y^2(y-3)=0$

$y=0$

$y=3$

Поскольку и $y$ может быть равно 0, то из этой симметрии получаем $x=3$ .

В итоге имеем три пары (0;0), (0;3), (3;0).

б) Если $x \neq 0; y \neq 0$ , то

$x+y-3=\frac{2xy}{x^2+y^2}$

Так как левая часть – целое, то и правая должна быть целой.

Тогда $\mid 2xy \mid\geqslant \mid x^2+ y^2\mid$

$2\mid x\mid \cdot\mid y \mid\geqslant{\mid x \mid}^2+{\mid y \mid}^2$

$(\mid x \mid-\mid y \mid)^2\leqslant 0$

Это значит, что

$\mid x \mid=\mid y \mid$

$x=\pm y$

Если $x=y$ , то

$2x^2\cdot (2x-3)=2x^2$

$2x^2\cdot (2x-4)=0$

$x=0$ или $x=2$ .

В последнем случае $y=2$ .

Получили пару (2;2).

Если $x=-y$ , то

$2x^2\cdot (x-x-3)=2x^2$

$x=0$

Этот случай рассмотрен выше.

Ответ: (0;0), (0;3), (3;0), (2;2).

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Авг
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Учимся решать задачу 19. Часть 7

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы

Автор сайта

Авторские права

Календарь