Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 7

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – седьмая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в натуральных числах  n(n-1)(n-2)(n-3)=m(m-1).

    \[(n^2-3n)(n^2-3n+2)= m(m-1)\]

Если n^2-3n=t, то

    \[t(t+2)= m(m-1)\]

    \[t^2+2t-(m^2-m)=0\]

Решаем как квадратное:

    \[D=4+4m^2-4m=(2m-1)^2+3=z^2\]

Тогда

    \[z^2-(2m-1)^2=3\]

    \[(z-2m+1)(z+2m-1)=3\cdot 1=1\cdot 3=(-1)\cdot(-3)=(-3)\cdot(-1)\]

Первый случай:

    \[\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =3}\\{ z+2m-1=1 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2z=4\]

    \[z=2\]

    \[m=0\]

Искать n нет смысла, m в данном случае – не натуральное.

Второй случай:

    \[\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =1}\\{ z+2m-1=3 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2z=4\]

    \[z=2\]

    \[m=1\]

m – натуральное, находим n.

    \[t^2+2t=0\]

t=0 или t=-2

    \[n^2-3n=0\]

    \[n=3\]

    \[n^2-3n=-2\]

    \[n=1\]

    \[n=2\]

Получили три пары: (1; 3), (1;2) и (1; 1).

Третий случай:

    \[\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =-1}\\{ z+2m-1=-3 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2z=-4\]

    \[z=-2\]

    \[m=0\]

Четвертый случай:

    \[\begin{Bmatrix}{ z-2m+1 =-3}\\{ z+2m-1=-1 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2z=-4\]

    \[z=-2\]

    \[m=1\]

Здесь получатся те же значения n.

Ответ: три пары: (1; 3), (1;2) и (1; 1).

Задача 2. Решить в натуральных числах  x^6=y^3+217.

    \[x^6-y^3=217\]

Раскрываем разность кубов:

    \[(x^2-y)(x^4+x^2y+y^2)=217=7 \cdot31=217\cdot1\]

Так как x^4+x^2y+y^2>0, то x^2-y>0 и x^2>y.

Значение выражения в первой скобке меньше, чем во второй. Поэтому  либо

    \[\begin{Bmatrix}{ x^2-y=1}\\{ x^4+x^2y+y^2=217} \end{matrix}\]

либо

    \[\begin{Bmatrix}{ x^2-y=7}\\{ x^4+x^2y+y^2=31} \end{matrix}\]

Решаем первое:

    \[x^2=y+1\]

Подставим во второе:

    \[(y+1)^2+(y+1)y+y^2=217\]

    \[y^2+y-72=0\]

    \[y=8\]

    \[x=3\]

Теперь решим второе:

    \[x^2=y+7\]

Подставим во второе:

    \[(y+7)^2+(y+7)y+y^2=31\]

    \[y^2+7y+6=0\]

В этом случае решения не натуральные.

Ответ: (3; 8).

 

Задача 3. Решить в натуральных числах  2n-\frac{1}{n^5}=3-\frac{2}{n}.

    \[2n-3=\frac{1}{n^5}-\frac{2}{n}\]

Если n>1, то в правой части – дробь. А в левой – целое. Значит, n=1.

Ответ: n=1.

Задача 4. Решить в целых числах  (x^2+y^2)(x+y-3)=2xy.

а) Пусть одно из чисел, например, x=0. Тогда правая часть равна 0. Следовательно,

    \[y^2(y-3)=0\]

    \[y=0\]

    \[y=3\]

Поскольку и y может быть равно 0, то из этой симметрии получаем x=3.

В итоге имеем три пары (0;0), (0;3), (3;0).

б) Если x \neq 0; y \neq 0, то

    \[x+y-3=\frac{2xy}{x^2+y^2}\]

Так как левая часть – целое, то и правая должна быть целой.

Тогда \mid 2xy \mid\geqslant \mid x^2+ y^2\mid

    \[2\mid x\mid \cdot\mid y \mid\geqslant{\mid x \mid}^2+{\mid y \mid}^2\]

    \[(\mid x \mid-\mid y \mid)^2\leqslant 0\]

Это значит, что

    \[\mid x \mid=\mid y \mid\]

    \[x=\pm y\]

Если x=y, то

    \[2x^2\cdot (2x-3)=2x^2\]

    \[2x^2\cdot (2x-4)=0\]

x=0 или x=2.

В последнем случае y=2.

Получили пару (2;2).

Если x=-y, то

    \[2x^2\cdot (x-x-3)=2x^2\]

    \[x=0\]

Этот случай рассмотрен выше.

Ответ: (0;0), (0;3), (3;0), (2;2).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *