Учимся решать задачу 19. Часть 6

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – шестая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах $6m^2-2n^2+mn=3$

Давайте решим это уравнение как квадратное:

$6m^2+mn -(2n^2 +3)=0$

$D=n^2+4\cdot 6\cdot(2n^2+3)=49n^2+72$

Так как решаем в целых числах, то дискриминант должен быть обязательно полным квадратом:

$49n^2+72=z^2$

Тогда

$z^2-49n^2=72$

$(z-7n)(z+7n)=72$

Но $z+7n-(z-7n)=14n$ , то есть разность четная. Значит, оба множителя – четные. Тогда

$(z-7n)(z+7n)=4\cdot 18=18\cdot 4=(-4)\cdot(-18)=(-18)\cdot(-4)$

Первый случай

$\begin{Bmatrix}{ z-7n =4}\\{ z+7n=18 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2z=22$

$z=11$

Тогда

$n=1$

Определим $m$

$6m^2+m -5=0$

Корни (-1) и $\frac{5}{6}$ .

Получили пару (-1; 1).

Второй случай

$\begin{Bmatrix}{ z-7n =-4}\\{ z+7n=-18 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2z=-22$

$z=-11$

Тогда

$n=-1$

Определим $m$

$6m^2-m -5=0$

Корни (1) и $-\frac{5}{6}$ .

Получили пару (1;- 1).

Третий случай

$\begin{Bmatrix}{ z-7n =18}\\{ z+7n=4 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2z=22$

$z=11$

Тогда

$n=-1$

Определим $m$

$6m^2-m -5=0$

Корни (1) и $-\frac{5}{6}$ .

Получили пару (1; -1)

Четвертый случай даст снова пару (-1; 1).

Ответ: (1;-1), (-1; 1).

Задача 2. Решить в целых числах $x^2=xy^2+y^6+2y^4$ .

Давайте решим это уравнение как квадратное:

$x^2-xy^2-y^6-2y^4=0$

$D=y^4+4(y^6+2y^4)=9y^4+4y^6=y^4(9+4y^2)=d^2$

Тогда, чтобы дискриминант был полным квадратом, нужно, чтобы

$9+4y^2=k^2$

$k^2-4y^2=9$

$(k-2y)(k+2y)=9=1\cdot9=9\cdot1=(-1)\cdot(-9)=(-9)\cdot(-1)=3\cdot3=(-3)\cdot(-3)$

Первый случай

$\begin{Bmatrix}{ k-2y =1}\\{ k+2y =9 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2k=10$

$k=5$

Тогда

$y=2$

$d^2= 2^4(9+4\cdot 2^2)=25\cdot16=400$

$x=\frac{4+20}{2}=12$

$x=\frac{4-20}{2}=-8$

Второй случай

$\begin{Bmatrix}{ k-2y =9}\\{ k+2y =1 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2k=10$

$k=5$

Тогда

$y=-2$

$d^2= (-2)^4(9+4\cdot (-2)^2)=25\cdot16=400$

$x=\frac{4+20}{2}=12$

$x=\frac{4-20}{2}=-8$

Третий случай

$\begin{Bmatrix}{ k-2y =-1}\\{ k+2y =-9 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2k=-10$

$k=-5$

Тогда

$y=-2$

$d^2= (-2)^4(9+4\cdot (-2)^2)=25\cdot16=400$

$x=\frac{4+20}{2}=12$

$x=\frac{4-20}{2}=-8$

В случае (-9;-1) будут те же корни, поэтому его не рассматриваем.

Пятый случай

$\begin{Bmatrix}{ k-2y =3}\\{ k+2y =3 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2k=6$

$k=3$

Тогда

$y=0$

$d^2=0$

$x=0$

Шестой случай

$\begin{Bmatrix}{ k-2y =-3}\\{ k+2y =-3 } \end{matrix}$

Складываем уравнения

$2k=-6$

$k=-3$

Тогда

$y=0$

$d^2=0$

$x=0$

Ответ: (-8; 2), (-8;-2), (0;0), (12;2), (12;-2).

Задача 3. Решить в натуральных числах $2k^2+7k=2mk+3m+36$ .

$2k^2+7k-36=2mk+3m$

$2k^2+7k-36=m(2k+3)$

$m=\frac{2k^2+7k-36}{2k+3}$

$m=\frac{2k^2+3k+4k+6-42}{2k+3}$

$m=\frac{k(2k+3)+2(2k+3)-42}{2k+3}$

$m=k+2-\frac{42}{2k+3}$

Следовательно, дробь $\frac{42}{2k+3}$ – целое число. Тогда (2k+3) – кстати, нечетное – делитель числа 42. Это может быть $(\pm 1), (\pm 7), (\pm 21)$ .