Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 6

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – шестая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах  6m^2-2n^2+mn=3

Давайте решим это уравнение как квадратное:

    \[6m^2+mn -(2n^2 +3)=0\]

    \[D=n^2+4\cdot 6\cdot(2n^2+3)=49n^2+72\]

Так как решаем в целых числах, то дискриминант должен быть обязательно полным квадратом:

    \[49n^2+72=z^2\]

Тогда

    \[z^2-49n^2=72\]

    \[(z-7n)(z+7n)=72\]

Но z+7n-(z-7n)=14n, то есть разность четная. Значит, оба множителя – четные. Тогда

    \[(z-7n)(z+7n)=4\cdot 18=18\cdot 4=(-4)\cdot(-18)=(-18)\cdot(-4)\]

Первый случай

    \[\begin{Bmatrix}{ z-7n =4}\\{ z+7n=18 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2z=22\]

    \[z=11\]

Тогда

    \[n=1\]

Определим m

    \[6m^2+m -5=0\]

Корни (-1) и \frac{5}{6}.

Получили пару (-1; 1).

Второй случай

    \[\begin{Bmatrix}{ z-7n =-4}\\{ z+7n=-18 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2z=-22\]

    \[z=-11\]

Тогда

    \[n=-1\]

Определим m

    \[6m^2-m -5=0\]

Корни (1) и -\frac{5}{6}.

Получили пару (1;- 1).

Третий случай

    \[\begin{Bmatrix}{ z-7n =18}\\{ z+7n=4 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2z=22\]

    \[z=11\]

Тогда

    \[n=-1\]

Определим m

    \[6m^2-m -5=0\]

Корни (1) и -\frac{5}{6}.

Получили пару (1; -1)

Четвертый случай даст снова пару (-1; 1).

Ответ: (1;-1), (-1; 1).

Задача 2. Решить в целых числах  x^2=xy^2+y^6+2y^4.

Давайте решим это уравнение как квадратное:

    \[x^2-xy^2-y^6-2y^4=0\]

    \[D=y^4+4(y^6+2y^4)=9y^4+4y^6=y^4(9+4y^2)=d^2\]

Тогда, чтобы дискриминант был полным квадратом, нужно, чтобы

    \[9+4y^2=k^2\]

    \[k^2-4y^2=9\]

    \[(k-2y)(k+2y)=9=1\cdot9=9\cdot1=(-1)\cdot(-9)=(-9)\cdot(-1)=3\cdot3=(-3)\cdot(-3)\]

Первый случай

    \[\begin{Bmatrix}{ k-2y =1}\\{ k+2y =9 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2k=10\]

    \[k=5\]

Тогда

    \[y=2\]

    \[d^2= 2^4(9+4\cdot 2^2)=25\cdot16=400\]

    \[x=\frac{4+20}{2}=12\]

    \[x=\frac{4-20}{2}=-8\]

Второй случай

    \[\begin{Bmatrix}{ k-2y =9}\\{ k+2y =1 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2k=10\]

    \[k=5\]

Тогда

    \[y=-2\]

    \[d^2= (-2)^4(9+4\cdot (-2)^2)=25\cdot16=400\]

    \[x=\frac{4+20}{2}=12\]

    \[x=\frac{4-20}{2}=-8\]

Третий случай

    \[\begin{Bmatrix}{ k-2y =-1}\\{ k+2y =-9 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2k=-10\]

    \[k=-5\]

Тогда

    \[y=-2\]

    \[d^2= (-2)^4(9+4\cdot (-2)^2)=25\cdot16=400\]

    \[x=\frac{4+20}{2}=12\]

    \[x=\frac{4-20}{2}=-8\]

В случае (-9;-1) будут те же корни, поэтому его не рассматриваем.

Пятый случай

    \[\begin{Bmatrix}{ k-2y =3}\\{ k+2y =3 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2k=6\]

    \[k=3\]

Тогда

    \[y=0\]

    \[d^2=0\]

    \[x=0\]

Шестой случай

    \[\begin{Bmatrix}{ k-2y =-3}\\{ k+2y =-3 } \end{matrix}\]

Складываем уравнения

    \[2k=-6\]

    \[k=-3\]

Тогда

    \[y=0\]

    \[d^2=0\]

    \[x=0\]

Ответ: (-8; 2), (-8;-2), (0;0), (12;2), (12;-2).

Задача 3. Решить в натуральных числах 2k^2+7k=2mk+3m+36.

    \[2k^2+7k-36=2mk+3m\]

    \[2k^2+7k-36=m(2k+3)\]

    \[m=\frac{2k^2+7k-36}{2k+3}\]

    \[m=\frac{2k^2+3k+4k+6-42}{2k+3}\]

    \[m=\frac{k(2k+3)+2(2k+3)-42}{2k+3}\]

    \[m=k+2-\frac{42}{2k+3}\]

Следовательно, дробь \frac{42}{2k+3} – целое число. Тогда (2k+3) – кстати, нечетное – делитель числа 42. Это может быть (\pm 1), (\pm 7), (\pm 21).

    \[2k+3=7\]

    \[k=2\]

    \[2k+3=-7\]

    \[k=-5\]

    \[2k+3=-1\]

    \[k=-2\]

    \[2k+3=1\]

    \[k=-1\]

    \[2k+3=21\]

    \[k=9\]

    \[2k+3=-21\]

    \[k=-12\]

Из всех решений натуральными являются k=9 и k=2.

При k=9 m=9.

При k=2 m<0.

Ответ: (9;9).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *