Учимся решать задачу 19. Часть 5

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – пятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах  $xy=x+y+3$

$$xy-x-y=3$$

$$xy-x-y+1=4$$

$$x(y-1)-(y-1)=4$$

$$(x-1)(y-1)=4$$

Так как $4=2\cdot2=1\cdot 4=(-4)\cdot (-1)=(-2)\cdot (-2)$, то

$x-1=4$, $x=5, y=2$

$x-1=2$, $x=3, y=3$

$x-1=-1$, $x=0, y=-3$

$x-1=-4$, $x=-3, y=0$

$x-1=-2$, $x=-1, y=-1$

$x-1=1$, $x=2, y=5$

Задача 2. Найти $abc$, если

$$abc+ab+bc+ac+a+b+c=164$$

Перепишем

$$abc+ab+bc+ b +ac +a +c=164$$

$$ab(c+1)+b(c+ 1) +a(c +1) +c=164$$

$$ab(c+1)+b(c+ 1) +a(c +1) +c+1=165$$

$$(c+1)(ab+b+a+1)=165$$

$$(c+1)(b(a+1)+a+1)=165$$

$$(c+1)(a+1)(b+1)=165=5\cdot 3\cdot 11$$

$$c+1=5, a+1=3, b+1=11$$

$$c=4, a=2, b=10$$

Тогда $abc=80$.

Ответ: 80.

Задача 3. Пусть $p$ – простое число. Сколько существует натуральных $n$, таких, что $pn$ делится на $p+n$?

$$\frac{pn}{p+n} \in Z$$

$$\frac{pn}{p+n} =\frac{p}{c_1}\cdot\frac{n}{c_2}, p+n=c_1\cdot c_2$$

Если $p$ – простое, значит, $c_1=1$ либо $c_1=p$.

Если $c_1=1$, $с_2=p+n$. Тогда $\frac{n}{p+n} \in Z$, но ведь здесь знаменатель больше числителя, значит, так не может быть. Следовательно, $c_1=p$, и $(p+n) \vdots p$, $n \vdots p$, $n=kp$.

$$\frac{pn}{p+n} =\frac{p\cdot kp}{p+kp}=\frac{p\cdot kp}{p(1+k)}= \frac{ kp}{1+k}$$

Так как $p$ – простое, $k+1=p$. Тогда

$$n=kp=(p-1)p=p^2-p$$

Ответ: $n= p^2-p$

Задача 4. Целые числа m и n таковы, что  $4m+5n=mn+9$. Найти максимальное $m$.

Выразим $m$

$$4m+5n=mn+9$$

$$4m-mn=9-5n$$

$$m(4-n)=9-5n$$

Выделим целую часть

$$m=\frac{9-5n}{4-n}=\frac{20-5n-11}{4-n}=5-\frac{11}{4-n}$$

Чтобы $m$ было максимально, вычитаемое $\frac{11}{4-n}$ должно быть минимальным, а еще лучше, если вычитаемое станет слагаемым. Дробь минимальна, если знаменатель ее максимален. То есть лучше всего, если  $4-n=-11$, $m=16$.

Задача 5. Целые числа m и n таковы, что  $4m+5n=mn-9$. Найти максимальное $m$.

Решите эту задачу самостоятельно, ответ ниже.

Показать