Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 5

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – пятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах  xy=x+y+3

    \[xy-x-y=3\]

    \[xy-x-y+1=4\]

    \[x(y-1)-(y-1)=4\]

    \[(x-1)(y-1)=4\]

Так как 4=2\cdot2=1\cdot 4=(-4)\cdot (-1)=(-2)\cdot (-2), то

x-1=4, x=5, y=2

x-1=2, x=3, y=3

x-1=-1, x=0, y=-3

x-1=-4, x=-3, y=0

x-1=-2, x=-1, y=-1

x-1=1, x=2, y=5

 

Задача 2. Найти abc, если

    \[abc+ab+bc+ac+a+b+c=164\]

Перепишем

    \[abc+ab+bc+ b +ac +a +c=164\]

    \[ab(c+1)+b(c+ 1) +a(c +1) +c=164\]

    \[ab(c+1)+b(c+ 1) +a(c +1) +c+1=165\]

    \[(c+1)(ab+b+a+1)=165\]

    \[(c+1)(b(a+1)+a+1)=165\]

    \[(c+1)(a+1)(b+1)=165=5\cdot 3\cdot 11\]

    \[c+1=5, a+1=3, b+1=11\]

    \[c=4, a=2, b=10\]

Тогда abc=80.

Ответ: 80.

 

Задача 3. Пусть p – простое число. Сколько существует натуральных n, таких, что pn делится на p+n?

    \[\frac{pn}{p+n} \in Z\]

    \[\frac{pn}{p+n} =\frac{p}{c_1}\cdot\frac{n}{c_2}, p+n=c_1\cdot c_2\]

Если p – простое, значит, c_1=1 либо c_1=p.

Если c_1=1, с_2=p+n. Тогда \frac{n}{p+n} \in Z, но ведь здесь знаменатель больше числителя, значит, так не может быть. Следовательно, c_1=p, и (p+n) \vdots p, n \vdots p, n=kp.

    \[\frac{pn}{p+n} =\frac{p\cdot kp}{p+kp}=\frac{p\cdot kp}{p(1+k)}= \frac{ kp}{1+k}\]

Так как p – простое, k+1=p. Тогда

    \[n=kp=(p-1)p=p^2-p\]

Ответ: n= p^2-p

Задача 4. Целые числа m и n таковы, что  4m+5n=mn+9. Найти максимальное m.

Выразим m

    \[4m+5n=mn+9\]

    \[4m-mn=9-5n\]

    \[m(4-n)=9-5n\]

Выделим целую часть

    \[m=\frac{9-5n}{4-n}=\frac{20-5n-11}{4-n}=5-\frac{11}{4-n}\]

Чтобы m было максимально, вычитаемое \frac{11}{4-n} должно быть минимальным, а еще лучше, если вычитаемое станет слагаемым. Дробь минимальна, если знаменатель ее максимален. То есть лучше всего, если  4-n=-11, m=16.

 

Задача 5. Целые числа m и n таковы, что  4m+5n=mn-9. Найти максимальное m.

Решите эту задачу самостоятельно, ответ ниже.

Показать

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *