Учимся решать задачу 19. Часть 5

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – пятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах $xy=x+y+3$

$xy-x-y=3$

$xy-x-y+1=4$

$x(y-1)-(y-1)=4$

$(x-1)(y-1)=4$

Так как $4=2\cdot2=1\cdot 4=(-4)\cdot (-1)=(-2)\cdot (-2)$ , то

$x-1=4$ , $x=5, y=2$

$x-1=2$ , $x=3, y=3$

$x-1=-1$ , $x=0, y=-3$

$x-1=-4$ , $x=-3, y=0$

$x-1=-2$ , $x=-1, y=-1$

$x-1=1$ , $x=2, y=5$

Задача 2. Найти $abc$ , если

$abc+ab+bc+ac+a+b+c=164$

Перепишем

$abc+ab+bc+ b +ac +a +c=164$

$ab(c+1)+b(c+ 1) +a(c +1) +c=164$

$ab(c+1)+b(c+ 1) +a(c +1) +c+1=165$

$(c+1)(ab+b+a+1)=165$

$(c+1)(b(a+1)+a+1)=165$

$(c+1)(a+1)(b+1)=165=5\cdot 3\cdot 11$

$c+1=5, a+1=3, b+1=11$

$c=4, a=2, b=10$

Тогда $abc=80$ .

Ответ: 80.

Задача 3. Пусть $p$ – простое число. Сколько существует натуральных $n$ , таких, что $pn$ делится на $p+n$ ?

$\frac{pn}{p+n} \in Z$

$\frac{pn}{p+n} =\frac{p}{c_1}\cdot\frac{n}{c_2}, p+n=c_1\cdot c_2$

Если $p$ – простое, значит, $c_1=1$ либо $c_1=p$ .

Если $c_1=1$ , $с_2=p+n$ . Тогда $\frac{n}{p+n} \in Z$ , но ведь здесь знаменатель больше числителя, значит, так не может быть. Следовательно, $c_1=p$ , и $(p+n) \vdots p$ , $n \vdots p$ , $n=kp$ .

$\frac{pn}{p+n} =\frac{p\cdot kp}{p+kp}=\frac{p\cdot kp}{p(1+k)}= \frac{ kp}{1+k}$

Так как $p$ – простое, $k+1=p$ . Тогда

$n=kp=(p-1)p=p^2-p$

Ответ: $n= p^2-p$

Задача 4. Целые числа m и n таковы, что $4m+5n=mn+9$ . Найти максимальное $m$ .

Выразим $m$

$4m+5n=mn+9$

$4m-mn=9-5n$

$m(4-n)=9-5n$

Выделим целую часть

$m=\frac{9-5n}{4-n}=\frac{20-5n-11}{4-n}=5-\frac{11}{4-n}$

Чтобы $m$ было максимально, вычитаемое $\frac{11}{4-n}$ должно быть минимальным, а еще лучше, если вычитаемое станет слагаемым. Дробь минимальна, если знаменатель ее максимален. То есть лучше всего, если $4-n=-11$ , $m=16$ .

Задача 5. Целые числа m и n таковы, что $4m+5n=mn-9$ . Найти максимальное $m$ .

Решите эту задачу самостоятельно, ответ ниже.

Показать

Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
« Май
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Учимся решать задачу 19. Часть 5

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы