Учимся решать задачу 19. Часть 4

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – четвертая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Числа $a, b$ и $c$ попарно взаимно простые. Про дробь

$N=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$ известно, что $N$ – целое. Найти все такие $N$ .

Так как числа попарно взаимно простые, то НОД $(a, b) =1$ , следовательно, НОД $(a+b, b) =1$ , или, иными словами, $a+b$ не делится ни на $a$ , ни на $b$ . Значит, $a+b$ должно делиться на $c$ . Аналогично $b+c$ должно делиться на $a$ , $a+c$ – на $b$ .

Если $a=1, b=1$ , то

$N=\frac{2(1+c)(1+c)}{c} \in Z$

То есть либо $(1+c) \vdots c$ , либо $2 \vdots c$ .

Тогда $c=1$ или $c=2$ .

$a=1, b=1, c=2, N=9$

$a=b=c=1, N=8$

Пусть $a\legslant b \legslant c$ .

Так как $a+b$ должно делиться на $c$ , то $a+b \geqslant c$ . Но $a<c, b<c$ , значит, $a+b \leqslant 2c$ . То есть $с\leqslant a+b\leqslant 2c$ . Следовательно, $a+b=c$ . Тогда

$(a+2b)\vdots b$

Но, значит, $2a \vdots b$ , следовательно, $2a\geqslant b$ , $2a \leqslant 2b$ . Значит, $b=2a$ . Тогда $c=a+b=3a$ . Значит, $N=10$ .

Ответ: 8, 9 или 10.

Задача 2. Числа $m$ и $n$ таковы, что НОД ( $m,n$ ) $+$ НОК( $m,n$ ) $=m+n$ , $m \geqslant n$ . Доказать, что $m \vdots n$ .

Пусть НОД ( $m,n$ ) $=d$ , $m=kd$ , $n=pd$ , $k$ и $p$ взаимно простые. Тогда

НОК( $m,n$ ) $=pkd$ , и, значит,

$pkd+d=pd+kd$

$pk+1=p+k$

Или

$pk-p-k+1=0$

$p(k-1)-(k-1)=0$

$(p-1)(k-1)=0$

$k=1$

$p=1$

Так что $n=d$ , $m=kd$ , и $m \vdots n$ .

Задача 3. Натуральные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ , $c \geqslant 2$ . Доказать, что либо $a+c$ , либо $b+c$ – составное число.

Перепишем

$c=\frac{ab}{a+b}$

$a+b=\frac{ab}{c}=\frac{a}{c_1}\cdot \frac{b}{c_2}$

Так как $c\geqslant 2$ , то либо $c_1 >1$ , либо $c_2>1$ . Пусть $c_1>1$ , тогда

$a=kc_1$

$a+c=kc_1+c_1c_2=c_1(k+c_2)$

Что и доказывает, что $a+c$ – составное.

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел $x$ и $y$ таких, что $(x^3+y) \vdots (x^2+y^2)$ , $(y^3+x) \vdots (x^2+y^2)$ .

Если $a \vdots c$ , $b \vdots c$ , то $(a+b) \vdots c$ , $(a-b) \vdots c$ . Пусть НОД $(x,y)=d$ . Тогда $x=md$ , $y=kd$ , где $m,k$ – взаимно простые. Тогда

$x^3+y=(m^3d^3+kd) \vdots d^2$

Значит, $k \vdots d$ .

$y^3+x=(k^3d^3+md) \vdots d^2$

Значит, $m \vdots d$ .

Но это противоречит тому, что $m,k$ – взаимно простые. А если $d=1$ , то НОД $(x^2+y^2,y)=1$ .

$(x^2+y^2)x-(x^3+y)=y(xy-1)\vdots (x^2+y^2)$

Значит, $(xy-1) \vdots (x^2+y^2)$ , то есть $xy-1\geqslant x^2+y^2$ , что невозможно. Но ноль делится на все. Если $xy-1=0$ , то $xy=1$ . Тогда $x=1, y=1$ .