Учимся решать задачу 19. Часть 4

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – четвертая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Числа $a, b$ и $c$ попарно взаимно простые. Про дробь

$N=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc}$ известно, что $N$ – целое. Найти все такие $N$.

Так как числа попарно взаимно простые, то НОД $(a, b) =1$, следовательно, НОД $(a+b, b) =1$, или, иными словами, $a+b$ не делится ни на $a$, ни на $b$. Значит, $a+b$ должно делиться на $c$. Аналогично $b+c$ должно делиться на $a$, $a+c$ – на $b$.

Если $a=1, b=1$, то

$$N=\frac{2(1+c)(1+c)}{c} \in Z$$

То есть либо $(1+c) \vdots c$, либо $2 \vdots  c$.

Тогда $c=1$ или $c=2$.

$$a=1, b=1, c=2, N=9$$

$$a=b=c=1, N=8$$

Пусть $a\legslant b \legslant c$.

Так как $a+b$ должно делиться на $c$, то $a+b \geqslant c$. Но $a<c, b<c$, значит, $a+b \leqslant 2c$. То есть $с\leqslant a+b\leqslant 2c$. Следовательно, $a+b=c$. Тогда

$$(a+2b)\vdots b$$

Но, значит, $2a \vdots b$, следовательно, $2a\geqslant b$, $2a \leqslant 2b$. Значит, $b=2a$. Тогда $c=a+b=3a$. Значит, $N=10$.

Ответ: 8, 9 или 10.

Задача 2. Числа $m$ и $n$ таковы, что НОД ($m,n$)$+ $НОК( $m,n$)$=m+n$, $m \geqslant n$. Доказать, что $m \vdots n$.

Пусть НОД ($m,n$)$=d$, $m=kd$, $n=pd$, $k$ и $p$ взаимно простые. Тогда

НОК( $m,n$)$=pkd$, и, значит,

$$pkd+d=pd+kd$$

$$pk+1=p+k$$

Или

$$pk-p-k+1=0$$

$$p(k-1)-(k-1)=0$$

$$(p-1)(k-1)=0$$

$$k=1$$

$$p=1$$

Так что $n=d$, $m=kd$, и $m \vdots n$.

Задача 3. Натуральные числа $a, b$ и $c$ таковы, что $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$, $c \geqslant 2$.  Доказать, что либо $a+c$, либо $b+c$ – составное число.

Перепишем

$$c=\frac{ab}{a+b}$$

$$a+b=\frac{ab}{c}=\frac{a}{c_1}\cdot \frac{b}{c_2}$$

Так как $c\geqslant 2$, то либо $c_1 >1$, либо $c_2>1$.  Пусть $c_1>1$, тогда

$$a=kc_1$$

$$a+c=kc_1+c_1c_2=c_1(k+c_2)$$

Что и доказывает, что $a+c$ – составное.

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел $x$ и $y$ таких, что $(x^3+y) \vdots (x^2+y^2)$, $(y^3+x) \vdots (x^2+y^2)$.

Если $a \vdots c$, $b \vdots c$, то $(a+b) \vdots c$, $(a-b) \vdots c$. Пусть НОД $(x,y)=d$. Тогда $x=md$, $y=kd$, где $m,k$ – взаимно простые. Тогда

$$ x^3+y=(m^3d^3+kd) \vdots d^2$$

Значит, $k \vdots d$.

$$y^3+x=(k^3d^3+md) \vdots d^2$$

Значит, $m \vdots d$.

Но это противоречит тому, что $m,k$ – взаимно простые. А если $d=1$, то НОД $(x^2+y^2,y)=1$.

$$ (x^2+y^2)x-(x^3+y)=y(xy-1)\vdots (x^2+y^2)$$

Значит, $(xy-1) \vdots (x^2+y^2)$, то есть $xy-1\geqslant x^2+y^2$, что невозможно. Но ноль делится на все. Если $xy-1=0$, то $xy=1$. Тогда $x=1, y=1$.

Ответ: (1;1)