Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 4

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – четвертая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Числа a, b и c попарно взаимно простые. Про дробь

N=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} известно, что N – целое. Найти все такие N.

Так как числа попарно взаимно простые, то НОД (a, b) =1, следовательно, НОД (a+b, b) =1, или, иными словами, a+b не делится ни на a, ни на b. Значит, a+b должно делиться на c. Аналогично b+c должно делиться на a, a+c – на b.

Если a=1, b=1, то

    \[N=\frac{2(1+c)(1+c)}{c} \in Z\]

То есть либо (1+c) \vdots c, либо 2 \vdots  c.

Тогда c=1 или c=2.

    \[a=1, b=1, c=2, N=9\]

    \[a=b=c=1, N=8\]

Пусть a\legslant b \legslant c.

Так как a+b должно делиться на c, то a+b \geqslant c. Но a<c, b<c, значит, a+b \leqslant 2c. То есть с\leqslant a+b\leqslant 2c. Следовательно, a+b=c. Тогда

    \[(a+2b)\vdots b\]

Но, значит, 2a \vdots b, следовательно, 2a\geqslant b, 2a \leqslant 2b. Значит, b=2a. Тогда c=a+b=3a. Значит, N=10.

Ответ: 8, 9 или 10.

Задача 2. Числа m и n таковы, что НОД (m,n)+НОК( m,n)=m+n, m \geqslant n. Доказать, что m \vdots n.

Пусть НОД (m,n)=d, m=kd, n=pd, k и p взаимно простые. Тогда

НОК( m,n)=pkd, и, значит,

    \[pkd+d=pd+kd\]

    \[pk+1=p+k\]

Или

    \[pk-p-k+1=0\]

    \[p(k-1)-(k-1)=0\]

    \[(p-1)(k-1)=0\]

    \[k=1\]

    \[p=1\]

Так что n=d, m=kd, и m \vdots n.

Задача 3. Натуральные числа a, b и c таковы, что \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}, c \geqslant 2.  Доказать, что либо a+c, либо b+c – составное число.

Перепишем

    \[c=\frac{ab}{a+b}\]

    \[a+b=\frac{ab}{c}=\frac{a}{c_1}\cdot \frac{b}{c_2}\]

Так как c\geqslant 2, то либо c_1 >1, либо c_2>1.  Пусть c_1>1, тогда

    \[a=kc_1\]

    \[a+c=kc_1+c_1c_2=c_1(k+c_2)\]

Что и доказывает, что a+c – составное.

Задача 4. Найти все пары натуральных чисел x и y таких, что (x^3+y) \vdots (x^2+y^2), (y^3+x) \vdots (x^2+y^2).

Если a \vdots c, b \vdots c, то (a+b) \vdots c, (a-b) \vdots c. Пусть НОД (x,y)=d. Тогда x=md, y=kd, где m,k – взаимно простые. Тогда

    \[x^3+y=(m^3d^3+kd) \vdots d^2\]

Значит, k \vdots d.

    \[y^3+x=(k^3d^3+md) \vdots d^2\]

Значит, m \vdots d.

Но это противоречит тому, что m,k – взаимно простые. А если d=1, то НОД (x^2+y^2,y)=1.

    \[(x^2+y^2)x-(x^3+y)=y(xy-1)\vdots (x^2+y^2)\]

Значит, (xy-1) \vdots (x^2+y^2), то есть xy-1\geqslant x^2+y^2, что невозможно. Но ноль делится на все. Если xy-1=0, то xy=1. Тогда x=1, y=1.

Ответ: (1;1)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *