Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 3

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – третья статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Назовем автобусный билет несчастливым, если сумма цифр его шестизначного номера делится на 13. Могут ли два идущих подряд билета оказаться несчастливыми?

Пусть два таких билета существуют. Номер первого \overline{abcdef}. Сумма цифр его делится на 13:

    \[a+b+c+d+e+f \vdots 13\]

Если f<9, то при добавлении 1 к числу сумма цифр будет  a+b+c+d+e+f+1  – понятно, что эта сумма на 13 не делится. Это означает, что f=9, и при добавлении 1 происходит перенос в следующий разряд, то есть новое число должно оканчиваться нулем. Тогда было:

    \[a+b+c+d+e+9 \vdots 13\]

А новое  a+b+c+d+(e+1)+0 – это тоже не делится на 13 (потому что разность чисел не делится на 13). Значит, был еще один перенос, то есть e=9.

Тогда было:

    \[a+b+c+d+9+9 \vdots 13\]

А новое a+b+c+(d+1)+0+0 – это тоже не делится на 13. Значит, был еще один перенос, то есть d=9.

Тогда было:

    \[a+b+c+9+9+9 \vdots 13\]

Новое число a+b+(c+1)+0+0+0 \vdots 13 – разность суммы цифр нового и старого чисел равна 26 – это делится на 13. Значит, a+b+c+1 делится на 13. А значит,

    \[a+b+c=12\]

Примеры: 336999 и 337000, 318999 и 319000, 912999 и 913000.

Задача 2. Найти наименьшее натуральное число, такое, что его половина есть пятая степень некоторого натурального числа, а пятая часть есть квадрат некоторого натурального числа.

    \[\frac{N}{2}=a^5\]

    \[\frac{N}{5}=b^2\]

Получается, N  \vdots  5, N  \vdots 2.

Пусть в составе N  будут только множители 2 и 5. Тогда

    \[N=2^{\alpha}\cdot 5^{\beta}\]

Тогда по условию

    \[\frac{N}{2}=2^{(\alpha-1)}\cdot 5^{\beta}=a^5\]

Поскольку и справа, и слева пятая степень некоторого числа, то и \alpha-1, и \beta должны делиться на 5.

По условию

    \[\frac{N}{5}=2^{\alpha}\cdot 5^{(\beta-1)}=b^2\]

Значит, и \alpha, и \beta-1 делятся на 2.

Так как \alpha-1 \vdots 5, то может быть

    \[\alpha-1=5\]

    \[\alpha=6\]

    \[\beta=5\]

Тогда

    \[N=2^6\cdot 5^5=200000\]

Ответ: 200000

Задача 3. Найти все пары взаимно простых чисел a и b, таких, что a^2+3b^2 делится на a+3b.

Решение:

    \[\frac{ a^2+3b^2}{a+3b}=\frac{ a^2+3ab-3ab+3b^2}{a+3b}=a-\frac{ 3ab-3b^2}{a+3b}=a-3b+\frac{12b^2}{a+3b}\]

Значит, 12b^2 делится на (a+3b). Но числа a и b взаимно простые, следовательно, числа b^2 и (a+3b) тоже взаимно простые, и делиться не могут. Следовательно, 12 должно делиться на (a+3b). Делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6, 12. Следовательно, (a+3b) может быть равно одному из них. Если

    \[a+3b=4\]

То a=1, b=1.

Если

    \[a+3b=6\]

То a=3, b=1.

Если

    \[a+3b=12\]

То a=3, b=3 – но эти числа не являются взаимно простыми числами.

Или a=6, b=2 – но эти числа также не являются взаимно простыми числами.

Или a=9, b=1 – эти числа  являются взаимно простыми.

Ответ: (1; 1), (3, 1), (9, 1).

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *