Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 27.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать седьмая статья данной серии. Здесь собраны задачи с реальных экзаменов.

Задача 1. В шахматы можно выиграть, проиграть или сыграть вничью. Шахматист записывает результат каждой сыгранной им партии и после каждой партии подсчитывает три показателя: «победы» – процент побед, округленный до целого; «ничьи» – процент ничьих, округленный до целого; и «поражения» – определяется как разность 100 и суммы показателей побед и ничьих.

а) Может ли в какой-то момент показатель побед равняться 17, если было сыграно менее 50 партий?

б) Может ли после выигрышной партии увеличиться показатель поражений?

в) Одна из партий была проиграна. При каком наименьшем количестве сыгранных партий показатель поражений может быть равен 1? (ЕГЭ-16, основная волна).

а) 8 игр из 49 – это чуть больше, чем 16. Если посчитать точно, то получим 16,3 – до 17 не округляется. Попробуем 8 из 48 – это 16,67 – округлится до 17. То есть, если одна из шести игр – победа, то показатель будет 17%.

б) Необходимо, чтобы процент ничьих после 1 игры немного уменьшился и стал бы округляться в другую сторону. Пусть было 200 игр, ничья – 1. Процент ничьих был 0,5 и показатель был 1. Если победа была одна, то и показатель побед тоже 0,5  – округляется до 1. Показатель поражений равен 98. Когда стало 201 игр и выигрышей – 2, то показатель поражений станет меньше 0,5 и округлится до нуля. Процент побед станет больше и показатель останется равным 1. Процент поражений станет при этом 99.

в) Округляя, теряем не более 0,5. Процент побед и показатель побед, таким образом, могут отличаться на 0,5. Аналогично и с ничьими. Если был процент ничьих n,  и процент побед k, то показатель ничьих меньше n-0,5, и процент побед меньше k-0,5. Таким образом, процент поражений максимум 2. При 50 играх 1 поражение составляет 2%. Поэтому 50 игр и меньше не может быть. Берем 51 игру. Пример: одна победа из 51 – 1,96%. 12 побед – 23,52% – округляется до 24%. Ничьих 38 – 74,5% – округляется до 75. Как раз 1% поражений при 1 игре.  Как догадаться до 12 без перебора?

    \[1,96\%=2\%-0,04\%\]

Умножив на 6, получим  24\%-0,48\%.

Ответ: а) да; б) да; в) 51.

 

Задача 2. В нескольких одинаковых бочках налито некоторое количество литров воды (необязательно одинаковое). За один раз можно перелить любое количество воды из одной бочки в другую.

а) Пусть есть четыре бочки, в которых 29, 32, 40, 91 литров. Можно ли не более чем за четыре переливания уравнять количество воды в бочках?

б) Путь есть семь бочек. Всегда ли можно уравнять количество воды во всех бочках не более чем за пять переливаний?

в) За какое наименьшее количество переливаний можно заведомо уравнять количество воды в 26 бочках? (ЕГЭ-2015).

а) хватит трех переливаний: 19 в первую бочку, 16 во вторую, 8 в третью.

б) нет, пример: в первых 6-ти бочках по 1 л, в седьмой – 43 л. Всего 49 л, и за пять переливаний не получится уравнять количества.

в) Если имеется n бочек, то понадобится n-1 переливание. То есть понадобится 25 переливаний (за одно действие добьемся нужного количества воды в одной бочке, за 2 – в двух и т.д.).

Ответ: а) да; б) нет; в) 25.

 

Задача 3. В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника – целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.
а) Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?
б) Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?
в) При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий? (ЕГЭ-2015)

а) да.

б) нет, не хватит тысячных купюр, их надо 80\cdot 4=320 штук.

в) Из пункта б) понятно, что трудности возникают при выдаче «остатков» тысячными купюрами. Максимальный остаток при делении на 5 – 4. Сумма остатков – не больше чем 4n. Если сумма остатков не больше чем 250,  тогда n не больше чем 62. Тогда выдаем по 4 тысячи 62 работникам и 548 – шестьдесят третьему.

Ответ: а) да; б) нет; в) 63.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *