Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 26.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать шестая статья данной серии. Здесь собраны задачи с реальных экзаменов.

Задача 1. С натуральным числом проводят следующую операцию: между каждыми двумя его соседними цифрами записывают сумму этих цифр, например, из числа 1923 получили число 110911253.

а) Приведите пример числа, из которого получается число 2108124117.

б) Может ли из какого-нибудь числа получиться число 37494128?

в) Какое наибольшее число, кратное 11, может получиться из трехзначного числа? (ЕГЭ-2017)

а) 2847

б) 3 – точно первая цифра, 4 – точно вторая, потому что 3+4=7. Затем 4+4\neq 9, и 4+1\neq 94. То есть такое число получиться не может.

в) Из трехзначного числа \overline{xyz} получится число (x)~(x+y)~(y)~(y+z)~(z).

x+y – может быть двузначным числом, тогда его можно записать в виде (1)~(x+y-10), и аналогично число y+z1~(y+z-10).

Тогда новое число может быть записано так:

    \[(x)~~(1)~~(x+y-10)~~(y)~~(1)~~(y+z-10)~~(z)\]

По признаку делимости на 11 разность суммы цифр на нечетных местах и суммы цифр на четных должна делиться на 11:

    \[x+x+y-10+1+z-(1+y+y+z-10)\vdots 11\]

    \[2x-y\vdots 11\]

Так как наша задача – получить наибольшее число, то возьмем x=9, тогда

    \[18-y=11\]

    \[y=7\]

z можно взять любое, поэтому возьмем максимальное – 9.

Полученное исходное число 979. Из него получим 9167169.

Ответ: а) 2847; б) нет; в) 9167169.

Задача 2. Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные. За каждую работу можно было получить целое число баллов от нуля до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый из студентов назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он называл балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S<15.

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S=13?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S=13? (ЕГЭ-2017)

а) Средний балл по всем работам должен быть меньше, чем по каждой в отдельности. Это значит, нужно, чтобы те, кто писали обе работы, писали бы их хорошо, а те, кто писал одну – писали бы плохо.

Придумаем пример для трех студентов. Пусть первый написал обе работы на 20 б. Второй написал первую работу на 10 б, а вторую не писал, а третий не писал первую, а вторую – на 10 б. Тогда средний балл по каждой работе составит 15, а средний балл в целом будет меньше 15. (Остальные 25 студентов могли написать обе работы на 15 ровно).

б) Если только двое писали по две работы, то всего работ было 30. Пусть первую работу писали k человек, а вторую –  n. Сумма баллов за первую работу тогда 15k, а сумма баллов за вторую  – 15n. Чтобы посчитать средний балл  S, мы выкинули баллы a и b тех студентов, что написали обе работы (ведь они называют лучшие баллы). Поэтому

    \[\frac{15k+15n-a-b}{28}=13\]

    \[k+n=30\]

    \[15\cdot30-a-b=364\]

    \[a+b=86\]

Но сумма баллов за «плохие» работы не может быть равна 86!

в) Пусть 2 работы писали m человек. Тогда всего работ было 28+m. Тогда

    \[\frac{15k+15n-(a_1+a_2+\ldots+a_m)}{28}=13\]

    \[15(28+m)- (a_1+a_2+\ldots+a_m)=13\cdot28\]

    \[a_1+a_2+\ldots+a_m=56+15m\]

Но a_1+a_2+\ldots+a_m\leqslant 20m,

    \[5m\geqslant 56\]

    \[m\geqslant 12\]

Приведем пример: если m=12, то сумма баллов «плохих» работ 56+15\cdot 12=236, то есть почти все эти работы по 20 б, и только 4 по 19.

Возьмем 8 студентов, которые обе работы написали на 20б, и четверых, которые обе работы написали на 19 б. Остается 16 человек. Пусть 8 из них писали только первую контрольную, и 8 только вторую. Всего первую работу писали 20 человек. Получается, сумма баллов за первую контрольную 20\cdot 15=300, причем 236 баллов – сумма баллов первых 12-ти человек, значит, на восемь остальных приходится 64 балла – пусть у каждого из них по 8 баллов за контрольную.

Ответ: а) один человек – 20 и 20 б, второй человек – 0 и 10 б, третий – 10 и 0 б, остальные по 15 б. за каждую контрольную; б) нет; в) 12.

 

Задача 3. В живом уголке четыре ученика кормят кроликов. Каждый кормит нескольких (хотя бы одного) кроликов, но не всех. Первый ученик дает порцию по 100 г, второй – по 200 г, третий – по 300 г, а четвертый по 400 г.

а) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили одинаковое количество корма?

б) Может ли оказаться так, что кроликов было 15 и все они получили разное количество корма?

в) Какое наибольшее количество кроликов могло быть в живом уголке, если каждый ученик насыпал корм ровно четырем кроликам и все кролики получили разное количество корма? (ЕГЭ-2018, досрочная волна)

а) Если первый и четвертый ученик дают корм одной группе кроликов, а остальных кормят второй и третий ученики – то все получат одно и то же количество еды.

б) Сколько способов вообще есть покормить одного кролика? 2^4. Но, помня о том, что 200+300=100+400, то один способ пропадает, и,  так как 100+200=300 – то еще один способ пропадает. То есть способов покормить – меньше 15. Можно и так рассуждать: от нуля до 1000 г – 11 способов дать разное количество еды. То есть способов покормить 11, а кроликов 15.

в) Сколько всего корма потратят ученики?

    \[400+800+1200+1600=4000\]

То есть, если один кролик не покормлен, а остальным дали по 100, 200, 300 и т.д. грамм, то всего мы сможем покормить 9 кроликов. Пример: 100, 200, 300, 400, 500, 700, 800 и 1000 г.

 Первый ученик (дает 100 г)Второй ученик (дает 200 г) Третий ученик (дает 300 г)Четвертый ученик (дает 400 г)
1 кролик (не покормили бедолагу) - 0 г----
2 кролик - получил 100 г+---
3 кролик - получил 200 г-+--
4 кролик - получил 300 г--+-
5 кролик - получил 400 г---+
6 кролик - получил 500 г-++-
7 кролик - получил 700 г++-+
8 кролик - получил 800 г+-++
9 кролик - получил 1000 г++++

Ответ: да; нет; 9.

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *