Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 25.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать пятая статья данной серии. Здесь собраны задачи с реальных экзаменов.

Задача 1. На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 16 заменили на 61.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел  быть ровно в 5 раз  меньше, чем сумма исходных?

в) найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.(ЕГЭ-2015).

а) Сумма новых чисел должна быть равна 990. Чтобы подобрать требуемые числа наиболее простым способом, подберем двузначные числа, которые отличаются приблизительно втрое и такие, чтобы число единиц в одном было равно числу десятков в другом и наоборот, к примеру, 92 и 29, или 41 и 14. Прикинем, сколько раз приблизительно число 92 помещается в 2970? Около 30 раз. 30\cdot 92=2760. До числа 2970 недостает 210. Если умножить 30 на 29 – получим 870. До 990 недостает 120. То есть к набору из 30 чисел, равных 92, добавим 10 чисел по 21, а к набору из 30 чисел, равных 29, добавим 10 чисел, равных 12, и условие будет выполнено.

Вторая пара – 41 и 14 – даст: в 2760 помещается примерно 60 раз по 41 (60\cdot 41=2460), до 2970 недостает 510. 60\cdot 14=840, до 990 недостает 150. То есть к набору из 60 чисел, равных 41, добавим 10 чисел по 51, а к набору из 60 чисел, равных 14, добавим 10 чисел, равных 15, и условие будет выполнено снова.

б) Зададимся вопросом, бывают ли числа, отличающиеся в 5 раз при перестановке цифр?

    \[\overline{xy}\geqslant 5\overline{yx}\]

    \[10x+y\geqslant 50y+5x\]

    \[5x\geqslant 49y\]

Слева – максимум 45 при x=9, слева – минимум 49 при y=1. Противоречие.

в) Попробуем действовать схожими методами. Возьмем число 91. В 2970 помещается 32 раза по 91 – 91\cdot 32=2912, осталось 58 до 2970. Если взять 32 раза по 19, то получим 608. Из числа 58 получится число 85, сумма 608 и 85 даст 693.

Если взять 31 раз по 91, то получим 2821, до 2970 остается 149. Если взять 31 раз по 19 – получим 589. Число 149 разбросаем на 74 и 75, из них получатся числа 47 и 57. Сумма 47+57=104, 589+104=693!

Если менять цифры в числах местами, то сумма единиц в одном оказывается суммой десятков в другом и наоборот.

То есть, если были сначала числа x_1y_1, x_2y_2, \ldots x_ny_n, то потом получены числа y_1 x_1, y_2 x_2, \ldots y_nx_n. Пусть сумма x_1+x_2+x_3+\ldots x_n=\Chi, сумма y_1+y_2+y_3+\ldots y_n=\Upsilon.

    \[2970=10\Chi+\Upsilon\]

А минимизировать мы хотим 10\Upsilon+\Chi. Чтобы такое число было минимальным, нужно, чтобы как можно меньшим было \Upsilon. Подумав, заключаем, что чисел минимум 30, и при этом они все равны 99. Но, если в каждом из чисел x_1y_1, x_2y_2, \ldots x_ny_n число единиц равно 1, то \Upsilon как минимум 30. Может ли \Upsilon быть в точности 30? Нет, так быть не может, потому что если чисел 30, то последние цифры – 9-ки. Если 10\Chi+\Upsilon заканчивается на 0, то самый маленький \Upsilon=40 (больше 30 и оканчивается на 0), тогда \Chi=293 и минимальная сумма – 693. Посмотрим, не будет ли хуже при других \Upsilon:

Если \Upsilon=50, то \Chi=292 и минимальная сумма 792.

Если \Upsilon=60, то \Chi=291 и минимальная сумма 891.

Если \Upsilon=70, то \Chi=290 и минимальная сумма 990.

Ответ: а) набор из 60 чисел, равных 41, и 10 чисел по 51; б) нет; в) 693.

 

Задача 2. Три числа назовем  хорошей тройкой, если они могут быть длинами сторон треугольника. Три числа назовем  отличной тройкой, если они могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника.

а) Даны восемь различных натуральных чисел. Может ли оказаться, что среди них не найдется ни одной хорошей тройки?

б) Даны 4 различных натуральных числа. Может ли оказаться, что среди них можно найти три отличных тройки?

в) Даны 12 различных чисел (необязательно натуральных). Какое наибольшее количество отличных троек могло оказаться среди них? (ЕГЭ-2015)

а) Да, например, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…

Или числа Фиббоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

Или 1, 10, 100, 1000, 10000…

б) Пусть у нас a<b<c<d. Гипотенузой могут быть числа c и d. Если гипотенуза c, то имеем треугольник a-b-c. Если же гипотенуза d, то может быть

    \[d^2=a^2+b^2\]

    \[d^2=a^2+c^2\]

    \[d^2=b^2+c^2\]

Из этих последних верным может быть только одно. Таким образом, отличных троек может быть только 2 (максимум).

в) Пусть у нас a_1<a_2<a_3<\ldots a_{12}.

    \[a_i^2=a_j^2+a_k^2\]

Пусть a_i^2=x_i, x_i=x_j+x_k~~~~~~~~~~~~(1).

    \[x_1<x_2<x_3<\ldots<x_{12}\]

Понятно, что в (1) слева не могут стоять ни x_1, ни x_2. Если слева x_3, то получаем одну отличную тройку. Но в пункте б) мы доказали, что, если x_4 слева, то такая тройка тоже одна. Две отличные тройки может дать x_5 – меньше него 4 числа. Аналогично, x_6 тоже даст максимум 2 тройки. x_7 и x_8 могут стоять слева не больше чем в трех случаях, x_9 и x_{10} могут стоять слева не больше чем в четырех случаях, x_{11} и x_{12} могут стоять слева не больше чем в пяти случаях. То есть всего отличных троек – не больше чем 30.

Возьмем такой пример для x_1<x_2<x_3<\ldots<x_{12}: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ответ: а) да; б) нет; в) 30.

Задача 3. На доске написано 100 различных натуральных чисел с суммой 5100.

А) может ли быть записано число 250?

Б) Можно ли обойтись без числа 11?

В) Какое наименьшее количество чисел, кратных 11, может быть на доске? (ЕГЭ-2017).

а)

    \[1+2+3+\ldots +100=\frac{1+100}{2}\cdot 100=101\cdot 50=5050\]

Ответ – нет, не может, так как сумма самых маленьких уже 5050.

б) Если мы откажемся от 11, то надо будет взять число 101 взамен, и сумма тогда точно не будет равна 5100.

в) Из ряда самых маленьких чисел (от 1 до 100) вычеркнем 99 и заменим его на 101 – сумма возросла на 2. Вычеркнем 88 и заменим на 102 – сумма возросла на 14, вычеркнем 77 и заменим на 103 – сумма возросла на 26. Теперь, после этих замен, получили сумму 5092. Есть еще запас в 8 единиц (до 5100). Аккуратно добавим 8 к какому-нибудь числу, чтобы не получить число, кратное 11. Например, к 103. Тогда сумма точно 5100. Кратными 11 будут 11,22, 33, 44, 55, 66.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 6.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *