Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 24.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать четвертая статья данной серии. Здесь собраны задачи с реальных экзаменов.

Задача 1. Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше

a) 99

б) 101

в) 100

(ЕГЭ-2016, досрочный).

а) «Дыра» между 99 и 110 составляет 11. Если числа не превосходят 11, то, прибавив одно из них к 99, мы обязательно попадем в «яму». Или наоборот, наберем чисел на сумму 110, затем одно вычтем – получим обязательно число, большее 99.

б) Пусть числа одинаковые и их 11 штук

    \[11x>110\]

    \[10x<101\]

    \[x>10\]

    \[x<10,1\]

То есть 10 чисел по 10,05 подойдут, но это – не любой набор.

Другой пример: пусть есть 10 чисел по 10, и одно число 11. Сумма десяти из них либо 100, либо 101.

в) Если взять чисел, больших 10, хотя бы 10 штук, то полученная сумма будет больше 100. Если взять числа, величины которых лежат в пределах от 10 до 11 включительно, 9 штук, а потом к ним добавить число, не превосходящее 10, то «провалимся в дырку» между 101 и 110.

Ответ: а) да; б) нет; в) да.

Задача 2. На доске написаны числа 2 и 3. За один ход два числа a и b, записанные на доске, заменяются на два числа: или a+b и 2a-1, или a+b и 2b-1. Например, из чисел 2 и 3 можно получить числа либо 3 и 5, либо 5 и 5.

а) Приведите пример последовательности ходов, после которой одно из двух чисел, написанных на доске, будет числом 13.

б) Может ли после 200 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 400?

в) Сделали 513 ходов, причем на доске никогда не было написано одновременно двух равных чисел. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел? (ЕГЭ-2016).

а) Пробуем получить 13. Имеем либо 3; 5, либо 5; 5. Следующий ход: в первом случае можем получить 5; 8 или 8; 9, затем 9; 13 или 13; 15. Во втором случае имеем 9; 10, потом 17; 19 или 19; 19. Пример наш таков: (2; 3), (3; 5), (5; 8), (9, 13).

б) Как видно из пункта а) в ряду появляются числа 2, 3, 5, 9, 17, 33, 65, 129 и т.д. Так как 17=2^4+1, 33=2^5+1, 65=2^6+1, 129=2^7+1, и т.д., то на двухсотом ходу получим число 2^{200}+1, что примерно равно 10^{60}, что значительно больше 400.

в) Если изначально даны четное и нечетное числа, то сумма четного и нечетного – нечетна, а удвоенное нечетное без 1 – тоже нечетное. То есть из нечетного и четного чисел получим на первом ходу два нечетных. На втором ходу одно будет четным, второе – нет, и таким образом ходы чередуются. На 513 ходу на доске обязательно написаны два нечетных числа. Самая маленькая разность между ними – 2.

Ответ: а) (2; 3), (3; 5), (5; 8), (9, 13); б) нет; в) 2.

Задача 3. На доске написаны числа 1, 2, 3, \ldots 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм трех чисел, стертых на предыдущих ходах.

а) Приведите пример последовательных пяти ходов;

б) Можно ли сделать 10 ходов?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать? (ЕГЭ-2016).

а) Да, можно: (15, 2, 3), (6, 4, 5), (7, 8, 9), (10, 11, 12), (13, 14, 1).

б) Сумма всех чисел

    \[\frac{1+30}{2}\cdot 30=31\cdot 15=465\]

Разделив 465 на 10 троек, получаем, что средняя сумма тройки 46,5, что больше 35. Ответ – нет.

Можно и по-другому: если стираем 30, то вместе с ним можно стереть либо 1 и 2, либо 1 и 3. Вычеркиваем 29. Вместе с ним  можно вычеркнуть 1 и 2, 1 и 3, 1 и 4, 2 и 3. Но единица уже вычеркнута с 30-кой, и 2-ка либо тройка – тоже.

в) Нужно проверить возможности сделать от 6 до 9 ходов, так как пять ходов мы уже сделали, а 10 сделать невозможно.

9 ходов:

    \[\frac{1+27}{2}\cdot 27=378\]

378, деленное на 9, – это больше 35.

8 ходов:

    \[\frac{1+24}{2}\cdot 24=300\]

300, деленное на 8, – это больше 35.

7 ходов:

    \[\frac{1+21}{2}\cdot 21=231\]

231, деленное на 7, – это меньше 35.

Но сумма самых больших сумм 34+33+32+\ldots+28=\frac{34+28}{2}\cdot 7=217 – не больше 217. Поэтому этот случай тоже невозможен.

6 ходов возможно сделать: изменим имеющиеся в пункте а) ходы, записав числа друг под другом:

    \[1~~~~~~~  2~~~~~~~  3~~~~~~~  4~~~~~~~  5~~~~~~~  6\]

    \[12~~~~~~ 11~~~~~~ 10~~~~~~ 9~~~~~~ 8~~~~~~ 7\]

    \[13~~~~~ 14~~~~~ 15~~~~~ 16~~~~~ 17~~~~~ 18\]

Полученные суммы (по вертикали) 26, 27, 28, 29, 30, 31.

Ответ: а) да; б) нет; в) 6.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *