Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 23.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать третья статья данной серии. Здесь собраны задачи с реальных экзаменов.

Задача 1. На доске написано 30 натуральных чисел. Какие-то из них красные, а какие-то зеленые. Красные числа кратны 7, а зеленые кратны 5. Все красные числа отличаются друг от друга, как и все зеленые. Но между красными и зелеными могут быть одинаковые.

а) Может ли сумма зеленых чисел быть меньше 2325?

б) Может ли сумма чисел быть 1467, если только одно число красное?

в) Найдите наименьшее количество красных чисел, которое может быть при сумме 1467.

Ответ к пункту а) – да, например 5 и 10. (Что называется, нагнись и подними балл).

б) Если только одно число красное, то зеленых – 29 штук. Сосчитаем суммы 29 самых маленьких чисел, кратных 5.

    \[S_z=5+10+\ldots+145=\frac{5+145}{2}\cdot 29=75\cdot 29>75\cdot20=1500\]

Ответ – нет.

в) Пусть зеленых n штук, тогда сумма зеленых

    \[S_z=5+10+\ldots+5n=5(1+2+\ldots+n)\]

    \[S_z=5\cdot \frac{n(n+1)}{2}\leqslant 1467\]

    \[5n(n+1)\leqslant 2934\]

    \[n(n+1)<600\]

Числа n и n+1 – соседние, например, 24 и 25. Так как произведение n(n+1) меньше 600, то n\leqslant 23. Начинаем перебор с 23.

    \[S_z=5+10+\ldots+115=\frac{5+115}{2}\cdot 23=1380\]

Сумма красных – самых маленьких – S_{kr}=7+14+21+28+35+42+49>87.

Проверяем 22.

    \[S_z=5+10+\ldots+115=\frac{5+110}{2}\cdot 22=1265\]

Сумма красных – самых маленьких – S_{kr}=7+14+21+28+35+42+49+56>1467-1265.

Пробуем 21.

    \[S_z=5+10+\ldots+105=\frac{5+105}{2}\cdot 21=1155\]

Сумма красных – самых маленьких – S_{kr}=7+14+21+28+35+42+49+56+63>1467-1155.

Берем 20.

    \[S_z=5+10+\ldots+100=\frac{5+100}{2}\cdot 20=1050\]

Сумма красных – самых маленьких – S_{kr}=7+14+21+28+35+42+49+56+63+70=385<1467-1050=417.

Имеем запас 417-385=32=25+7.

Возьмем тогда не число 100, а число 125, и не 70, а 77.

Второй способ для тех, кто умеет решать квадратные уравнения и неравенства: пусть зеленых чисел n, а красных тогда 30-n.

Сумма зеленых чисел

    \[S_z=5+10+\ldots+5n=5\cdot \frac{n(n+1)}{2}\]

Сумма красных чисел

    \[S_z=7+14+\ldots+7(30-n)=7\cdot \frac{(30-n)(31-n)}{2}\]

Полная сумма всех

    \[5\cdot \frac{n(n+1)}{2}+7\cdot \frac{(30-n)(31-n)}{2}\leqslant 1467\]

    \[\frac{5n^2+5n+7(930-61n+n^2)}{2}\leqslant 1467\]

    \[6n^2-211n+3255\leqslant 1467\]

    \[6n^2-211n+1788\leqslant 0\]

    \[\frac{211+40}{12}<n=\frac{211+\sqrt{1609}}{12}<\frac{211+41}{12}\]

Справа имеем ровнехонько 21. То есть n<21, или n=20.

Ответ: а) да; б) нет; в) 10.

Задача 2. Последовательность a_1 \ldots a_6 состоит из неотрицательных однозначных чисел. Пусть M_k  – среднее арифметическое всех членов этой последовательности, кроме k-того. Известно, что M_1=1, M_2=2.

а) Приведите пример такой последовательности, для которой M_3=1,6.

б) Существует ли такая последовательность, для которой M_3=3?

в) Найдите наибольшее значение M_3. (ЕГЭ-2016).

а) Сумма всех, кроме первого равна 1:

    \[a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=5\]

Среднее равно 1.

Сумма всех, кроме второго равна 2:

    \[a_1+a_3+a_4+a_5+a_6=10\]

Среднее равно 2.

Сумма всех, кроме третьего, равна:

    \[a_1+a_2+a_4+a_5+a_6=8\]

Среднее равно 1,6.

Вычитаем из второго первое:

    \[a_1-a_2=5\]

    \[a_1=5+a_2\]

Из третьего вычитаем второе:

    \[a_3-a_2=2\]

    \[a_3=2+a_2\]

Если a_2=0, то a_1=5, a_3=2.

Пример 5; 0; 2; 1; 1; 1. Или, например, 6; 1; 3; 1; 0; 0.

б)

    \[a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=5\]

    \[a_1+a_3+a_4+a_5+a_6=10\]

    \[a_1+a_2+a_4+a_5+a_6=15\]

Тогда

    \[a_1-a_2=5\]

    \[a_2-a_3=5\]

Следовательно,

    \[a_2=a_3+5\]

    \[a_1=a_2+5=a_3+10\]

Видим, что a_1 уже получается не однозначным числом. То есть среднее арифметическое не может быть равно 3 и не может быть больше 3.

в) Попробуем число 14 (как сумму всех пяти чисел).

    \[a_1-a_2=5\]

    \[a_2-a_3=4\]

    \[a_2=a_3+4\]

    \[a_1=a_2+5=a_3+9\]

Если a_3=0, a_2=4, a_1=9.

Пример 9; 4; 0; 1; 0; 0. Сумма этих чисел 14, среднее арифметическое 2,8.

Ответ: а) да, например, 6; 1; 3; 1; 0; 0; б) нет; в) 2,8.

Задача 3. Множество чисел назовем хорошим, если его можно разбить на 2 подмножества с одинаковой суммой чисел.

а) является ли множество {200; 201; \ldots 299} хорошим?

б) является ли множество {2; 4; 8 \ldots 2^{100}} хорошим?

в) Сколько хороших четырехэлементных  подмножеств у множества {1; 2; 4; 5; 7; 9; 11}? (ЕГЭ-2016).

а) Объединяем первое с последним, второе с предпоследним и т.д. Пар будет 50, поэтому да, множество хорошее. Можно по 4 объединять: n; n+1; n+2; n+3. Объединяем n+(n+3), (n+1)+(n+2).

б) Число 2^{100} больше суммы всех предыдущих. То есть та куча, в которой это число находится – очень большая и множество не хорошее.

Можно и так объяснить: та куча, в которой число 2, не делится на 4.

в) Нужно, чтобы в подмножестве было четное число нечетных чисел. У нас есть 5 способов из пяти нечетных чисел выбрать 4:

1; 5; 7; 9 – подмножество не хорошее.

1; 5; 7; 11 – подмножество хорошее.

1; 5; 9; 11 – подмножество не хорошее.

1; 7; 9; 11 – подмножество не хорошее.

5; 7; 9; 11 – подмножество хорошее.

Но нечетных в подмножестве может быть и 2:

2; 4; 1; 5 – подмножество хорошее.

2; 4; 1; 7 – подмножество хорошее.

2; 4; 1; 9 – подмножество не хорошее.

2; 4; 1; 11 – подмножество не хорошее.

2; 4; 5; 7 – подмножество хорошее.

2; 4; 5; 9 – подмножество не хорошее.

2; 4; 5; 11 – подмножество хорошее.

2; 4; 7; 11 – подмножество не хорошее.

2; 4; 9; 11 – подмножество  хорошее.

2; 4; 7; 9 – подмножество  хорошее.

Всего хороших подмножеств получилось 8.

Ответ: а) да; б) нет; в) 8.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *