Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 22.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать вторая статья данной серии. Здесь собраны задачи с реальных экзаменов.

Задача 1. Маша и Наташа одновременно решили начать делать фотографии. Каждый день каждая девочка делает на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. В итоге оказывается, что Наташа сделала на 1001 фотографию больше, чем Маша.

а) Могло ли это произойти за 7 дней?

б) Могла ли это произойти за 8 дней?

в) Какое максимальное количество фото могла сделать Наташа, если Маша в последний день сделала меньше 40 фотографий? (ЕГЭ-2017)

Решение.

а) Разность в 1001 штуку накопилась за 7 дней. 1001 делится на 7:

    \[\frac{1001}{7}=143\]

То есть, если разность в числе сделанных ежедневно фотографий равна 143, то ситуация возможна, например:

Маша: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 фотографий.

Наташа: 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150.

б) Так как девочки делают на 1 фото больше ежедневно, то количество сделанных фото меняет четность. За восемь дней каждая должна была сделать четное число фото: 4 дня по нечетному числу, и 4 дня – по четному. Поэтому разность количеств сделанных фотографий должна тоже быть четной. Поэтому за 8 дней разность в 1001 фотографию не могла накопиться.

в) Дней было, очевидно, меньше 40. Число 1001 раскладывается на множители:

    \[1001=11\cdot 7 \cdot 13\cdot 1\]

Если девочки делали фото 1 день, то Маша могла сделать 39 фотографий, а Наташа – 1040.

Если 7 дней – то Маша могла сделать 39+38+37+36+35+34+33 фотографии – всего 252, тогда Наташа сделала 1253 фотографии.

Если девочки фотографировали 11 дней, то Маша могла сделать

    \[39+38+\ldots+29=374\]

А Наташа  – 1375 фотографий.

Если девочки фотографировали 13 дней, то Маша сделала

    \[39+38+\ldots+27=429\]

А Наташа  – 1430 фото.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1430.

Задача 2. Задумано несколько необязательно различных натуральных чисел. Эти числа и все их возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляют только одно число n, а остальные равные n стирают. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8, 10.

б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?

в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 7, 8, 10, 15, 16, 17, 18, 23, 24, 25, 26, 31, 33, 34, 41.(ЕГЭ-2017)

Решение.

а) Число 10 может получиться следующими способами:

    \[10=2+2+2+2+2\]

    \[10=2+2+2+4\]

    \[10=2+2+6\]

    \[10=2+4+4\]

Поэтому любой из приведенных наборов может подойти.

б) 1 среди задуманных чисел точно есть, и только одна – иначе бы в наборе присутствовала двойка. Тройка тоже есть среди задуманных чисел, и тоже одна – иначе в наборе присутствовала бы 7. Присутствие 5 говорит о том, что  в наборе должна быть 9 – а ее нет.

Можно и так рассуждать: самое большое число 22, это сумма всех задуманных чисел. Сумма без 1 – число 21, а его в наборе нет.

в) Первые три числа – 7, 8 и 10 – должны быть в исходном наборе. Самая большая сумма – 41, а 7+8+10=25. Недостает 16-ти. 16 можно раскидать на 7 и 9, или на 8 и 8. Так как 9-ки нет в наборе, значит, выберем 8 и 8.

То есть набор мог быть 7, 8, 10, 16 или 7, 8, 8, 8, 10.

Проверяем оба набора. Первый набор 7, 8, 10, 16. Суммы по два числа: 15, 18, 17, 23, 26, 24. Суммы по три: 25, 33, 34. Сумма всех 41.

Второй набор 7, 8, 8, 8, 10.

Суммы по два числа 15, 16, 18, 17.

По три: 23, 24, 26, 25.

По четыре: 31, 33, 34. И сумма всех 41.

При проверке первого набора видим, что нет числа 31.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10.

Задача 3. Саша берет пять различных натуральных чисел и проделывает с ними следующие операции: сначала вычисляет среднее арифметическое первых двух чисел, затем среднее арифметическое результата и третьего числа, потом среднее арифметическое результата и четвертого числа, потом среднее арифметическое результата и пятого числа – число A.

а) Может ли число A равняться среднему арифметическому начальных пяти чисел?

б) Может ли число A быть больше среднего арифметического начальных чисел в пять раз?

в) В какое наибольшее целое число раз A может быть больше среднего арифметического начальных пяти чисел? (ЕГЭ-2017)

а) Записываем то, что проделал с числами Саша:

    \[\frac{\frac{\frac{\frac{a_1+a_2}{2}+a_3}{2}+a_4}{2}+a_5}{2}=A=\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}\]

    \[\frac{a_1}{16}+\frac{a_2}{16}+\frac{a_3}{8}+\frac{a_4}{4}+\frac{a_5}{2}=\frac{a_1+a_2+a_3+a_4+a_5}{5}\]

Домножим на 80:

    \[5a_1+5a_2+10a_3+20a_4+40a_5= 16a_1+16a_2+16a_3+16a_4+16a_5\]

Перепишем:

    \[4a_4+24a_5=11a_1+11a_2+6a_3\]

Видим, что в левой части оба слагаемых – четные. В правой части точно четным будет слагаемое 6a_3. Поэтому сумма 11a_1 и 11a_2 – четная. Для этого оба этих числа (a_1 и a_2) должны быть одновременно либо оба четными, либо оба нечетными.

Если a_1=3 и a_2=5, то

    \[4a_4+24a_5=88+6a_3\]

Левая часть делится на 4, 88 –  тоже, значит, 6a_3 должно делиться на 4. То есть a_3 делится на 2. Возьмем a_3=2:

    \[4a_4+24a_5=88+12=100\]

Теперь, если a_5=1, то 4a_4=76. Получили набор {3; 5; 2; 1; 19}

Другой пример. Если a_1=2 и a_2=4, то

    \[4a_4+24a_5=66+6a_3\]

Возьмем a_3=9:

    \[4a_4+24a_5=120\]

Теперь, если a_5=3, то 4a_4=48. Получили набор {2; 4; 9; 12; 3}

б) Если число А больше среднего арифметического начальных пяти чисел в пять раз, то, опираясь на пункт а) запишем:

    \[5a_1+5a_2+10a_3+20a_4+40a_5= 80a_1+80a_2+80a_3+80a_4+80a_5\]

Делаем вывод, что 80a_1>5a_1; 80a_2>5a_2; 80a_3>10a_3; \ldots. Каждое слагаемое в правой части больше слагаемого в левой. То есть ответ на данный пункт – нет.

в) Опять перепишем вывод части а), только в таком виде:

    \[5a_1+5a_2+10a_3+20a_4+40a_5=16k (a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)\]

Мы уже проверили в пункте а) k=1, и у нас получилось. И в пункте б) проверили k=5, и у нас не получилось подобрать числа. То есть k<5. При больших k коэффициенты правой части будут еще больше, чем в пункте б). При k=3 все множители в правой части будут равны 48, и снова окажется, что все слагаемые правой части больше, чем в левой. Проверяем k=2:

    \[8a_5=27a_1+27a_2+22a_3+12a_4\]

Опять замечаем, что a_1+a_2 – четное, то есть a_1 и a_2 – одной четности. Если a_1=1, a_2=3, то

    \[8a_5=108+22a_3+12a_4\]

Все слагаемые делятся на 4, значит, 22a_3 делится на 4 тоже. a_3 \vdots 2. Возьмем a_3=2.

    \[8a_5=152+12a_4\]

Здесь уже видно, что 12a_4 делится на 8, пусть a_4=4.

    \[8a_5=152+12\cdot 4=200\]

    \[a_5=25\]

Можно было и по-другому: так как 8a_5 в левой части делится на 8, то возьмем все числа такими, чтобы слагаемые делились на 8: a_1=8; a_2=16; a_3=4; a_4=2.

Тогда

    \[8( 27+54+11+3)=8a_5\]

    \[a_5=95\]

Ответ: а) да, например {3; 5; 2; 1; 19}; б) нет; в) да, k=2.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *