Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 21.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцать первая статья данной серии. Задачи из сборника Пронюка. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

 

Задача 1.  Целой частью [a] числа a называется наибольшее целое число, не превосходящее a.

а) Найдутся ли такие действительные числа a_1, a_2, a_3,\ldots a_{100}, что выполнено неравенство [a_1]+[a_2]+[a_3]+\ldots+[a_{100}]+99<a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{100}?

б) Найдутся ли такие двузначные натуральные числа a_1, a_2, a_3,\ldots a_{10}, что выполнено неравенство [\sqrt{a_1}]+[\sqrt{a_2}]+[\sqrt{a_3}]+\ldots+\[\sqrt{a_{10}}]\geqslant 90, если известно, что все они четные и попарно различны?

в) Найдите наибольшее возможное значение a_1, удовлетворяющее неравенству [a_1^2-3(a_1+a_2)+a_2^2+2a_1a_2]\leqslant 3, если известно, что a_1, a_2 – натуральные числа.

 

Пусть целая часть числа \alpha, а дробная – \beta. Тогда

    \[a_1=\alpha_1+\beta_1\]

    \[a_2=\alpha_2+\beta_2\]

    \[a_3=\alpha_3+\beta_3\]

    \[\ldots\]

    \[a_{100}=\alpha_{100}+\beta_{100}\]

    \[0\leqslant \beta_1, \beta_2, \ldots \beta_{100}\leqslant 1\]

Тогда

    \[\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\ldots +\alpha_{100}<\alpha_1+\beta_1+\alpha_2+\beta_2+\ldots+\alpha_{100}+\beta_{100}\]

    \[\beta_1+ \beta_2+ \ldots+ \beta_{100}>99\]

    \[\beta_1= \beta_2= \ldots=\beta_{100}>0,999\]

Ответ на а) – да, например: \{1,999;  2,999; 3,999; \ldots 100,999\}.

б) Пусть a_1>a_2>a_3\ldots a_{10}.

Например, a_1 \geqslant 98, a_2 \geqslant 96,\ldots a_{10} \geqslant 80. Тогда

    \[[\sqrt{a_1}]+[\sqrt{a_2}]+[\sqrt{a_3}]+\ldots+[\sqrt{a_{10}}]\leqslant [\sqrt{98}]+[\sqrt{96}]+[\sqrt{94}]+\ldots+[\sqrt{80}]=9\cdot9+8<90\]

в)

    \[[a_1^2-3(a_1+a_2)+a_2^2+2a_1a_2]\leqslant 3\]

Пусть t=a_1+a_2, t \in N.

    \[t^2-3t-3\leqslant 0\]

    \[t\leqslant 3\]

    \[a_1+a_2=3\]

    \[a_1=3- a_2\]

    \[a_1=1\]

    \[a_2=2\]

Ответ: а) да; б) нет; в) 2.

Задача 2. Дан набор из ста первых натуральных чисел 1, 2, 3, \ldots 100. Из них произвольным образом выбрали 51 число.

а) Может ли оказаться так, что каждое из выбранных чисел кратно трем или четырем?

б) Может ли оказаться так, что среди выбранных чисел не найдется пары, в которой одно число делится на другое?

в) У одного из выбранных чисел нашли все делители. Какое наибольшее число таких делителей могло совпасть с выбранными числами?

а) Есть 33 числа, делящихся на 3, и 25 чисел, делящихся на 4. Но эти наборы пересекаются: в них есть числа, делящиеся и на 3, и на 4. То есть такие числа делятся на 12. Их 8. Тогда всего нужных нам чисел 33+25-8=50, что меньше 51.

б) Организуем группы по принципу x=p\cdot 2^k.

Первая группа: \{1; 2; 4; 8; 16; 32; 64\}

Вторая группа: \{3; 6; 12; 24; 48; 96\}

И так далее, до группы, включающей только одно число –  99. То есть пара найдется всегда.

в)  Нужно найти такое число, у которого наибольшее число делителей.

    \[N=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot p_3^{\alpha_3}\]

Где p_1\ldots p_i – простые числа, \alpha_1\ldots \alpha_i – натуральные числа.

Количество делителей можно посчитать по формуле

    \[\sigma(N)=(\alpha_1+1)\cdot(\alpha_2+1)\cdot \ldots \cdot (\alpha_i+1)\]

У нас i\leqslant 3, так как 2\cdot3\cdot5\cdot7=210, что больше 100.

Пусть \alpha_1\geqslant \alpha_2\geqslant \alpha_3.

Первый случай: N=2^6 – делителей будет \sigma=6+1=7.

Второй случай: N=2^5\cdot3 – делителей будет \sigma=(5+1)(1+1)=12.

Третий случай: N=2^4\cdot3 – делителей будет \sigma=(4+1)(1+1)=10.

Четвертый случай: N=2^3\cdot3^2 – делителей будет \sigma=(3+1)(2+1)=12.

Дальнейший перебор будет давать меньшее количество делителей.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 12.

 

Задача 3. Натуральные числа a_1, a_2, a_3, \ldots a_{10} являются членами арифметической прогрессии.

а) могут ли пять последовательных членов этой прогрессии быть простыми?

б) могут ли числа этой прогрессии a_1 и a_7 быть кратными 11, если число a_{10} на 11 не делится?

в) какое наименьшее значение может принимать сумма a+5+a_6, если сумма всех десяти членов арифметической прогрессии не превосходит 999?

а) Попробуем построить такую прогрессию. Первый ее член  – простое число. d – разность прогрессии. d должно делиться на 2, иначе будут чередоваться четные и нечетные числа. И d должно делиться на 3 – иначе среди трех последовательных членов прогрессии найдется член, кратный трем. Тройка может выступать только в качестве первого члена прогрессии. Пробуем строить прогрессию: \{5; 11; 17; 23; 29\}.

И даже можно получить прогрессию из шести членов: тогда надо, чтобы члены прогрессии не делились на 5, а значит, на 5 должна делиться разность прогрессии: d\vdots 30. Строим прогрессию: \{7; 37; 67; 97; 127; 157\}.

б) Пусть a_1\vdots 11, a_7 \vdots 11.

    \[a_7=a_1+6d\]

a_{10}=a_1+9d – не делится на 11. Значит, разность прогрессии d не делится на 11. Тогда разность можно записать d=11d_1+r. Если a_7 делится на 11, то можно представить этот член как

    \[a_7=11k+6(11d_1+r)=11k+66d_1+6r=11(k+6d_1)+6r\]

Последнее слагаемое на 11 не делится, поэтому ответ  – нет, ситуация невозможна.

в) Запишем сумму прогрессии двумя способами:

    \[S=a_1+a_2+\ldots+a_9+a_{10}\]

    \[S=a_{10}+a_9+\ldots+a_2+a_1\]

Видим, что

    \[a_5+a_6=a_4+a_7=a_3+a_8=a_2+a_9=a_1+a_10\]

Так как по условию S\leqslant 999,

    \[S=\frac{A_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{a_5+a_6}{2}\cdot 10\]

    \[5\cdot (a_5+a_6)\leqslant 999\]

    \[a_5+a_6\leqslant 199\]

То есть пример может быть таким:

\{95; 96; 97; 98; 99; 100; 101; 102; 103; 104\}, a_5=99, a_6=100.

Задача 4. Сергей задумал натуральное трехзначное число \overline{abc}.

а) Приведите пример натурального трехзначного числа \overline{abc}, которое при делении на 3, на 5 и на 7 дает в остатке 1 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

б) Найдите такое наименьшее число \overline{abc}, которое при делении на 6 и на 11 дает равные ненулевые остатки и у которого средняя цифра является средним арифметическим двух крайних цифр.

в) Найдите все возможные цифры, на которые может оканчиваться число \overline{abc}, если оно является простым, цифры числа попарно различны, а кроме того, последняя цифра равна сумме первых двух.

а) По условию N-1 \vdots 3; 5; 7.Число 3\cdot 5\cdot 7=105, поэтому нужное нам число будем выбирать из \{105; 210; 315; 420 \ldots\}. Последнее число (то есть 421) как раз удовлетворяет условиям задачи.

б)

    \[N=\overline{abc}\]

    \[2b=a+c\]

С одной стороны,

    \[N=6k+r\]

С другой

    \[N=11n+r\]

    \[N-r \vdots 11\]

    \[N-r \vdots 6\]

Значит,

    \[N-r \vdots 66\]

    \[N-r \in \{132, \vdots\}\]

То есть a=1, b=3, 2\cdot 3=1+c, и c=5.

Число 135 дает одинаковые остатки при делении на 6 и 11 и 3 – среднее арифметическое 3 и 5.

в)

    \[c=a+b\]

c – нечетное, и c\geqslant 3, так как является суммой как минимум 1 и 2. 5 – не подходит, числа, оканчивающиеся на 5 – не простые. Значит, выбираем из 3, 7, 9.

Если c=3, то по сумме цифр число делится на 3, а такое число – не простое.

Если c=9 – тоже самое, число делится на 9 по признаку делимости на 9.

Следовательно, c=7. Пример: 257, 167, 617, 347.

Ответ: а) 421;  б) 135; в) 167.

 

Задача 5. На доске написано несколько различных трехзначных натуральных чисел.

а) могут ли шесть из них образовывать геометрическую прогрессию?

б) Может ли на доске быть написано 452 числа, из которых все, кроме одного, образовывают арифметическую прогрессию?

в) Какой наименьший шаг d может иметь арифметическая прогрессия, состоящая из написанных чисел, если известно, что на доске имелось ровно 100 чисел, и все они были четными?

а)  Представим прогрессию так:

    \[a; a\cdot \frac{m}{n}; a\cdot \frac{m^2}{n^2}; \ldots a\cdot \frac{m^5}{n^5}\]

Причем \frac{m}{n} – несократимая дробь. Тогда a должно делиться на n^5. Положив n=2, m=3, получим, что a \vdots 32, a \in \{128; 192; 288; 432; 648; 972\}.

б) Да, например, \{100; 101; 102; \ldots 550; 999.

в) Разность такой прогрессии должна делиться на 2, и d<0. Если a_1\leqslant 998, a_{100}=a_1+99d\geqslant 100.

99d=a_{100}-a_1=100-998.  Получаем, что d\geqslant -9\frac{7}{99}, d \geqslant -8.

Пример: \{998; 990; 982; \ldots 206\}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *