Учимся решать задачу 19. Часть 20.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами.

Задача 1.  В четверти учитель ставил школьникам оценки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным  4,7.

а) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?

б) На какое наибольшее число может увеличить среднее арифметическое отметок этого ученика после замены четырёх оценок «3», «3», «5», «5» на две отметки «4»?

а)  Средний балл определяется так: сумму оценок делят на их количество.

– эта дробь несократима. Количество оценок не может быть меньшим 10. Например, 3 оценки «4» и семь «5».

б) Пусть было оценок, среди них «3», «3», «5», «5» и еще штуки. – сумма всех оценок.

кратно 10. Средний балл будет вычисляться как

То, на сколько мог измениться средний балл, обозначим :

Итак, , например: было – пятерок всего 16 штук. Стало: .

Задача 2. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 7, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных – .

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Пусть – количество положительных, – отрицательных чисел, и -число нулей. Сумма положительных равна , отрицательных – , у нулей сумма ноль.

По условию

То есть делится на 7. Но тогда делится на 6. Между 42 и 54 есть число 48, делящееся на 6. Это ответ на пункт а).

б) По условию

Мы выяснили, что отрицательных чисел больше.

в)

Это значит, что – четное.

Пример: 12 штук 6-рок, 34 штуки (-12) и два нуля.

Ответ: а) 48;  б) отрицательных; в) 12.

Задача 3. Две команды КВН участвуют в игре из четырех конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку: целое число от 1 до 5. Компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырех полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?

При вычислении среднего балла компьютер будет делить сумму баллов всех судей на 6. Поэтому остатками от такого деления могут быть 1, 2, 3, 4 и 5. При делении на 6 этих остатков соответственно получатся 0, 167; 0,333; 0,5; 0,667; 0,833. Компьютер округляет до десятых, после округления получатся 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8.

Сведем в таблицу:

К задаче 3

Видно, что «относительный остаток» – то есть десятые доли по отношению к количеству полученных баллов – меньше всего в случае остатка 2 и 5, а больше всего в случае остатков 1 и 4.

Пусть тогда у первой команды в трех конкурсах оценки таковы, что остатки от деления общего количества баллов на 6  равны 1, а в четвертом конкурсе – 4. А у второй команды остатки все время равны 2. Тогда покажем в таблице остатки и десятые доли, начисляемые компьютеров в каждом конкурсе:

К задаче 3

Получается, что первая команда получила 7б остатков, а десятыми долями еще 1,3 б. А вторая команда получила 8б,  а дополнительно еще 1,2 б. Теперь построим пример и покажем тем самым, что ситуация возможна:

Баллы обоих команд за все конкурсы:

К задаче 3

Видно, что количество баллов первой команды равно 79, а количество  баллов второй 80. Кто же победит? Победит первая команда,  которая получит б., а проиграет вторая, получившая б.