Учимся решать задачу 19. Часть 20.

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами.

Задача 1.  В четверти учитель ставил школьникам оценки «1», «2», «3», «4» и «5». Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным  4,7.

а) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?

б) На какое наибольшее число может увеличить среднее арифметическое отметок этого ученика после замены четырёх оценок «3», «3», «5», «5» на две отметки «4»?

а)  Средний балл определяется так: сумму оценок делят на их количество.

$4,7=\frac{47}{10}$ – эта дробь несократима. Количество оценок не может быть меньшим 10. Например, 3 оценки «4» и семь «5».

б) Пусть было $n$ оценок, среди них «3», «3», «5», «5» и еще $n-4$ штуки. $x$ – сумма всех оценок.

$$x\leqslant 5(n-4)$$

$n$ кратно 10. Средний балл будет вычисляться как

$$\frac{3+3+5+5+x}{n}=4,7$$

$$x=4,7n-16\leqslant 5n-20$$

$$0,3n-4\geqslant 0$$

$$n\geqslant \frac{40}{3}$$

$$n \geqslant 20$$

То, на сколько мог измениться средний балл, обозначим $\Delta$:

$$\Delta=\frac{x-16+8}{n-2}-4,7=\frac{x-8-4,7(n-2)}{n-2}=\frac{4,7n-16+8-4,7n+9,4}{n-2}=\frac{1,4}{n-2}$$

$$\Delta \leqslant \frac{1,4}{20-2}=\frac{7}{90}$$

Итак, $n=20$, например: было $3+3+5+5+4+4+5+\cdot +5=94$ – пятерок всего 16 штук. Стало: $4+4+4+4+14\cdot 5=86$.

$$\Delta=\frac{86}{18}-\frac{94}{20}=\frac{7}{90}$$

Задача 2. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 7, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных – $-12$.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Пусть $p$ – количество положительных, $n$ – отрицательных чисел, и $z$ -число нулей. Сумма положительных равна $6p$, отрицательных – $-12n$, у нулей сумма ноль.

По условию

$$6p-12n+0z=-7(p+n+z)$$

$$6(p-2n)= -7(p+n+z)$$

$$ p+n+z=\frac{6(2n-p)}{7}$$

То есть $2n-p$ делится на 7. Но тогда $p+n+z$ делится на 6. Между 42 и 54 есть число 48, делящееся на 6. Это ответ на пункт а).

б) По условию

$$6p-12n+0z=-7(p+n+z)$$

$$13p-5n+7z=0$$

$$5n=13p+7z\geqslant 13p$$

$$n\geqslant \frac{13p}{5}>p$$

$$n>p$$

Мы выяснили, что отрицательных чисел больше.

в)

$$p+n+z=48$$

$$13p-5n+7z=0$$

$$13p=5n-7z=5n-7(48-p-n)=12n+7p-336$$

$$6p=12n-336$$

$$p=2n-56$$

$$n=\frac{p}{2}+28$$

Это значит, что $p$ – четное.

$$48=p+n+z=p+\frac{p}{2}+28+z \geqslant \frac{3p}{2}+28$$

$$\frac{3p}{2}+28\leqslant48$$

$$\frac{3p}{2}\leqslant 20$$

$$p\leqslant \frac{40}{3}\leqslant 12$$

$$p=12$$

$$n=6+28=34$$

$$z=2$$

Пример: 12 штук 6-рок, 34 штуки (-12) и два нуля.

Ответ: а) 48;  б) отрицательных; в) 12.

Задача 3. Две команды КВН участвуют в игре из четырех конкурсов. За каждый конкурс каждый из шести судей выставляет оценку: целое число от 1 до 5. Компьютер находит среднее арифметическое оценок за конкурс и округляет его с точностью до десятых. Победитель определяется по сумме четырех полученных компьютером значений. Может ли оказаться, что сумма всех оценок, выставленных судьями, у проигравшей команды больше, чем у выигравшей?

При вычислении среднего балла компьютер будет делить сумму баллов всех судей на 6. Поэтому остатками от такого деления могут быть 1, 2, 3, 4 и 5. При делении на 6 этих остатков соответственно получатся 0, 167; 0,333; 0,5; 0,667; 0,833. Компьютер округляет до десятых, после округления получатся 0,2; 0,3; 0,5; 0,7; 0,8.

Сведем в таблицу:

К задаче 3

Видно, что «относительный остаток» – то есть десятые доли по отношению к количеству полученных баллов – меньше всего в случае остатка 2 и 5, а больше всего в случае остатков 1 и 4.

Пусть тогда у первой команды в трех конкурсах оценки таковы, что остатки от деления общего количества баллов на 6  равны 1, а в четвертом конкурсе – 4. А у второй команды остатки все время равны 2. Тогда покажем в таблице остатки и десятые доли, начисляемые компьютеров в каждом конкурсе:

К задаче 3

Получается, что первая команда получила 7б остатков, а десятыми долями еще 1,3 б. А вторая команда получила 8б,  а дополнительно еще 1,2 б. Теперь построим пример и покажем тем самым, что ситуация возможна:

Баллы обоих команд за все конкурсы:

К задаче 3

Видно, что количество баллов первой команды равно 79, а количество  баллов второй 80. Кто же победит? Победит первая команда,  которая получит $3,2\cdot 3+3,7=13,3$ б., а проиграет вторая, получившая $3,3\cdot4=13,2$ б.