Учимся решать задачу 19. Часть 19.

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – девятнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.  В парке $n$ аттракционов. С 12 до 13 часов дня парк посетило ровно $n$ детей. Стоимость посещения каждого аттракциона составляет 10 рублей. Каждый ребенок потратил или 30, или 140 рублей, причем не все дети  потратили поровну денег (один аттракцион можно посетить много раз).

а) Могла ли выручка каждого аттракциона составить ровно 80 рублей?

б) Какое наименьшее количество детей могло быть, если известно, что все аттракционы получили одинаковую выручку?

в) Пусть любые два аттракциона имеют разную выручку (возможно, нулевую). Каково наибольшее возможное количество посетивших парк детей?

Решение.

а) Пусть $x$ детей потратили по 30 руб., тогда $n-x$ – по 140 руб. Всего потрачено денег $30x+140\cdot(n-x)$. А всего получено денег – $80n$. Сколько потрачено – столько и получено:

$$30x+140\cdot(n-x)=140n-110x=80n$$

$$60n=110x$$

$$6n=11x$$

Если $n=11$, а $x=6$, то ситуация возможна.

б) Если количество проданных билетов $t$, то выручка составила $10tn$. Тогда

$$140n-110x=10tn$$

Число $t$ ограничено: $3<t<14$ – потому кем-то из детей было потрачено 30, а кем-то – 140 руб.

$$14n-11x=tn$$

$$(14-t)n=11x$$

$$x=\frac{(14-t)n}{11}$$

$14-t<11$, и на 11 не делится. Значит, $n$ делится на 11. То есть $n \geqslant 11$, минимальное – $n=11$. А пример приведен уже в пункте а).

в) Всего потрачено денег $140n-110x$, а получены разные выручки: если $S_1=0$, то $S_2\geqslant0+10$, $S_3\geqslant 20, S_n\geqslant 10(n-1)$. Сумма выручек $\frac{10n(n-1)}{2}$. Тогда

$$140n-110x=S\geqslant\frac{10n(n-1)}{2}$$

$$n^2-29n+22x\leqslant 0$$

То есть

$$1\leqslant x \leqslant\frac{29n-n^2}{22}$$

$$n^2-29n+22\leqslant 0$$

При $n=29$ неравенство неверно, $n<29$. Пр и $n=28$ $28^2-29\cdot 28<0$ – выполнено. $x=1$, потрачено

$$30\cdot 1+27\cdot 140=3810$$

Выручка аттракционов $0+10+20+30+\ldots+260+300$ – все отличаются на 10 руб, а последнее слагаемое просто подбираем таким, чтобы отличалось от остальных, а сумма всех была бы 3810.

Ответ: а) да;  б) 11; в) 28.

Задача 2. Среднее арифметическое 10 различных положительных целых чисел равно 10. Чему может равняться наибольшее среди этих чисел?

Решение. Нам нужно, чтобы все числа были различными, и нужно получить одно из них максимально большим. Поэтому все остальные должны быть как можно меньше.

$$a_1<a_2<a_3<\ldots <a_9<10$$

$$ a_1+a_2+a_3+\ldots +a_9=100$$

Если

$$a_1\geqslant 1$$

$$a_2\geqslant 2$$

$$a_3\geqslant 3$$

$$\ldots$$

$$a_9\geqslant9$$

Так как знаки неравенств одинаковы, то их можно сложить.

$$a_1+\ldots+a_9\geqslant 45$$

Тогда

$$a_{10}=100-(a_1+\ldots +a_9)\leqslant 100-45$$

$$a_{10}\leqslant 55$$

То есть возможен набор $\{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 55\}$.

б) Аналогично пункту а)

$$a_9\leqslant a_{10}-1$$

$$a_8\leqslant a_{10}-2$$

$$\ldots$$

$$a_1\leqslant a_{10}-9$$

$$ a_1+a_2+a_3+\ldots +a_9=100$$

$$100 \leqslant 10a_{10}-45$$

$$10a_{10}\geqslant 145$$

$$a_{10}\geqslant 14,5$$
$$a_{10}\geqslant 15$$
То есть возможен набор $\{ 5; 6; 7; 8; 9; 11; 12; 13; 14; 15\}$.

Ответ: от 15 до 55 включительно.

Задача 3. Даны две группы натуральных чисел. В первой группе три числа, среднее арифметическое которых равно 12, а во второй два числа, среднее арифметическое которых равно 7. Какое наибольшее значение может принимать произведение всех пяти данных чисел?

$$\frac{a_1+a_2+a_3}{3}=12$$

$$\frac{a_4+a_5}{2}=7$$

Произведение

$$ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5=(a_1 \cdot a_2 \cdot a_3)\cdot(a_4 \cdot a_5)\leqslant \left(\frac{a_1+a_2+a_3}{3}\right)^3 \left(\frac{a_4+a_5}{2}\right)^2=12^3\cdot 7^2=84672$$

Ответ: 84672.