Учимся решать задачу 19. Часть 18.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восемнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Каково наименьшее количество учащихся в математическом кружке, если девочек в нем больше 40%, но менее 50 %?

Решение: пусть $d$ – количество девочек, а $x$ – число детей. Тогда по условию

$\frac{4x}{10}<d<\frac{x}{2}$

$4x<10d<5x$

При $x=2$ $8<10d<10$ – нет целых решений.

При $x=3$ $12<10d<15$ – нет целых решений.

При $x=4$ $16<10d<20$ – нет целых решений.

При $x=5$ $20<10d<25$ – нет целых решений.

При $x=6$ $24<10d<30$ – нет целых решений.

При $x=7$ $28<10d<35$ – есть решение: $d=3$ .

Ответ: 7.

Задача 2. Известно, что $a, b, c$ и $d$ – попарно различные двузначные числа.

а) может ли выполняться равенство $\frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}$ .

б) может ли дробь $\frac{a+c}{b+d}$ быть в 11 раз меньше, чем сумма $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$ ?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a+c}{b+d}$ , если $a>3b$ и $c>6d$ ?

Для решения а) запишем дробь $\frac{7}{19}$ иначе:

$\frac{7}{19}=\frac{14}{38}=\frac{21}{57}=\frac{10+11}{25+32}$

Тогда, например, $a=10$ , $b=25$ , $c=11$ , $d=32$ .

Решаем б)

$11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$

$11\cdot \frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=0$

$\frac{ad(b+d)+bc(b+d)-11bd(a+c)}{bd(b+d)}=0$

Числитель дроби должен быть равен 0.

$-10abd-10bcd+ad^2+b^2c=0$

$ad(d-10b)=bc(10d-b)$

Число $b$ – двузначное, поэтому число $10b$ – трехзначное, в скобке в левой части поэтому – число отрицательное, в то время как в скобке справа – положительное. Поэтому ответ – нет.

Решаем в). Если $a>3b$ и $c>6d$ , то в области целых чисел это равносильно

$a\geqslant 3b+1$ и $c\geqslant 6d+1$ .

Тогда

$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3b+1+6d+1}{b+d}=\frac{3(b+d)+3d+2}{b+d}=3+\frac{3d+2}{b+d}$

Чтобы сумма принимала минимальное значение, нужно, чтобы второе слагаемое принимало бы минимальное значение. То есть необходимо, чтобы знаменатель был бы максимально большим. Порассуждаем: $a$ – двузначное число, значит, $a\leqslant 99$ , или $3b+1\leqslant 99$ . Следовательно, $b \leqslant 32$ .

$3+\frac{3d+2}{b+d}\geqslant \{b\leqslant 32\}\geqslant 3+\frac{3d+2}{d+32}$

Снова выделяем целую часть:

$3+\frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3(d+32)-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}$

Дробь $\frac{34}{d+32}$ должна быть максимальной – ведь мы ее вычитаем, поэтому знаменатель – минимальным.

Число $d$ – двузначное, поэтому $d\geqslant 10$ .

$6-\frac{94}{d+32}\geqslant \{d\geqslant 10\}\geqslant 6-\frac{94}{10+32}=\frac{79}{21}$

Если все знаки неравенств заменить на равенства, то дробь будет принимать требуемое значение при $d=10$ , $b=32$ , $a=3b+1=97$ , $c=6d+1=61$ .

Проверка

$\frac{97+61}{10+32}=\frac{158}{42}=\frac{79}{21}$

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{79}{21}$ .

Задача 3. Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть $S$ – модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найти наименьшее значение $S$ :

а) если дополнительно требуется, чтобы в контейнерах находилось одинаковое количество коробок;

б) без дополнительного условия а).

Решение. а)

Для пункта а)

Масса груза в первом контейнере

$M_1=19x+49\cdot(30-x)=1470-30x$

$M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(x-3)=480+30x$

$\mid M_1-M_2\mid=S(x)$

$S(x)=\mid1470-30x-480-30x\mid=\mid 990-60x\mid=30\mid 33-2x\mid$

То есть данная разность должна делиться на 30, при этом минимальное значение модуля – 1. При этом $S(x)=30$ , а $x=16$ или $x=17$ .

б)

Для пункта б)

$M_1=19x+49y$

$M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(27-y)=1950-19x-49y$

$S(x)=\mid M_1-M_2\mid= 2\mid 975-19x-49y\mid$

Минимальное значение модуля может быть равно 0. Тогда

$19x+49y=975$

По алгоритму Евклида

$x=\frac{975-49y}{19}=51-2y+\frac{6-11y}{19}$

Так как $x$ – целое, то дробь $\frac{6-11y}{19}$ – тоже целое.

Это значит, что существует $z$ , такое, что

$19z=6-11y$

$y=\frac{6-19z}{11}=\frac{6-8z}{11}-z$

Дробь $\frac{6-8z}{11}$ – тоже целое, значит, существует $t$ , такое, что

$11t=6-8z$

$z=\frac{6-3t}{8}-t$

Дробь $\frac{6-3t}{8}$ – тоже целое.

Это значит, что существует $q$ , такое, что

$8q=6-3t$

$3t=6-8q$

$t=2-\frac{8q}{3}$

$q$ должно делиться на 3: $q=3p$

«Разматываем» в обратную сторону:

$t=2-8p$

$z=\frac{6-22+88p}{8}=11p-2$

$y=\frac{6-19(11p-2)}{11}=4-19p$

$y\geqslant 0$

$4-19p\geqslant 0$

При $y=4$ $x=41$ , что больше количества ящиков по условию. Значит, $S_{min}>0$ . Но $S$ – четное, поэтому возьмем $S=2$ . Тогда

$975-19x-49y=1$

Или

$975-19x-49y=-1$

В этом случае

$976-49y=19x$

$x=51-2y-\frac{11y-7}{19}$

$11y-7$ может принимать значения $\{4; 15; 26; 37; 48; 59; 70; 81;92;103; 114\}$ . Изо всех перечисленных 114 делится на 19, при этом $y=11$ , $x=51-2\cdot11-6=23$ .

Ответ: а) 30; б) 2.

Учимся решать задачу 19. Часть 18.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы