Учимся решать задачу 19. Часть 18.

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восемнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.  Каково наименьшее количество учащихся в математическом кружке, если девочек в нем больше 40%, но менее 50 %?

Решение: пусть $d$ – количество девочек, а $x$ – число детей. Тогда по условию

$$\frac{4x}{10}<d<\frac{x}{2}$$

$$4x<10d<5x$$

При $x=2$ $8<10d<10$ – нет целых решений.

При $x=3$ $12<10d<15$ – нет целых решений.

При $x=4$ $16<10d<20$ – нет целых решений.

При $x=5$ $20<10d<25$ – нет целых решений.

При $x=6$ $24<10d<30$ – нет целых решений.

При $x=7$ $28<10d<35$ – есть решение: $d=3$.

Ответ: 7.

Задача 2. Известно, что $a, b, c$ и $d$ – попарно различные двузначные числа.

а) может ли выполняться равенство $\frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}$.

б) может ли дробь $\frac{a+c}{b+d}$ быть в 11 раз меньше, чем сумма $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a+c}{b+d}$, если $a>3b$ и $c>6d$?

Для решения а) запишем дробь $\frac{7}{19}$ иначе:

$$\frac{7}{19}=\frac{14}{38}=\frac{21}{57}=\frac{10+11}{25+32}$$

Тогда, например, $a=10$, $b=25$, $c=11$, $d=32$.

Решаем б)

$$11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$$

$$11\cdot \frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=0$$

$$\frac{ad(b+d)+bc(b+d)-11bd(a+c)}{bd(b+d)}=0$$

Числитель дроби должен быть равен 0.

$$-10abd-10bcd+ad^2+b^2c=0$$

$$ad(d-10b)=bc(10d-b)$$

Число $b$ – двузначное, поэтому число $10b$ – трехзначное, в скобке в левой части поэтому – число отрицательное, в то время как в скобке справа – положительное. Поэтому ответ – нет.

Решаем в). Если $a>3b$ и $c>6d$, то в области целых чисел это равносильно

$a\geqslant 3b+1$ и $c\geqslant 6d+1$.

Тогда

$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3b+1+6d+1}{b+d}=\frac{3(b+d)+3d+2}{b+d}=3+\frac{3d+2}{b+d}$$

Чтобы сумма принимала минимальное значение, нужно, чтобы второе слагаемое принимало бы минимальное значение. То есть необходимо, чтобы знаменатель был бы максимально большим. Порассуждаем: $a$ – двузначное число, значит, $a\leqslant 99$, или $3b+1\leqslant 99$. Следовательно, $b \leqslant 32$.

$$3+\frac{3d+2}{b+d}\geqslant \{b\leqslant 32\}\geqslant  3+\frac{3d+2}{d+32}$$

Снова выделяем целую часть:

$$3+\frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3(d+32)-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}$$

Дробь $\frac{34}{d+32}$ должна быть максимальной – ведь мы ее вычитаем, поэтому знаменатель – минимальным.

Число $d$ – двузначное, поэтому $d\geqslant 10$.

$$6-\frac{94}{d+32}\geqslant \{d\geqslant 10\}\geqslant  6-\frac{94}{10+32}=\frac{79}{21}$$

Если все знаки неравенств заменить на равенства, то дробь будет принимать требуемое значение при $d=10$, $b=32$, $a=3b+1=97$, $c=6d+1=61$.

Проверка

$$\frac{97+61}{10+32}=\frac{158}{42}=\frac{79}{21}$$

Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{79}{21}$.

Задача 3. Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть $S$ – модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найти наименьшее значение $S$:

а) если дополнительно требуется, чтобы в контейнерах находилось одинаковое количество коробок;

б) без дополнительного условия а).

Решение. а)

Для пункта а)

Масса груза в первом контейнере

$$M_1=19x+49\cdot(30-x)=1470-30x$$

$$M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(x-3)=480+30x$$

$$\mid M_1-M_2\mid=S(x)$$

$$S(x)=\mid1470-30x-480-30x\mid=\mid 990-60x\mid=30\mid 33-2x\mid$$

То есть данная разность должна делиться на 30, при этом минимальное значение модуля – 1. При этом $S(x)=30$, а $x=16$ или $x=17$.

б)

Для пункта б)

$$M_1=19x+49y$$

$$M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(27-y)=1950-19x-49y$$

$$ S(x)=\mid M_1-M_2\mid= 2\mid 975-19x-49y\mid$$

Минимальное значение модуля может быть равно 0. Тогда

$$19x+49y=975$$

По алгоритму Евклида

$$x=\frac{975-49y}{19}=51-2y+\frac{6-11y}{19}$$

Так как $x$ – целое, то дробь $\frac{6-11y}{19}$ – тоже целое.

Это значит, что существует $z$, такое, что

$$19z=6-11y$$

$$y=\frac{6-19z}{11}=\frac{6-8z}{11}-z$$

Дробь $\frac{6-8z}{11}$ – тоже целое, значит, существует $t$, такое, что

$$11t=6-8z$$

$$z=\frac{6-3t}{8}-t$$

Дробь $\frac{6-3t}{8}$ – тоже целое.

Это значит, что существует $q$, такое, что

$$8q=6-3t$$

$$3t=6-8q$$

$$t=2-\frac{8q}{3}$$

$q$ должно делиться на 3: $q=3p$

«Разматываем» в обратную сторону:

$$t=2-8p$$

$$z=\frac{6-22+88p}{8}=11p-2$$

$$y=\frac{6-19(11p-2)}{11}=4-19p$$

$$y\geqslant 0$$

$$4-19p\geqslant 0$$

При $y=4$ $x=41$, что больше количества ящиков по условию. Значит, $S_{min}>0$. Но $S$ – четное, поэтому возьмем $S=2$. Тогда

$$975-19x-49y=1$$

Или

$$975-19x-49y=-1$$

В этом случае

$$976-49y=19x$$

$$x=51-2y-\frac{11y-7}{19}$$

$11y-7$ может принимать значения $\{4; 15; 26; 37; 48; 59; 70; 81;92;103; 114\}$. Изо всех перечисленных 114 делится на 19, при этом $y=11$, $x=51-2\cdot11-6=23$.

Ответ: а) 30;   б) 2.