[latexpage]
Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восемнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Каково наименьшее количество учащихся в математическом кружке, если девочек в нем больше 40%, но менее 50 %?
Решение: пусть $d$ – количество девочек, а $x$ – число детей. Тогда по условию
$$\frac{4x}{10}<d<\frac{x}{2}$$
$$4x<10d<5x$$
При $x=2$ $8<10d<10$ – нет целых решений.
При $x=3$ $12<10d<15$ – нет целых решений.
При $x=4$ $16<10d<20$ – нет целых решений.
При $x=5$ $20<10d<25$ – нет целых решений.
При $x=6$ $24<10d<30$ – нет целых решений.
При $x=7$ $28<10d<35$ – есть решение: $d=3$.
Ответ: 7.
Задача 2. Известно, что $a, b, c$ и $d$ – попарно различные двузначные числа.
а) может ли выполняться равенство $\frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}$.
б) может ли дробь $\frac{a+c}{b+d}$ быть в 11 раз меньше, чем сумма $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь $\frac{a+c}{b+d}$, если $a>3b$ и $c>6d$?
Для решения а) запишем дробь $\frac{7}{19}$ иначе:
$$\frac{7}{19}=\frac{14}{38}=\frac{21}{57}=\frac{10+11}{25+32}$$
Тогда, например, $a=10$, $b=25$, $c=11$, $d=32$.
Решаем б)
$$11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}$$
$$11\cdot \frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=0$$
$$\frac{ad(b+d)+bc(b+d)-11bd(a+c)}{bd(b+d)}=0$$
Числитель дроби должен быть равен 0.
$$-10abd-10bcd+ad^2+b^2c=0$$
$$ad(d-10b)=bc(10d-b)$$
Число $b$ – двузначное, поэтому число $10b$ – трехзначное, в скобке в левой части поэтому – число отрицательное, в то время как в скобке справа – положительное. Поэтому ответ – нет.
Решаем в). Если $a>3b$ и $c>6d$, то в области целых чисел это равносильно
$a\geqslant 3b+1$ и $c\geqslant 6d+1$.
Тогда
$$\frac{a+c}{b+d}=\frac{3b+1+6d+1}{b+d}=\frac{3(b+d)+3d+2}{b+d}=3+\frac{3d+2}{b+d}$$
Чтобы сумма принимала минимальное значение, нужно, чтобы второе слагаемое принимало бы минимальное значение. То есть необходимо, чтобы знаменатель был бы максимально большим. Порассуждаем: $a$ – двузначное число, значит, $a\leqslant 99$, или $3b+1\leqslant 99$. Следовательно, $b \leqslant 32$.
$$3+\frac{3d+2}{b+d}\geqslant \{b\leqslant 32\}\geqslant 3+\frac{3d+2}{d+32}$$
Снова выделяем целую часть:
$$3+\frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3(d+32)-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}$$
Дробь $\frac{34}{d+32}$ должна быть максимальной – ведь мы ее вычитаем, поэтому знаменатель – минимальным.
Число $d$ – двузначное, поэтому $d\geqslant 10$.
$$6-\frac{94}{d+32}\geqslant \{d\geqslant 10\}\geqslant 6-\frac{94}{10+32}=\frac{79}{21}$$
Если все знаки неравенств заменить на равенства, то дробь будет принимать требуемое значение при $d=10$, $b=32$, $a=3b+1=97$, $c=6d+1=61$.
Проверка
$$\frac{97+61}{10+32}=\frac{158}{42}=\frac{79}{21}$$
Ответ: а) да; б) нет; в) $\frac{79}{21}$.
Задача 3. Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть $S$ – модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найти наименьшее значение $S$:
а) если дополнительно требуется, чтобы в контейнерах находилось одинаковое количество коробок;
б) без дополнительного условия а).
Решение. а)

Для пункта а)
Масса груза в первом контейнере
$$M_1=19x+49\cdot(30-x)=1470-30x$$
$$M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(x-3)=480+30x$$
$$\mid M_1-M_2\mid=S(x)$$
$$S(x)=\mid1470-30x-480-30x\mid=\mid 990-60x\mid=30\mid 33-2x\mid$$
То есть данная разность должна делиться на 30, при этом минимальное значение модуля – 1. При этом $S(x)=30$, а $x=16$ или $x=17$.
б)

Для пункта б)
$$M_1=19x+49y$$
$$M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(27-y)=1950-19x-49y$$
$$ S(x)=\mid M_1-M_2\mid= 2\mid 975-19x-49y\mid$$
Минимальное значение модуля может быть равно 0. Тогда
$$19x+49y=975$$
По алгоритму Евклида
$$x=\frac{975-49y}{19}=51-2y+\frac{6-11y}{19}$$
Так как $x$ – целое, то дробь $\frac{6-11y}{19}$ – тоже целое.
Это значит, что существует $z$, такое, что
$$19z=6-11y$$
$$y=\frac{6-19z}{11}=\frac{6-8z}{11}-z$$
Дробь $\frac{6-8z}{11}$ – тоже целое, значит, существует $t$, такое, что
$$11t=6-8z$$
$$z=\frac{6-3t}{8}-t$$
Дробь $\frac{6-3t}{8}$ – тоже целое.
Это значит, что существует $q$, такое, что
$$8q=6-3t$$
$$3t=6-8q$$
$$t=2-\frac{8q}{3}$$
$q$ должно делиться на 3: $q=3p$
«Разматываем» в обратную сторону:
$$t=2-8p$$
$$z=\frac{6-22+88p}{8}=11p-2$$
$$y=\frac{6-19(11p-2)}{11}=4-19p$$
$$y\geqslant 0$$
$$4-19p\geqslant 0$$
При $y=4$ $x=41$, что больше количества ящиков по условию. Значит, $S_{min}>0$. Но $S$ – четное, поэтому возьмем $S=2$. Тогда
$$975-19x-49y=1$$
Или
$$975-19x-49y=-1$$
В этом случае
$$976-49y=19x$$
$$x=51-2y-\frac{11y-7}{19}$$
$11y-7$ может принимать значения $\{4; 15; 26; 37; 48; 59; 70; 81;92;103; 114\}$. Изо всех перечисленных 114 делится на 19, при этом $y=11$, $x=51-2\cdot11-6=23$.
Ответ: а) 30; б) 2.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...