Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восемнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Каково наименьшее количество учащихся в математическом кружке, если девочек в нем больше 40%, но менее 50 %?
Решение: пусть – количество девочек, а
– число детей. Тогда по условию
При
– нет целых решений.
При
– нет целых решений.
При
– нет целых решений.
При
– нет целых решений.
При
– нет целых решений.
При
– есть решение:
.
Ответ: 7.
Задача 2. Известно, что и
– попарно различные двузначные числа.
а) может ли выполняться равенство .
б) может ли дробь быть в 11 раз меньше, чем сумма
?
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь , если
и
?
Для решения а) запишем дробь иначе:
Тогда, например, ,
,
,
.
Решаем б)
Числитель дроби должен быть равен 0.
Число – двузначное, поэтому число
– трехзначное, в скобке в левой части поэтому – число отрицательное, в то время как в скобке справа – положительное. Поэтому ответ – нет.
Решаем в). Если и
, то в области целых чисел это равносильно
и
.
Тогда
Чтобы сумма принимала минимальное значение, нужно, чтобы второе слагаемое принимало бы минимальное значение. То есть необходимо, чтобы знаменатель был бы максимально большим. Порассуждаем: – двузначное число, значит,
, или
. Следовательно,
.
Снова выделяем целую часть:
Дробь должна быть максимальной – ведь мы ее вычитаем, поэтому знаменатель – минимальным.
Число – двузначное, поэтому
.
Если все знаки неравенств заменить на равенства, то дробь будет принимать требуемое значение при ,
,
,
.
Проверка
Ответ: а) да; б) нет; в) .
Задача 3. Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть – модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найти наименьшее значение
:
а) если дополнительно требуется, чтобы в контейнерах находилось одинаковое количество коробок;
б) без дополнительного условия а).
Решение. а)

Для пункта а)
Масса груза в первом контейнере
То есть данная разность должна делиться на 30, при этом минимальное значение модуля – 1. При этом , а
или
.
б)

Для пункта б)
Минимальное значение модуля может быть равно 0. Тогда
По алгоритму Евклида
Так как – целое, то дробь
– тоже целое.
Это значит, что существует , такое, что
Дробь – тоже целое, значит, существует
, такое, что
Дробь – тоже целое.
Это значит, что существует , такое, что
должно делиться на 3:
«Разматываем» в обратную сторону:
При
, что больше количества ящиков по условию. Значит,
. Но
– четное, поэтому возьмем
. Тогда
Или
В этом случае
может принимать значения
. Изо всех перечисленных 114 делится на 19, при этом
,
.
Ответ: а) 30; б) 2.
[latexpage] $$\upsilon_0\sin \alpha-gt=0$$ $$t=\frac{\upsilon_0\sin \alpha}{g}$$ $$h=\upsilon_0\sin \alpha...
А откуда берутся формула в 24...
Да,...
в задаче 6 при взятии интеграла от напряжения явно забыта константа перед...
Спасибо...