Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 18.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – восемнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с неравенствами. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1.  Каково наименьшее количество учащихся в математическом кружке, если девочек в нем больше 40%, но менее 50 %?

Решение: пусть d – количество девочек, а x – число детей. Тогда по условию

    \[\frac{4x}{10}<d<\frac{x}{2}\]

    \[4x<10d<5x\]

При x=2 8<10d<10 – нет целых решений.

При x=3 12<10d<15 – нет целых решений.

При x=4 16<10d<20 – нет целых решений.

При x=5 20<10d<25 – нет целых решений.

При x=6 24<10d<30 – нет целых решений.

При x=7 28<10d<35 – есть решение: d=3.

Ответ: 7.

Задача 2. Известно, что a, b, c и d – попарно различные двузначные числа.

а) может ли выполняться равенство \frac{a+c}{b+d}=\frac{7}{19}.

б) может ли дробь \frac{a+c}{b+d} быть в 11 раз меньше, чем сумма \frac{a}{b}+\frac{c}{d}?

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь \frac{a+c}{b+d}, если a>3b и c>6d?

Для решения а) запишем дробь \frac{7}{19} иначе:

    \[\frac{7}{19}=\frac{14}{38}=\frac{21}{57}=\frac{10+11}{25+32}\]

Тогда, например, a=10, b=25, c=11, d=32.

Решаем б)

    \[11\cdot \frac{a+c}{b+d}=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\]

    \[11\cdot \frac{a+c}{b+d}-\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=0\]

    \[\frac{ad(b+d)+bc(b+d)-11bd(a+c)}{bd(b+d)}=0\]

Числитель дроби должен быть равен 0.

    \[-10abd-10bcd+ad^2+b^2c=0\]

    \[ad(d-10b)=bc(10d-b)\]

Число b – двузначное, поэтому число 10b – трехзначное, в скобке в левой части поэтому – число отрицательное, в то время как в скобке справа – положительное. Поэтому ответ – нет.

Решаем в). Если a>3b и c>6d, то в области целых чисел это равносильно

a\geqslant 3b+1 и c\geqslant 6d+1.

Тогда

    \[\frac{a+c}{b+d}=\frac{3b+1+6d+1}{b+d}=\frac{3(b+d)+3d+2}{b+d}=3+\frac{3d+2}{b+d}\]

Чтобы сумма принимала минимальное значение, нужно, чтобы второе слагаемое принимало бы минимальное значение. То есть необходимо, чтобы знаменатель был бы максимально большим. Порассуждаем: a – двузначное число, значит, a\leqslant 99, или 3b+1\leqslant 99. Следовательно, b \leqslant 32.

    \[3+\frac{3d+2}{b+d}\geqslant \{b\leqslant 32\}\geqslant  3+\frac{3d+2}{d+32}\]

Снова выделяем целую часть:

    \[3+\frac{3d+2}{d+32}=3+\frac{3(d+32)-94}{d+32}=6-\frac{94}{d+32}\]

Дробь \frac{34}{d+32} должна быть максимальной – ведь мы ее вычитаем, поэтому знаменатель – минимальным.

Число d – двузначное, поэтому d\geqslant 10.

    \[6-\frac{94}{d+32}\geqslant \{d\geqslant 10\}\geqslant  6-\frac{94}{10+32}=\frac{79}{21}\]

Если все знаки неравенств заменить на равенства, то дробь будет принимать требуемое значение при d=10, b=32, a=3b+1=97, c=6d+1=61.

Проверка

    \[\frac{97+61}{10+32}=\frac{158}{42}=\frac{79}{21}\]

Ответ: а) да; б) нет; в) \frac{79}{21}.

Задача 3. Имеется 33 коробки массой 19 кг каждая и 27 коробок массой 49 кг каждая. Все эти коробки раскладываются по двум контейнерам. Пусть S – модуль разности суммарных масс коробок в контейнерах. Найти наименьшее значение S:

а) если дополнительно требуется, чтобы в контейнерах находилось одинаковое количество коробок;

б) без дополнительного условия а).

Решение. а)

Для пункта а)

Масса груза в первом контейнере

    \[M_1=19x+49\cdot(30-x)=1470-30x\]

    \[M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(x-3)=480+30x\]

    \[\mid M_1-M_2\mid=S(x)\]

    \[S(x)=\mid1470-30x-480-30x\mid=\mid 990-60x\mid=30\mid 33-2x\mid\]

То есть данная разность должна делиться на 30, при этом минимальное значение модуля – 1. При этом S(x)=30, а x=16 или x=17.

б)

Для пункта б)

    \[M_1=19x+49y\]

    \[M_2=19\cdot(33-x)+49\cdot(27-y)=1950-19x-49y\]

    \[S(x)=\mid M_1-M_2\mid= 2\mid 975-19x-49y\mid\]

Минимальное значение модуля может быть равно 0. Тогда

    \[19x+49y=975\]

По алгоритму Евклида

    \[x=\frac{975-49y}{19}=51-2y+\frac{6-11y}{19}\]

Так как x – целое, то дробь \frac{6-11y}{19} – тоже целое.

Это значит, что существует z, такое, что

    \[19z=6-11y\]

    \[y=\frac{6-19z}{11}=\frac{6-8z}{11}-z\]

Дробь \frac{6-8z}{11} – тоже целое, значит, существует t, такое, что

    \[11t=6-8z\]

    \[z=\frac{6-3t}{8}-t\]

Дробь \frac{6-3t}{8} – тоже целое.

Это значит, что существует q, такое, что

    \[8q=6-3t\]

    \[3t=6-8q\]

    \[t=2-\frac{8q}{3}\]

q должно делиться на 3: q=3p

«Разматываем» в обратную сторону:

    \[t=2-8p\]

    \[z=\frac{6-22+88p}{8}=11p-2\]

    \[y=\frac{6-19(11p-2)}{11}=4-19p\]

    \[y\geqslant 0\]

    \[4-19p\geqslant 0\]

При y=4 x=41, что больше количества ящиков по условию. Значит, S_{min}>0. Но S – четное, поэтому возьмем S=2. Тогда

    \[975-19x-49y=1\]

Или

    \[975-19x-49y=-1\]

В этом случае

    \[976-49y=19x\]

    \[x=51-2y-\frac{11y-7}{19}\]

11y-7 может принимать значения \{4; 15; 26; 37; 48; 59; 70; 81;92;103; 114\}. Изо всех перечисленных 114 делится на 19, при этом y=11, x=51-2\cdot11-6=23.

Ответ: а) 30;   б) 2.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *