Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 17.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – семнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Целые числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию, а числа 5x+3, y^2 и 3z+5 – арифметическую прогрессию (в указанном порядке). Найдите x, y и z.

Решение. По свойству геометрической прогрессии

    \[xz=y^2\]

А по свойству арифметической

    \[2y^2=5x+3+3z+5\]

Тогда

    \[2xz-5x-3z-8=0\]

    \[x(2z-5)-\frac{3}{2}(2z-5)-\frac{15}{2}-8=0\]

    \[(x-\frac{3}{2})(2z-5)=\frac{31}{2}\]

    \[(2x-3)(2z-5)=31\]

Так как в условии задачи про числа не сказано, что они натуральные, то множители могут принимать значения -31 и -1, -1 и -31, 1 и 31, 31 и 1. Тогда пара (x; z) принимает значения (-14; 2), (1; 13), (2; 18), (17;3). Свойству геометрической прогрессии удовлетворяет пара (2; 18). Тогда y=\pm 6.

Ответ: (2; 6; 18), (2; -6; 18).

 

Задача 2. Числа 128 и 250 являются членами геометрической прогрессии. Найдите все натуральные числа, которые могут встретиться в этой прогрессии.

Решение. Если q – знаменатель прогрессии, то

    \[250=128\cdot q^m\]

    \[q^m=\frac{250}{128}=\frac{125}{64}=\left(\frac{5}{4}\right)^3\]

Таким образом, знаменателем прогрессии может быть как q_1=\left(\frac{5}{4}\right)^3, так и q_2=\frac{5}{4}.  Если составить прогрессию со знаменателем q_1, то все ее члены будут членами прогрессии со знаменателем q_2. Тогда

    \[128\cdot\frac{5}{4}=160\]

    \[160\cdot\frac{5}{4}=200\]

    \[200\cdot\frac{5}{4}=250\]

250\cdot\frac{5}{4} – не целое, 128\div \frac{5}{4} – не целое. Понятно, что кроме перечисленных, натуральных чисел больше не будет, потому что ни 250 не делится на 4, ни 128 – на 5.

Ответ: 128, 160, 200, 250.

 

Задача 3. Пусть \{a_n\} – арифметическая прогрессия, a_1=1. Известно, что сумма S_{2002} – наибольшая из всех сумм S_n. Какие значения может принимать разность прогрессии?

Так как

    \[S_{2002}> S_{2001}\]

    \[a_{2002}>0\]

Так как

    \[S_{2002}> S_{2003}\]

    \[a_{2003}<0\]

Значит, a_{2002} – последний положительный член.

    \[a_{2002}=a_1+2001d=1+2001d>0\]

    \[d>-\frac{1}{2001}\]

    \[a_{2003}=a_1+2002d=1+2002d<0\]

    \[d<-\frac{1}{2002}\]

Следовательно,

    \[-\frac{1}{2001}<d<-\frac{1}{2002}\]

 

Задача 4. Последовательность a_1, a_2, \ldots a_n, n\geqslant 3, состоит из натуральных чисел, причем каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) приведите пример такой последовательности, состоящей из четырех членов, сумма которых равна 50.

б) может ли такая последовательность состоять из 6 членов и содержать два одинаковых числа?

в) какое наименьшее значение может принимать сумма всех членов такой последовательности при n=10?

Решение.

    \[a_1+a_2+a_3+a_4=50\]

Пример: 1, 24, 24, 1.  Или 2, 23, 24, 1.

Для пункта б) запишем последовательность 1, 13, 15, 15, 13, 1. Тут не два одинаковых, как требуется по условию,  но можно поменять первые два члена прогрессии: 2, 12, 15, 15, 13, 1.

Пункт в)

    \[a_n>\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}\]

    \[2a_n> a_{n+1}+a_{n-1}\]

Запишем иначе:

    \[a_{n+1}-a_n<a_n- a_{n-1}\]

Тогда

    \[d_1=a_2-a_1\]

    \[d_2=a_3-a_2\]

    \[\ldots\]

    \[d_9=a_{10}-a_9\]

    \[d_1>d_2>d_3\ldots >d_9\]

Если (в области целых чисел) a<b, то a\leqslant b-1.

Значит,

    \[d_2\leqslant d_1-1\]

    \[d_3\leqslant d_1-2\]

    \[d_4\leqslant d_1-3\]

    \[\ldots\]

    \[d_9\leqslant d_1-8\]

Тогда

    \[a_2=a_1+d_1\]

    \[a_3=a_2+d_2\leqslant a_1+2d_1-1\]

    \[a_4=a_3+d_3\leqslant a_1+3d_1-4\]

    \[a_5=a_4+d_4\leqslant a_1+4d_1-6\]

    \[a_6 \leqslant a_1+5d_1-10\]

    \[a_7 \leqslant a_1+6d_1-15\]

    \[a_8 \leqslant a_1+7d_1-21\]

    \[a_9 \leqslant a_1+8d_1-28\]

    \[a_{10} \leqslant a_1+9d_1-36\]

Самое жесткое ограничение – на последний, 10-й, член.

    \[1 \leqslant a_{10} \leqslant a_1+9d_1-36\]

    \[a_1\geqslant 1\]

    \[d_1\geqslant 4\]

Тогда

    \[a_1+\ldots+a_{10}\leqslant 10a_1+45d_1-120\]

    \[a_1+\ldots+a_{10}\leqslant 10\cdot 1+45\cdot 4-120=70\]

Если a_1=1; d_1=4. Пример: \{1; 5; 8; 10; 11; 11; 10; 8; 5; 1\}.

Ответ: а) 1, 24, 24, 1; б) да;  в) 70

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *