Учимся решать задачу 19. Часть 16.

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – шестнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Последние члены двух конечных арифметических прогрессий $a_1=5, a_2=8, \ldots a_N$ и $b_1=3, b_2=10, \ldots b_M$ совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 1590. Найдите число членов в каждой прогрессии.

Первую прогрессию (ее $n$-ный член) можно записать как

$$a_n=2+3n$$

А вторую –

$$b_k=7k-4$$

Приравняем, раз последние совпадают:

$$2+3n=7k-4$$

$$7k-3n=6$$

Найдем частное решение, например, $k_0=3$, $n_0=5$. Тогда

$$k=k_0+\Delta k=3+\Delta k $$

$$n=n_0+\Delta n=5+\Delta n $$

$$7\Delta k=3\Delta n$$

$$\Delta k=3t$$

$$\Delta n=7t$$

$$t \geqslant 1$$

Если подставить в формулу $n$ – ного члена полученное, то получится, что совпадающие члены образуют прогрессию $\{c_i\}$,

$$c_t=21t-4$$

Сумма членов этой прогрессии равна 1590.

$$\frac{c_1+c_t}{2}\cdot t=1590$$

$$21t^2+13t-3180=0$$

$$D=517^2$$

$$t=\frac{-13+517}{42}=12$$

Последний член – общий для обеих прогрессий.

$$c_{12}=21\cdot12-4=248$$

Определяем количество членов первой прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):

$$2+3n=248$$

$$n=82$$

Определяем количество членов второй прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):

$$7k-4=248$$

$$k=36$$

Ответ: 82, 36.

Задача 2. Известно, что все члены арифметической прогрессии $\{a_n\}$ являются различными натуральными числами, и что ее второй член в 8 раз больше первого.

а) Может ли один из членов данной прогрессии быть больше другого в 567 раз?

б) найдите наименьшее возможное отношение двух членов данной прогрессии, отличное от $a_1$, если известно, что это отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.

в) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.

Пусть $a_1=a$, $a_2=8a$. Тогда разность прогрессии равна $d=a_2-a_1=7a$.

Следовательно,

$$a_n=a_1+d(n-1)=a+7a(n-1)=7an-6a$$

$$a_k= =7ak-6a$$

Тогда

$$\frac{7an-6a }{7ak-6a }=\frac{7k-6+7n-7k}{7k-6}=1+\frac{7(n-k)}{7k-6}$$

$$1+\frac{7(n-k)}{7k-6}=567$$

$$\frac{7(n-k)}{7k-6}=566$$

$$\frac{(n-k)}{7k-6}=\frac{566}{7}$$

Левая часть – целое, а правая – нет. Значит, ответ на а) – нет.

Ни при каких $k$ знаменатель на 7 не делится. Значит, $n-k$ должно делиться на $7k-6$. Значит, $n-k\geqslant 7k-6$.

$$n\geqslant 8k-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Минимум дроби $\frac{7(n-k)}{7k-6}$ – единица.

То есть

$$1+\frac{7(n-k)}{7k-6}\geqslant 1+7=8$$

Неравенство (1) станет равенством, если $n=8k-6$. При $k=2$ $n=10$.

$$a_{10}=a+9\cdot 7a=64a$$

$$a_2=8a$$

Ответ на б) – 8.

Решаем в)

$$a_n=a(7n-6)=546$$

Значит, $7n-6$ – делитель 546. Делителями этого числа являются $1; 2; 3; 6; 7; 13; 14; 21; 26; 39; 42; 78; 91; 182; 273; 546$. Только два числа представимы в виде $7n-6$ – это 78 и 1. При этом $n=1; n=12$.

Если $n=1$, то $a_1=546$, $a_3=a_1+14a=15a=8190$.

Если $n=12$, то $a_{12}=546$, $a_{12}=a_1+11\cdot 7a=78a=546$.

$$a_3=15a=105$$

Ответ: а) нет;  б) 8; в) 105 и 8190.

Задача 3. В арифметической прогрессии первый член отрицательный и равен -376, разность равна 16. Сумма абсолютных величин (модулей) первых $n$ членов данной прогрессии равна 5408. Найдите $n$.

Разделим все члены на отрицательные и положительные и посчитаем суммы. Пусть $S_{+}$ – сумма положительных членов, $S_{-}$ – сумма отрицательных. Тогда

$$5408= S_{+}+\mid S_{-}\mid$$

Если $a_n\leqslant 0$, то

$$a_n=-376+16(n-1)=16n-392\leqslant 0$$

$$n\leqslant 24$$

$$a_{24}=-392+16\cdot23=-8$$

$$ S_{-}=\frac{-376-8}{2}\cdot 24=-4608$$

Тогда $ S_{+}=800$.

Первый положительный член – $-8+16=8$

$$ S_{+}=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}k=\frac{16+16k-16}{2}\cdot k=800$$

$$k=10$$

В прогрессии, таким образом, 24 отрицательных члена и 10 отрицательных, всего 34 члена.

Ответ: 34.

Задача 4. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма $n$ членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что $n$ – тоже степень двойки.

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=2^{k-1}$$

$$2a_1+d(n-1)=\frac{2^k}{n}$$

То есть $n$ – делитель некоторой степени двойки, а значит, $n$ – тоже некоторая степень двойки.