Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – шестнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Последние члены двух конечных арифметических прогрессий и
совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 1590. Найдите число членов в каждой прогрессии.
Первую прогрессию (ее -ный член) можно записать как
А вторую –
Приравняем, раз последние совпадают:
Найдем частное решение, например, ,
. Тогда
Если подставить в формулу – ного члена полученное, то получится, что совпадающие члены образуют прогрессию
,
Сумма членов этой прогрессии равна 1590.
Последний член – общий для обеих прогрессий.
Определяем количество членов первой прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):
Определяем количество членов второй прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):
Ответ: 82, 36.
Задача 2. Известно, что все члены арифметической прогрессии являются различными натуральными числами, и что ее второй член в 8 раз больше первого.
а) Может ли один из членов данной прогрессии быть больше другого в 567 раз?
б) найдите наименьшее возможное отношение двух членов данной прогрессии, отличное от , если известно, что это отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.
в) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.
Пусть ,
. Тогда разность прогрессии равна
.
Следовательно,
Тогда
Левая часть – целое, а правая – нет. Значит, ответ на а) – нет.
Ни при каких знаменатель на 7 не делится. Значит,
должно делиться на
. Значит,
.
Минимум дроби – единица.
То есть
Неравенство (1) станет равенством, если . При
.
Ответ на б) – 8.
Решаем в)
Значит, – делитель 546. Делителями этого числа являются
. Только два числа представимы в виде
– это 78 и 1. При этом
.
Если , то
,
.
Если , то
,
.
Ответ: а) нет; б) 8; в) 105 и 8190.
Задача 3. В арифметической прогрессии первый член отрицательный и равен -376, разность равна 16. Сумма абсолютных величин (модулей) первых членов данной прогрессии равна 5408. Найдите
.
Разделим все члены на отрицательные и положительные и посчитаем суммы. Пусть – сумма положительных членов,
– сумма отрицательных. Тогда
Если , то
Тогда .
Первый положительный член –
В прогрессии, таким образом, 24 отрицательных члена и 10 отрицательных, всего 34 члена.
Ответ: 34.
Задача 4. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что
– тоже степень двойки.
То есть – делитель некоторой степени двойки, а значит,
– тоже некоторая степень двойки.
Задачу 2 хорошо через мгновенную ось вращения...
Картинку необходимо заменить: пуля летит сверху вниз. Тогда решение сомнений не...
Какой же это подгон? ОЧень красивое решение. Теорема о трех непараллельных силах,...
За такое решение ученик получит 1 бал вместо...
Тогда это "подгон" под...