Учимся решать задачу 19. Часть 16.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – шестнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Последние члены двух конечных арифметических прогрессий $a_1=5, a_2=8, \ldots a_N$ и $b_1=3, b_2=10, \ldots b_M$ совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 1590. Найдите число членов в каждой прогрессии.

Первую прогрессию (ее $n$ -ный член) можно записать как

$a_n=2+3n$

А вторую –

$b_k=7k-4$

Приравняем, раз последние совпадают:

$2+3n=7k-4$

$7k-3n=6$

Найдем частное решение, например, $k_0=3$ , $n_0=5$ . Тогда

$k=k_0+\Delta k=3+\Delta k$

$n=n_0+\Delta n=5+\Delta n$

$7\Delta k=3\Delta n$

$\Delta k=3t$

$\Delta n=7t$

$t \geqslant 1$

Если подставить в формулу $n$ – ного члена полученное, то получится, что совпадающие члены образуют прогрессию $\{c_i\}$ ,

$c_t=21t-4$

Сумма членов этой прогрессии равна 1590.

$\frac{c_1+c_t}{2}\cdot t=1590$

$21t^2+13t-3180=0$

$D=517^2$

$t=\frac{-13+517}{42}=12$

Последний член – общий для обеих прогрессий.

$c_{12}=21\cdot12-4=248$

Определяем количество членов первой прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):

$2+3n=248$

$n=82$

Определяем количество членов второй прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):

$7k-4=248$

$k=36$

Ответ: 82, 36.

Задача 2. Известно, что все члены арифметической прогрессии $\{a_n\}$ являются различными натуральными числами, и что ее второй член в 8 раз больше первого.

а) Может ли один из членов данной прогрессии быть больше другого в 567 раз?

б) найдите наименьшее возможное отношение двух членов данной прогрессии, отличное от $a_1$ , если известно, что это отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.

в) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.

Пусть $a_1=a$ , $a_2=8a$ . Тогда разность прогрессии равна $d=a_2-a_1=7a$ .

Следовательно,

$a_n=a_1+d(n-1)=a+7a(n-1)=7an-6a$

$a_k= =7ak-6a$

Тогда

$\frac{7an-6a }{7ak-6a }=\frac{7k-6+7n-7k}{7k-6}=1+\frac{7(n-k)}{7k-6}$

$1+\frac{7(n-k)}{7k-6}=567$

$\frac{7(n-k)}{7k-6}=566$

$\frac{(n-k)}{7k-6}=\frac{566}{7}$

Левая часть – целое, а правая – нет. Значит, ответ на а) – нет.

Ни при каких $k$ знаменатель на 7 не делится. Значит, $n-k$ должно делиться на $7k-6$ . Значит, $n-k\geqslant 7k-6$ .

$n\geqslant 8k-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$

Минимум дроби $\frac{7(n-k)}{7k-6}$ – единица.

То есть

$1+\frac{7(n-k)}{7k-6}\geqslant 1+7=8$

Неравенство (1) станет равенством, если $n=8k-6$ . При $k=2$ $n=10$ .

$a_{10}=a+9\cdot 7a=64a$

$a_2=8a$

Ответ на б) – 8.

Решаем в)

$a_n=a(7n-6)=546$

Значит, $7n-6$ – делитель 546. Делителями этого числа являются $1; 2; 3; 6; 7; 13; 14; 21; 26; 39; 42; 78; 91; 182; 273; 546$ . Только два числа представимы в виде $7n-6$ – это 78 и 1. При этом $n=1; n=12$ .

Если $n=1$ , то $a_1=546$ , $a_3=a_1+14a=15a=8190$ .

Если $n=12$ , то $a_{12}=546$ , $a_{12}=a_1+11\cdot 7a=78a=546$ .

$a_3=15a=105$

Ответ: а) нет; б) 8; в) 105 и 8190.

Задача 3. В арифметической прогрессии первый член отрицательный и равен -376, разность равна 16. Сумма абсолютных величин (модулей) первых $n$ членов данной прогрессии равна 5408. Найдите $n$ .

Разделим все члены на отрицательные и положительные и посчитаем суммы. Пусть $S_{+}$ – сумма положительных членов, $S_{-}$ – сумма отрицательных. Тогда

$5408= S_{+}+\mid S_{-}\mid$

Если $a_n\leqslant 0$ , то

$a_n=-376+16(n-1)=16n-392\leqslant 0$

$n\leqslant 24$

$a_{24}=-392+16\cdot23=-8$

$S_{-}=\frac{-376-8}{2}\cdot 24=-4608$

Тогда $S_{+}=800$ .

Первый положительный член – $-8+16=8$

$S_{+}=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}k=\frac{16+16k-16}{2}\cdot k=800$

$k=10$

В прогрессии, таким образом, 24 отрицательных члена и 10 отрицательных, всего 34 члена.

Ответ: 34.

Задача 4. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма $n$ членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что $n$ – тоже степень двойки.

$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=2^{k-1}$

$2a_1+d(n-1)=\frac{2^k}{n}$

То есть $n$ – делитель некоторой степени двойки, а значит, $n$ – тоже некоторая степень двойки.

Учимся решать задачу 19. Часть 16.

Для вас другие записи этой рубрики:

Добавить комментарий Отменить ответ

Поиск

ПОСЛЕДНИЕ КОММЕНТАРИИ

Рекомендую

Рубрики

Профи.ру

Лучший хостинг в мире!

Последние записи

Облако меток

Подписка

Введите Ваши данные:

Архивы