Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 16.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – шестнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Последние члены двух конечных арифметических прогрессий a_1=5, a_2=8, \ldots a_N и b_1=3, b_2=10, \ldots b_M совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 1590. Найдите число членов в каждой прогрессии.

Первую прогрессию (ее n-ный член) можно записать как

    \[a_n=2+3n\]

А вторую –

    \[b_k=7k-4\]

Приравняем, раз последние совпадают:

    \[2+3n=7k-4\]

    \[7k-3n=6\]

Найдем частное решение, например, k_0=3, n_0=5. Тогда

    \[k=k_0+\Delta k=3+\Delta k\]

    \[n=n_0+\Delta n=5+\Delta n\]

    \[7\Delta k=3\Delta n\]

    \[\Delta k=3t\]

    \[\Delta n=7t\]

    \[t \geqslant 1\]

Если подставить в формулу n – ного члена полученное, то получится, что совпадающие члены образуют прогрессию \{c_i\},

    \[c_t=21t-4\]

Сумма членов этой прогрессии равна 1590.

    \[\frac{c_1+c_t}{2}\cdot t=1590\]

    \[21t^2+13t-3180=0\]

    \[D=517^2\]

    \[t=\frac{-13+517}{42}=12\]

Последний член – общий для обеих прогрессий.

    \[c_{12}=21\cdot12-4=248\]

Определяем количество членов первой прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):

    \[2+3n=248\]

    \[n=82\]

Определяем количество членов второй прогрессии (то есть номер, под которым в ней присутствует число 248):

    \[7k-4=248\]

    \[k=36\]

Ответ: 82, 36.

Задача 2. Известно, что все члены арифметической прогрессии \{a_n\} являются различными натуральными числами, и что ее второй член в 8 раз больше первого.

а) Может ли один из членов данной прогрессии быть больше другого в 567 раз?

б) найдите наименьшее возможное отношение двух членов данной прогрессии, отличное от a_1, если известно, что это отношение является целым числом, и укажите любую пару таких ее членов.

в) Найдите третий член этой прогрессии, если известно, что один из ее членов равен 546.

Пусть a_1=a, a_2=8a. Тогда разность прогрессии равна d=a_2-a_1=7a.

Следовательно,

    \[a_n=a_1+d(n-1)=a+7a(n-1)=7an-6a\]

    \[a_k= =7ak-6a\]

Тогда

    \[\frac{7an-6a }{7ak-6a }=\frac{7k-6+7n-7k}{7k-6}=1+\frac{7(n-k)}{7k-6}\]

    \[1+\frac{7(n-k)}{7k-6}=567\]

    \[\frac{7(n-k)}{7k-6}=566\]

    \[\frac{(n-k)}{7k-6}=\frac{566}{7}\]

Левая часть – целое, а правая – нет. Значит, ответ на а) – нет.

Ни при каких k знаменатель на 7 не делится. Значит, n-k должно делиться на 7k-6. Значит, n-k\geqslant 7k-6.

    \[n\geqslant 8k-6~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Минимум дроби \frac{7(n-k)}{7k-6} – единица.

То есть

    \[1+\frac{7(n-k)}{7k-6}\geqslant 1+7=8\]

Неравенство (1) станет равенством, если n=8k-6. При k=2 n=10.

    \[a_{10}=a+9\cdot 7a=64a\]

    \[a_2=8a\]

Ответ на б) – 8.

Решаем в)

    \[a_n=a(7n-6)=546\]

Значит, 7n-6 – делитель 546. Делителями этого числа являются 1; 2; 3; 6; 7; 13; 14; 21; 26; 39; 42; 78; 91; 182; 273; 546. Только два числа представимы в виде 7n-6 – это 78 и 1. При этом n=1; n=12.

Если n=1, то a_1=546, a_3=a_1+14a=15a=8190.

Если n=12, то a_{12}=546, a_{12}=a_1+11\cdot 7a=78a=546.

    \[a_3=15a=105\]

Ответ: а) нет;  б) 8; в) 105 и 8190.

Задача 3. В арифметической прогрессии первый член отрицательный и равен -376, разность равна 16. Сумма абсолютных величин (модулей) первых n членов данной прогрессии равна 5408. Найдите n.

Разделим все члены на отрицательные и положительные и посчитаем суммы. Пусть S_{+} – сумма положительных членов, S_{-} – сумма отрицательных. Тогда

    \[5408= S_{+}+\mid S_{-}\mid\]

Если a_n\leqslant 0, то

    \[a_n=-376+16(n-1)=16n-392\leqslant 0\]

    \[n\leqslant 24\]

    \[a_{24}=-392+16\cdot23=-8\]

    \[S_{-}=\frac{-376-8}{2}\cdot 24=-4608\]

Тогда S_{+}=800.

Первый положительный член – -8+16=8

    \[S_{+}=\frac{2a_1+d(k-1)}{2}k=\frac{16+16k-16}{2}\cdot k=800\]

    \[k=10\]

В прогрессии, таким образом, 24 отрицательных члена и 10 отрицательных, всего 34 члена.

Ответ: 34.

 

Задача 4. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел. Сумма n членов этой прогрессии является степенью двойки. Докажите, что n – тоже степень двойки.

    \[S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=2^{k-1}\]

    \[2a_1+d(n-1)=\frac{2^k}{n}\]

То есть n – делитель некоторой степени двойки, а значит, n – тоже некоторая степень двойки.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *