Учимся решать задачу 19. Часть 15.

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – пятнадцатая статья данной серии. Учимся решать задачи с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Даны $n\geqslant 5$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию.

а) Может ли быть сумма всех данных чисел быть равной 30?

б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше 2014?

в) Найти все значения $n$, если сумма всех данных чисел равна 144.

Решаем а)

$$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=30$$

$$2a_1+d(n-1)=\frac{60}{n}$$

Так как левая часть – целое, то и правая – тоже. То есть $n$ – делитель 60. Если $n=5$, то

$$2a_1+4d=12$$

При $d=1$ $a_1=4$, получили прогрессию $\{4; 5; 6; 7; 8\}$. Ответ – да.

Решаем б).

$$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=2014$$

Если хотим получить максимальное $n$, нужно, чтобы $d$ было минимально возможным. Пусть $d=1$ и $a_1=1$ – то есть рассмотрим последовательность натуральных чисел.

$$\frac{2+n-1}{2}\cdot n<2014$$

$$(n+1)n<4028$$

$$n\leqslant 62$$

Пример такой прогрессии: $\{1; 2; 3; \ldots 61; 62\}$.

Ответ: да, 62.

Решаем в).

$$\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=144$$

$$2a_1+d(n-1)=\frac{288}{n}$$

$n$ – делитель 288.

$$288=2^2\cdot 3^2$$

Оцениваем $n$. При минимальном $d$ и $a_1$ $n$ – максимально.

$$1+2+\ldots +n \leqslant 144$$

$$n\leqslant 16$$

В пределах 16 делителями числа 288 могут быть 6, 8, 9, 12, 16. Проверим их.

Если $n=6$,

$$2a_1+5d=48$$

При $d=2$ $a_1=19$

Получили прогрессию $\{19; 21; 23; 25; 27; 29\}$.

Если $n=8$,

$$2a_1+7d=36$$

При $d=2$ $a_1=11$

Получили прогрессию $\{11; 13; 15;\ldots  23; 25\}$.

Если $n=9$,

$$2a_1+8d=32$$

При $d=1$ $a_1=12$

Получили прогрессию $\{12; 13; 14;\ldots  19; 20\}$.

Если $n=12$,

$$2a_1+11d=24$$

При $d=2$ $a_1=1$

Получили прогрессию $\{1; 3; 5;\ldots  23\}$.

Если $n=16$,

$$2a_1+15d=18$$

Нет решений в целых числах.

Ответ: а) да, $\{4; 5; 6; 7; 8\}$.

б) да, 62.

в) $n \in \{6; 8; 9; 12\}$.

Задача 2. Про некоторый набор, состоящий из 11 различных натуральных чисел известно, что сумма любых двух различных чисел этого набора меньше суммы любых трех различных чисел этого набора.

а) Может ли одним из чисел этого набора быть 3000?

б) Может ли одним из чисел этого набора быть 16?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма чисел такого набора?

Решаем а). Сразу понятно, что если числа будут отличаться друг от друга гораздо меньше, чем на 3000,  то такая ситуация возможна: $\{3000, 3001, \ldots 3010\} $.

Решаем б)

$$a_1<a_2<a_3\ldots  <a_{11}$$

Сумма двух наибольших чисел набора должна по условию быть меньше суммы трех наименьших.

$$ a_{10}+a_{11}<a_1+a_2+a_3$$

Тогда

$$a_1> (a_{10}-a_2)+( a_{11}-a_3)$$

Но $ a_{10}-a_2$ – минимум 8, $a_{11}-a_3$ – тоже. Значит, $a_1>16$. Ответ – нет.

Решаем в).

Если $a_1<a_2<a_3\ldots  <a_{11}$, то $a_2\geqslant a_1+1$ и т.п.

И сумма

$$a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_n\leqslant a_1+(a_1+1)+(a_1+2)+\ldots +(a_1+10)=\frac{2a_1+10}{2}\cdot 11=11(a_1+5)$$

Так как $a_1>16$, $a_1\geqslant 17$.

Тогда

$$11(a_1+5)\geqslant 22\cdot11=242$$

Если $a_1=17$, то сумма как раз будет 242. И это ответ.

Ответ: а) да, $\{3000, 3001, \ldots 3010\} $;  б) нет; в) 242.

Задача 3. Из первых 22 натуральных чисел 1, 2, … 22 выбрали $2k$ различных чисел. Выбранные числа разбили на пары и посчитали сумму чисел в каждой паре. Оказалось, что все полученные суммы различны и не превосходят 27.

а) Может ли получиться так, что сумма всех $2k$ выбранных чисел равна 170 и в каждой паре одно из чисел в три раза больше другого?

б) Может ли число $k$ быть равным 11?

в) Найдите наибольшее возможное значение числа $k$.

Решаем а). Если в каждой паре одно из чисел больше ровно втрое, то сумма двух таких чисел обязана делиться на 4. Суммы пар тоже, соответственно, должны делиться на 4. Но 170 не делится на 4. Ответ: нет.

Решаем б). Посчитаем сумму всех чисел 1, 2, … 22.

$$S=\frac{1+22}{2}\cdot22=23\cdot11=253$$

Если сумма первой пары меньше 27, то сумма второй – меньше 26,  – так как суммы пар различны,  – сумма третьей – меньше 25, сумма 11 пары – меньше 17.

Сложим все такие суммы: $S_1=\frac{27+17}{2}\cdot 11=232$ – это меньше 253. Значит, $k \neq 11$. Ответ: нет.

Решаем в). Запишем все натуральные числа от 1 до 22 в ряд и будем выбирать из них пары по условию задачи, вычеркивая соответствующие числа из ряда. Например, чтобы получить сумму 27, надо взять 22 и 5. Вычеркнем их. Следующая сумма не превосходит 26. Возьмем 21 и к нему в пару – 4 (5 вычеркнуто). Если взять 20 и 3, сумма будет 23. Далее выбираем 19 и 2 (сумма 21), 18 и 1 (сумма 19). Далее берем 15 и 7 – сумма 22, 16 и 8 – сумма 24. Выбираем 12 и 14 – сумма 26. Числа 11 и 9 дадут сумму 20, числа 10 и 6 – сумму 16. Остались невычеркнутыми числа 13 и 17, их сумма 30. Попытка заменить в других парах числа на 17 и 13 приведут к тому, что другие суммы станут превышать 27, или останется другая пара чисел, дающая уже полученную ранее сумму. То есть пар всегда выходит 10, при различных комбинациях чисел в парах. Да и в пункте б) доказано, что пар не может быть 11.  Ответ: 10.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 10.