Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 14.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – четырнадцатая статья данной серии. Начинаем учиться работать с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, члены которой – целые положительные числа. Один из них – полный квадрат. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много квадратов.

Пусть a_n=k^2, d – разность прогрессии. За членом прогрессии a_n последуют члены a_n+d; a_n+2d;  \ldots a_n+2dk; \ldots   a_n+2dk+d^2 \ldots – то есть  к k^2 добавляем d раз по 2k+d.

    \[a_m=(k+d)^2\]

Получили полный квадрат. Если рассуждения повторить, то получим еще один полный квадрат, и так далее.

 

Задача 2. Целое число S является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящих из целых чисел.

а) может ли S равняться 8?

б) может ли S равняться 1?

в) найти все значения, которые может принимать S.

Пусть у прогрессии n членов, a_1 – первый ее член,  d – разность.

Тогда для пункта а)

    \[S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=8\]

    \[2a_1+d(n-1)=\frac{16}{n}\]

n – делитель 16-ти. Пусть n=4, тогда

    \[2a_1+3d=4\]

Если d=2, a_1=-1. Примером будет тогда прогрессия \{-1; 1; 3; 5\}.

Для пункта б)

    \[S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=1\]

    \[2a_1+d(n-1)=\frac{2}{n}\]

Так как дробь   \frac{2}{n}  – целое, то n=1 или n=2. Но по условию n\geqslant 3, поэтому ответ на этот пункт – нет.

Для в), рассуждая аналогично, заключаем, что S\neq -1. Остальные значения возможны.

    \[2a_1+d(n-1)=\frac{2S}{n}\]

Если n=2S, то правая часть будет целым. Если d=1, то

    \[2a_1+d(2S-1)=1\]

    \[2a_1+2S=2\]

    \[a_1+S=1\]

    \[a_1=1 -S\]

Пример: \{-197; -196; -195 \ldots -1; 0; 1; \ldots 195; 196; 197; 198\}

Ответ: а) да; б) нет; в) все, кроме -1 и 1.

 

Задача 3. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий ее член и снова вычислил такую же разность.

а) приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем  в первый раз.

б) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Запишем сумму членов прогрессии:

    \[S_1=a_1+a-2+\ldots+ a_n\]

Сумма квадратов:

    \[A=a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\]

Во втором случае

    \[S_2=a_1+a-2+\ldots+ a_n+a_{n+1}=S_1+ a_{n+1}\]

Сумма квадратов равна A+a_{n+1}^2.

Тогда

    \[(S_2^2-( A+a_{n+1}^2))-(S_1^2-A)= S_2^2- S_1^2- a_{n+1}^2=(S_2-S_1)(S_2+S_1)- a_{n+1}^2\]

    \[S_2-S_1=a_{n+1}\]

    \[S_2+S_1=2a_1+2a_2+\ldots+2a_n+2a_{n+1}\]

    \[(S_2^2-( A+a_{n+1}^2))-(S_1^2-A)=a_{n+1}(2a_1+2a_2+\ldots+2a_n+2a_{n+1})- a_{n+1}^2=2 a_{n+1}(a_1+a_2+\ldots+a_n)\]

Теперь обратимся к первому условию.

    \[2 a_{n+1}(a_1+a_2+\ldots+a_n)=40\]

Если d=1, n=2, то

    \[\frac{2a_1+1}{2}\cdot 2(a_1+2)=20\]

a_1=2 – подходит. Получили прогрессию \{2; 3\}.

б)

    \[2 a_{n+1}(a_1+a_2+\ldots+a_n)=1768\]

    \[2 (a_1+nd)\cdot \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=1768\]

Если n=13, то

    \[2 (a_1+13d)\cdot \frac{2a_1+12d}{2}\cdot 13=1768\]

    \[2 (a_1+13d)\cdot (a_1+6d)\cdot 13=1768\]

    \[(a_1+13d)\cdot (a_1+6d)=68\]

Прогрессия непостоянная, то есть d\geqslant 1, a_1\geqslant 0.

    \[(a_1+13d)\cdot (a_1+6d)\geqslant (0+6d)(0+13)>68\]

Получается, ответ на пункт б) – нет.

в)

    \[(2a_1+(n-1)d))(a_1+nd)n=1768=2^3\cdot13\cdot17\]

Оценим левую часть, если a_1=0:

    \[(2\cdot 0+(n-1))(0+n)n=n^3-n^2\leqslant 1768\]

Отсюда следует, что n\leqslant 12.

Если n=8,

    \[(2a_1+7d)(a_1+8d)\cdot8=1768\]

    \[(2a_1+7d)(a_1+8d)=221=13\cdot17\]

Если

    \[\begin{Bmatrix}{2a_1+7d=17 }\\{ a_1+8d =13} \end{matrix}\]

    \[a_1=5; d=1\]

Если

    \[\begin{Bmatrix}{2a_1+7d=13 }\\{ a_1+8d =17} \end{matrix}\]

Система не имеет решений в целых числах.

Пример: \{5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 1\}.

Ответ: а) да, \{2;3\};  б) нет;  в) n=8.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *