Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – четырнадцатая статья данной серии. Начинаем учиться работать с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, члены которой – целые положительные числа. Один из них – полный квадрат. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много квадратов.
Пусть ,
– разность прогрессии. За членом прогрессии
последуют члены
– то есть к
добавляем
раз по
.
Получили полный квадрат. Если рассуждения повторить, то получим еще один полный квадрат, и так далее.
Задача 2. Целое число является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящих из целых чисел.
а) может ли равняться 8?
б) может ли равняться 1?
в) найти все значения, которые может принимать .
Пусть у прогрессии членов,
– первый ее член,
– разность.
Тогда для пункта а)
– делитель 16-ти. Пусть
, тогда
Если ,
. Примером будет тогда прогрессия
.
Для пункта б)
Так как дробь – целое, то
или
. Но по условию
, поэтому ответ на этот пункт – нет.
Для в), рассуждая аналогично, заключаем, что . Остальные значения возможны.
Если , то правая часть будет целым. Если
, то
Пример:
Ответ: а) да; б) нет; в) все, кроме -1 и 1.
Задача 3. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий ее член и снова вычислил такую же разность.
а) приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.
б) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?
в) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?
Запишем сумму членов прогрессии:
Сумма квадратов:
Во втором случае
Сумма квадратов равна .
Тогда
Теперь обратимся к первому условию.
Если ,
, то
– подходит. Получили прогрессию
.
б)
Если , то
Прогрессия непостоянная, то есть ,
.
Получается, ответ на пункт б) – нет.
в)
Оценим левую часть, если :
Отсюда следует, что .
Если ,
Если
Если
Система не имеет решений в целых числах.
Пример: .
Ответ: а) да, ; б) нет; в)
.
[latexpage] Здравствуйте, Павел. Понадобится знать только плотность расплавленного...
Здравствуйте, Анна ! Я школу закончил давно, и многое уже забыл. А тут жизнь...
...
думаю, эту задачу можно решить намного проще. на рисунке не хватает двух...
Тут я с Вами полностью...