Учимся решать задачу 19. Часть 14.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – четырнадцатая статья данной серии. Начинаем учиться работать с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, члены которой – целые положительные числа. Один из них – полный квадрат. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много квадратов.

Пусть $a_n=k^2$ , $d$ – разность прогрессии. За членом прогрессии $a_n$ последуют члены $a_n+d; a_n+2d; \ldots a_n+2dk; \ldots a_n+2dk+d^2 \ldots$ – то есть к $k^2$ добавляем $d$ раз по $2k+d$ .

$a_m=(k+d)^2$

Получили полный квадрат. Если рассуждения повторить, то получим еще один полный квадрат, и так далее.

Задача 2. Целое число $S$ является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящих из целых чисел.

а) может ли $S$ равняться 8?

б) может ли $S$ равняться 1?

в) найти все значения, которые может принимать $S$ .

Пусть у прогрессии $n$ членов, $a_1$ – первый ее член, $d$ – разность.

Тогда для пункта а)

$S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=8$

$2a_1+d(n-1)=\frac{16}{n}$

$n$ – делитель 16-ти. Пусть $n=4$ , тогда

$2a_1+3d=4$

Если $d=2$ , $a_1=-1$ . Примером будет тогда прогрессия $\{-1; 1; 3; 5\}$ .

Для пункта б)

$S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=1$

$2a_1+d(n-1)=\frac{2}{n}$

Так как дробь $\frac{2}{n}$ – целое, то $n=1$ или $n=2$ . Но по условию $n\geqslant 3$ , поэтому ответ на этот пункт – нет.

Для в), рассуждая аналогично, заключаем, что $S\neq -1$ . Остальные значения возможны.

$2a_1+d(n-1)=\frac{2S}{n}$

Если $n=2S$ , то правая часть будет целым. Если $d=1$ , то

$2a_1+d(2S-1)=1$

$2a_1+2S=2$

$a_1+S=1$

$a_1=1 -S$

Пример: $\{-197; -196; -195 \ldots -1; 0; 1; \ldots 195; 196; 197; 198\}$

Ответ: а) да; б) нет; в) все, кроме -1 и 1.

Задача 3. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий ее член и снова вычислил такую же разность.

а) приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем в первый раз.

б) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Запишем сумму членов прогрессии:

$S_1=a_1+a-2+\ldots+ a_n$