Учимся решать задачу 19. Часть 14.

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – четырнадцатая статья данной серии. Начинаем учиться работать с прогрессиями. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Дана бесконечная арифметическая прогрессия, члены которой – целые положительные числа. Один из них – полный квадрат. Доказать, что прогрессия содержит бесконечно много квадратов.

Пусть $a_n=k^2$, $d$ – разность прогрессии. За членом прогрессии $a_n$ последуют члены $a_n+d; a_n+2d;  \ldots a_n+2dk; \ldots   a_n+2dk+d^2 \ldots$ – то есть  к $k^2$ добавляем $d$ раз по $2k+d$.

$$a_m=(k+d)^2$$

Получили полный квадрат. Если рассуждения повторить, то получим еще один полный квадрат, и так далее.

Задача 2. Целое число $S$ является суммой не менее трех последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии, состоящих из целых чисел.

а) может ли $S$ равняться 8?

б) может ли $S$ равняться 1?

в) найти все значения, которые может принимать $S$.

Пусть у прогрессии $n$ членов, $a_1$ – первый ее член,  $d$ – разность.

Тогда для пункта а)

$$S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=8$$

$$2a_1+d(n-1)=\frac{16}{n}$$

$n$ – делитель 16-ти. Пусть $n=4$, тогда

$$2a_1+3d=4$$

Если $d=2$, $a_1=-1$. Примером будет тогда прогрессия $\{-1; 1; 3; 5\}$.

Для пункта б)

$$S=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=1$$

$$2a_1+d(n-1)=\frac{2}{n}$$

Так как дробь   $\frac{2}{n}$  – целое, то $n=1$ или $n=2$. Но по условию $n\geqslant 3$, поэтому ответ на этот пункт – нет.

Для в), рассуждая аналогично, заключаем, что $S\neq -1$. Остальные значения возможны.

$$2a_1+d(n-1)=\frac{2S}{n}$$

Если $n=2S$, то правая часть будет целым. Если $d=1$, то

$$2a_1+d(2S-1)=1$$

$$2a_1+2S=2$$

$$a_1+S=1$$

$$a_1=1 -S$$

Пример: $\{-197; -196; -195 \ldots -1; 0; 1; \ldots 195; 196; 197; 198\}$

Ответ: а) да; б) нет; в) все, кроме -1 и 1.

Задача 3. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий ее член и снова вычислил такую же разность.

а) приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 40 больше, чем  в первый раз.

б) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 13 членов?

в) во второй раз разность оказалась на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Запишем сумму членов прогрессии:

$$S_1=a_1+a-2+\ldots+ a_n$$

Сумма квадратов:

$$A=a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2$$

Во втором случае

$$S_2=a_1+a-2+\ldots+ a_n+a_{n+1}=S_1+ a_{n+1}$$

Сумма квадратов равна $A+a_{n+1}^2$.

Тогда

$$(S_2^2-( A+a_{n+1}^2))-(S_1^2-A)= S_2^2- S_1^2- a_{n+1}^2=(S_2-S_1)(S_2+S_1)- a_{n+1}^2$$

$$S_2-S_1=a_{n+1}$$

$$ S_2+S_1=2a_1+2a_2+\ldots+2a_n+2a_{n+1}$$

$$(S_2^2-( A+a_{n+1}^2))-(S_1^2-A)=a_{n+1}(2a_1+2a_2+\ldots+2a_n+2a_{n+1})- a_{n+1}^2=2 a_{n+1}(a_1+a_2+\ldots+a_n)$$

Теперь обратимся к первому условию.

$$2 a_{n+1}(a_1+a_2+\ldots+a_n)=40$$

Если $d=1$, $n=2$, то

$$\frac{2a_1+1}{2}\cdot 2(a_1+2)=20$$

$a_1=2$ – подходит. Получили прогрессию $\{2; 3\}$.

б)

$$2 a_{n+1}(a_1+a_2+\ldots+a_n)=1768$$

$$2 (a_1+nd)\cdot \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=1768$$

Если $n=13$, то
$$2 (a_1+13d)\cdot \frac{2a_1+12d}{2}\cdot 13=1768$$

$$2 (a_1+13d)\cdot (a_1+6d)\cdot 13=1768$$

$$(a_1+13d)\cdot (a_1+6d)=68$$

Прогрессия непостоянная, то есть $d\geqslant 1$, $a_1\geqslant 0$.

$$(a_1+13d)\cdot (a_1+6d)\geqslant (0+6d)(0+13)>68$$

Получается, ответ на пункт б) – нет.

в)

$$(2a_1+(n-1)d))(a_1+nd)n=1768=2^3\cdot13\cdot17$$

Оценим левую часть, если $a_1=0$:

$$(2\cdot 0+(n-1))(0+n)n=n^3-n^2\leqslant 1768$$

Отсюда следует, что $n\leqslant 12$.

Если $n=8$,

$$(2a_1+7d)(a_1+8d)\cdot8=1768$$

$$(2a_1+7d)(a_1+8d)=221=13\cdot17$$

Если

$$\begin{Bmatrix}{2a_1+7d=17 }\\{ a_1+8d =13} \end{matrix}$$

$$a_1=5; d=1$$

Если

$$\begin{Bmatrix}{2a_1+7d=13 }\\{ a_1+8d =17} \end{matrix}$$

Система не имеет решений в целых числах.

Пример: $\{5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 1\}$.

Ответ: а) да, $\{2;3\}$;  б) нет;  в) $n=8$.