Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 13.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – тринадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Произведение чисел a и b делится на 113 с остатком, втрое большим числа a. Найдите наименьшее натуральное m, такое, что произведение чисел m и b делится на 113 с остатком 2.

По условию

    \[ab=3a+113k\]

    \[a(b-3)=113k\]

Так как 3a – остаток, то 3a<113, a<38. Поэтому a не может делиться на 113. Значит, на 113 делится b-3. Тогда можно представить b как

    \[b=113x+3\]

Также по условию

    \[mb+2=113n\]

Итак, b имеет остаток 3 при делении на 113, а mb – остаток 2. Если так, то 3m тоже должно иметь остаток 2 при делении на 113. То есть

    \[m=\frac{113x+2}{3}\]

Откуда m_{min}=76.

Ответ: 76.

 

Задача 2. Если a^2+2000a является полным квадратом, то каково наибольшее значение a?

    \[a^2+2000a=b^2\]

Слева – почти полный квадрат. Дополним до квадрата:

    \[a^2+2000a+1000^2=b^2+1000^2\]

    \[(a+1000)^2= b^2+1000^2\]

Получим (выделим) разность квадратов:

    \[(a+1000)^2-b^2=1000^2\]

    \[(a+1000-b)(a+1000+b)=1000^2\]

Разность a+1000+b и a+1000-b – четна, произведение четно, и значит, оба множителя – четны.

Пусть x=a+1000+b, y= a+1000-b. Тогда

    \[a+1000=\frac{x+y}{2}\]

    \[xy=10^6\]

    \[y=\frac{10^6}{x}\]

Сумма x+y будет максимальна, если x – минимально, y– максимально. Это следует из свойств гиперболы: чем сильнее отличаются x и y, тем больше их сумма. Пусть x=2, y=500000. Тогда

    \[a+1000=\frac{x+y}{2}=\frac{500000+2}{2}=250001\]

    \[a=250001-1000=249001\]

Ответ: a=249001.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *