Учимся решать задачу 19. Часть 13.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – тринадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Произведение чисел $a$ и $b$ делится на 113 с остатком, втрое большим числа $a$ . Найдите наименьшее натуральное $m$ , такое, что произведение чисел $m$ и $b$ делится на 113 с остатком 2.

По условию

$ab=3a+113k$

$a(b-3)=113k$

Так как $3a$ – остаток, то $3a<113$ , $a<38$ . Поэтому $a$ не может делиться на 113. Значит, на 113 делится $b-3$ . Тогда можно представить $b$ как

$b=113x+3$

Также по условию

$mb+2=113n$

Итак, $b$ имеет остаток 3 при делении на 113, а $mb$ – остаток 2. Если так, то $3m$ тоже должно иметь остаток 2 при делении на 113. То есть

$m=\frac{113x+2}{3}$

Откуда $m_{min}=76$ .

Ответ: 76.

Задача 2. Если $a^2+2000a$ является полным квадратом, то каково наибольшее значение $a$ ?

$a^2+2000a=b^2$

Слева – почти полный квадрат. Дополним до квадрата:

$a^2+2000a+1000^2=b^2+1000^2$

$(a+1000)^2= b^2+1000^2$

Получим (выделим) разность квадратов:

$(a+1000)^2-b^2=1000^2$

$(a+1000-b)(a+1000+b)=1000^2$

Разность $a+1000+b$ и $a+1000-b$ – четна, произведение четно, и значит, оба множителя – четны.

Пусть $x=a+1000+b$ , $y= a+1000-b$ . Тогда

$a+1000=\frac{x+y}{2}$

$xy=10^6$

$y=\frac{10^6}{x}$

Сумма $x+y$ будет максимальна, если $x$ – минимально, $y$ – максимально. Это следует из свойств гиперболы: чем сильнее отличаются $x$ и $y$ , тем больше их сумма. Пусть $x=2$ , $y=500000$ . Тогда