Учимся решать задачу 19. Часть 12.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двенадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Найдите все вещественные числа $x$ , удовлетворяющие уравнению

$\frac{1}{\left[x\right]}+\frac{1}{\left[2x\right]}=\{x\}+0,4$

Здесь $\left[x\right]$ – целая часть числа, $\{x\}=x-\left[x\right]$ – дробная часть.

Представим число $x$ как сумму целой и дробной частей, пусть целая – $\alpha$ , дробная – $\beta$ .

$x=\alpha +\beta$

$\alpha=\left[x\right]$

$\left[2x\right]= \left[2\alpha +2\beta\right]=2\alpha+\left[2\beta\right]$

$\left[2x\right]= \begin{Bmatrix}{ 2\alpha, 0\leqslant \beta<\frac{1}{2}}\\{ 2\alpha+1, \frac{1}{2}\leqslant \beta<1 } \end{matrix}$

Рассмотрим первый случай, $\left[2x\right]= 2\alpha, 0\leqslant \beta<\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta+0,4$

$\frac{3}{2\alpha}=\beta+0,4$

При $\alpha=1$ $\beta=1,5-0,4=1,1>1$ – не подходит.

При $\alpha=2$ $\beta=0,75-0,4=0,35$ – подходит. $x=2,35$ .

При $\alpha=3$ $\beta=0, 5-0,4=0,1$ – подходит. $x=3,1$ .

При $\alpha=4$ $\beta=0, 375-0,4<0$ -не подходит.

Рассмотрим второй случай, $\left[2x\right]= 2\alpha+1, \frac{1}{2} \leqslant \beta<1$ .

$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{2\alpha+1}=\beta+0,4$

$\frac{3\alpha+1}{\alpha (2\alpha+1)}=\beta+0,4$

При $\alpha=1$ $\beta=\frac{4}{3}-0,4=\frac{14}{15}$ – подходит. $x=1\frac{14}{15}$ .

При $\alpha=2$ $\beta=0,7-0,4=0,3$ – не подходит, $\beta<0,5$ .

При $\alpha=3$ $\beta=\frac{10}{21}-0,4$ – не подходит, $\beta<0,5$ .

При $\alpha=4$ – не подходит, $\beta<0$ .

Ответ: $x=2,35$ , $x=3,1$ , $x=1\frac{14}{15}$ .

Задача 2. Найдите все пары целых чисел $x, y$ , такие, что число $\overline{xy}$ , полученное приписыванием десятичной записи числа $y$ после десятичной записи числа $x$ , делится на $xy$ .

$\overline{xy}=(10^5\cdot x+y) \vdots xy \Rightarrow (10^5\cdot x+y) \vdots x \Rightarrow y \vdots x$

$y=kx$

Тогда результат деления:

$\frac{(10^5+k)x}{x\cdot kx}=\frac{10^5+k}{kx}\Rightarrow (10^5+k) \vdots k\Rightarrow 10^5 \vdots k$

$x,y$ – пятизначные, поэтому $k \in \{1;2;4;5;8\}$ .

При $k=1$ $\frac{100000+1}{x}$ – решений нет.

При $k=2$ $\frac{100000+2}{2x}=\frac{50001}{x}$ – $x=16667$ , $y=33334$ .

При $k=4$ $\frac{100000+4}{4x}=\frac{25001}{x}$ – $x=1$ , $x=25001$ . При этом $y>10^5$ – не подходит по условию.

При $k=5$ $\frac{100000+5}{5x}=\frac{20001}{x}$ – $x=20001$ . При этом $y>10^5$ – не подходит по условию.

При $k=8$ $\frac{100000+8}{8x}=\frac{12501}{x}$ – $x=12501$ . При этом $y>10^5$ – не подходит по условию.

Ответ: $x=16667$ , $y=33334$ .

Задача 3. Дано простое число $p$ , решить в натуральных числах уравнение:

$x^2=y^2+2010p$

$(x-y)(x+y)=2010p=2\cdot3\cdot5\cdot 67p$

Правая часть – четная, значит, левая – тоже. Разность $x+y-(x-y)=2y$ – тоже четная. Следовательно, оба множителя – и $x+y$ , и $x-y$ – тоже четные. Но двойка в разложении только одна, значит, $p=2$ – единственное простое четное число. Причем $x+y>x-y$ .