Учимся решать задачу 19. Часть 12.

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двенадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Найдите все вещественные числа $x$, удовлетворяющие уравнению

$$\frac{1}{\left[x\right]}+\frac{1}{\left[2x\right]}=\{x\}+0,4$$

Здесь $\left[x\right]$ – целая часть числа, $\{x\}=x-\left[x\right]$ – дробная часть.

Представим число $x$ как сумму целой и дробной частей, пусть целая – $\alpha$, дробная – $\beta$.

$$x=\alpha +\beta$$

$$\alpha=\left[x\right]$$

$$\left[2x\right]= \left[2\alpha +2\beta\right]=2\alpha+\left[2\beta\right]$$

$$\left[2x\right]= \begin{Bmatrix}{ 2\alpha, 0\leqslant \beta<\frac{1}{2}}\\{ 2\alpha+1, \frac{1}{2}\leqslant \beta<1 } \end{matrix}$$

Рассмотрим первый случай, $\left[2x\right]= 2\alpha, 0\leqslant \beta<\frac{1}{2}$.

$$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta+0,4$$

$$\frac{3}{2\alpha}=\beta+0,4$$

При $\alpha=1$ $\beta=1,5-0,4=1,1>1$ – не подходит.

При $\alpha=2$ $\beta=0,75-0,4=0,35$ – подходит. $x=2,35$.

При $\alpha=3$ $\beta=0, 5-0,4=0,1$ – подходит. $x=3,1$.

При $\alpha=4$ $\beta=0, 375-0,4<0$ -не подходит.

Рассмотрим второй случай, $\left[2x\right]= 2\alpha+1, \frac{1}{2} \leqslant \beta<1$.

$$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{2\alpha+1}=\beta+0,4$$

$$\frac{3\alpha+1}{\alpha (2\alpha+1)}=\beta+0,4$$

При $\alpha=1$ $\beta=\frac{4}{3}-0,4=\frac{14}{15}$ –  подходит. $x=1\frac{14}{15}$.

При $\alpha=2$ $\beta=0,7-0,4=0,3$ – не подходит, $\beta<0,5$.

При $\alpha=3$ $\beta=\frac{10}{21}-0,4$ – не подходит, $\beta<0,5$.

При $\alpha=4$  – не подходит, $\beta<0$.

Ответ: $x=2,35$, $x=3,1$, $x=1\frac{14}{15}$.

Задача 2. Найдите все пары целых чисел $x, y$, такие, что число  $\overline{xy}$, полученное приписыванием десятичной записи числа $y$ после десятичной записи числа $x$, делится на $xy$.

$$\overline{xy}=(10^5\cdot x+y) \vdots xy \Rightarrow (10^5\cdot x+y) \vdots x \Rightarrow y \vdots x $$

$$y=kx$$

Тогда результат деления:

$$\frac{(10^5+k)x}{x\cdot kx}=\frac{10^5+k}{kx}\Rightarrow (10^5+k) \vdots k\Rightarrow 10^5 \vdots k$$

$x,y$ – пятизначные, поэтому $k \in \{1;2;4;5;8\}$.

При $k=1$ $\frac{100000+1}{x}$ – решений нет.

При $k=2$ $\frac{100000+2}{2x}=\frac{50001}{x}$ – $x=16667$, $y=33334$.

При $k=4$ $\frac{100000+4}{4x}=\frac{25001}{x}$ – $x=1$, $x=25001$. При этом $y>10^5$ – не подходит по условию.

При $k=5$ $\frac{100000+5}{5x}=\frac{20001}{x}$ – $x=20001$. При этом $y>10^5$ – не подходит по условию.

При $k=8$ $\frac{100000+8}{8x}=\frac{12501}{x}$ – $x=12501$. При этом $y>10^5$ – не подходит по условию.

Ответ: $x=16667$, $y=33334$.

Задача 3. Дано простое число $p$, решить в натуральных числах уравнение:

$$x^2=y^2+2010p$$

$$(x-y)(x+y)=2010p=2\cdot3\cdot5\cdot 67p$$

Правая часть – четная, значит, левая – тоже. Разность $x+y-(x-y)=2y$ – тоже четная. Следовательно, оба множителя – и $x+y$, и $x-y$ – тоже четные. Но двойка в разложении только одна, значит, $p=2$ – единственное простое четное число.  Причем $x+y>x-y$.

Если $x-y=2$, то $x+y=2010$.

Если $x-y=6$, то $x+y=670$.

Если $x-y=10$, то $x+y=402$.

Если $x-y=30$, то $x+y=134$.

Решая системы уравнений, получающиеся в каждом случае, получим

$(1006; 1004); (338; 332), (206, 196), (82, 52)$.