Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 12.

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – двенадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Найдите все вещественные числа x, удовлетворяющие уравнению

    \[\frac{1}{\left[x\right]}+\frac{1}{\left[2x\right]}=\{x\}+0,4\]

Здесь \left[x\right] – целая часть числа, \{x\}=x-\left[x\right] – дробная часть.

Представим число x как сумму целой и дробной частей, пусть целая – \alpha, дробная – \beta.

    \[x=\alpha +\beta\]

    \[\alpha=\left[x\right]\]

    \[\left[2x\right]= \left[2\alpha +2\beta\right]=2\alpha+\left[2\beta\right]\]

    \[\left[2x\right]= \begin{Bmatrix}{ 2\alpha, 0\leqslant \beta<\frac{1}{2}}\\{ 2\alpha+1, \frac{1}{2}\leqslant \beta<1 } \end{matrix}\]

Рассмотрим первый случай, \left[2x\right]= 2\alpha, 0\leqslant \beta<\frac{1}{2}.

    \[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{2\alpha}=\beta+0,4\]

    \[\frac{3}{2\alpha}=\beta+0,4\]

При \alpha=1 \beta=1,5-0,4=1,1>1 – не подходит.

При \alpha=2 \beta=0,75-0,4=0,35 – подходит. x=2,35.

При \alpha=3 \beta=0, 5-0,4=0,1 – подходит. x=3,1.

При \alpha=4 \beta=0, 375-0,4<0 -не подходит.

Рассмотрим второй случай, \left[2x\right]= 2\alpha+1, \frac{1}{2} \leqslant \beta<1.

    \[\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{2\alpha+1}=\beta+0,4\]

    \[\frac{3\alpha+1}{\alpha (2\alpha+1)}=\beta+0,4\]

При \alpha=1 \beta=\frac{4}{3}-0,4=\frac{14}{15} –  подходит. x=1\frac{14}{15}.

При \alpha=2 \beta=0,7-0,4=0,3 – не подходит, \beta<0,5.

При \alpha=3 \beta=\frac{10}{21}-0,4 – не подходит, \beta<0,5.

При \alpha=4  – не подходит, \beta<0.

Ответ: x=2,35, x=3,1, x=1\frac{14}{15}.

Задача 2. Найдите все пары целых чисел x, y, такие, что число  \overline{xy}, полученное приписыванием десятичной записи числа y после десятичной записи числа x, делится на xy.

    \[\overline{xy}=(10^5\cdot x+y) \vdots xy \Rightarrow (10^5\cdot x+y) \vdots x \Rightarrow y \vdots x\]

    \[y=kx\]

Тогда результат деления:

    \[\frac{(10^5+k)x}{x\cdot kx}=\frac{10^5+k}{kx}\Rightarrow (10^5+k) \vdots k\Rightarrow 10^5 \vdots k\]

x,y – пятизначные, поэтому k \in \{1;2;4;5;8\}.

При k=1 \frac{100000+1}{x} – решений нет.

При k=2 \frac{100000+2}{2x}=\frac{50001}{x}x=16667, y=33334.

При k=4 \frac{100000+4}{4x}=\frac{25001}{x}x=1, x=25001. При этом y>10^5 – не подходит по условию.

При k=5 \frac{100000+5}{5x}=\frac{20001}{x}x=20001. При этом y>10^5 – не подходит по условию.

При k=8 \frac{100000+8}{8x}=\frac{12501}{x}x=12501. При этом y>10^5 – не подходит по условию.

Ответ: x=16667, y=33334.

Задача 3. Дано простое число p, решить в натуральных числах уравнение:

    \[x^2=y^2+2010p\]

    \[(x-y)(x+y)=2010p=2\cdot3\cdot5\cdot 67p\]

Правая часть – четная, значит, левая – тоже. Разность x+y-(x-y)=2y – тоже четная. Следовательно, оба множителя – и x+y, и x-y – тоже четные. Но двойка в разложении только одна, значит, p=2 – единственное простое четное число.  Причем x+y>x-y.

Если x-y=2, то x+y=2010.

Если x-y=6, то x+y=670.

Если x-y=10, то x+y=402.

Если x-y=30, то x+y=134.

Решая системы уравнений, получающиеся в каждом случае, получим

(1006; 1004); (338; 332), (206, 196), (82, 52).

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *