Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 11

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – одиннадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена f(x)=x^2+(3a+10)x+5b-14 и его значение при x=1 являются простыми числами. Найдите a, b и корни трехчлена.

По Виету

    \[x_1\cdot x_2=5b-14\]

    \[x_1+x_2=-(3a+10)\]

Значение трехчлена при x=1

    \[f(1)=1+3a+10+5b-14\]

Но ведь это можно записать так:

    \[f(1)= x_1\cdot x_2- x_1-x_2+1=(x_1-1)(x_2-1)\]

Так как f(1) – простое, то либо x_1-1=1, либо x_2-1=1.

Пусть x_1\leqslant x_2. Тогда

    \[x_1-1=1\]

    \[x_1=2\]

Тогда

    \[x_2=-3a-12\]

То есть x_2 делится на 3 (правая часть делится на 3). Это возможно в одном случае, если x_2=3.

Следовательно,

    \[2x_2=5b-14\]

    \[6=5b-14\]

    \[b=4\]

    \[a=-5\]

Ответ: x_1=2; x_2=3; a=-5; b=4.

Задача 2. Найдите все тройки целых чисел x, y, z, для каждой из которых выполняется соотношение

    \[3(x-3)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33\]

Понятно, что y^2<33, то есть y \leqslant 5. Если y=0, то

    \[3(x-3)^2+2z^2=33\]

Понятно, что (x-3)^2\leqslant 9. Пусть (x-3)^2=0. Тогда 2z^2=33 – решений нет. Если (x-3)^2=1, 2z^2=30 – решений нет. Если (x-3)^2=4, 2z^2=21 – решений нет. Если (x-3)^2=9, 2z^2=6 – решений нет.

Попробуем y=1.

Имеем

    \[3(x-3)^2+6+2z^2+3z^2=33\]

    \[3(x-3)^2+5z^2=27\]

Понятно, что (x-3)^2\leqslant 9. Пусть (x-3)^2=0. Тогда 5z^2=27 – решений нет. Если (x-3)^2=1, 5z^2=24 – решений нет. Если (x-3)^2=4, 5z^2=15 – решений нет. Если (x-3)^2=9, z=0. Тогда или x=6, y=1, z=0, или x=0, y=1, z=0.

Задача 3. Решите уравнение:

    \[\left[\frac{5+6x}{8}\right]=\frac{15x-7}{5}\]

Квадратная скобка – операция извлечения целой части числа – говорит о том, что справа в уравнении – целое число.

\frac{15x-7}{5}=3x-1,4 – целое.

Слева же дробь можно представить как \frac{5}{8}+\frac{3x}{4}. Да еще из этой суммы выделят целую часть. Можно предположить, что x<10. Предположим, что правая часть

    \[3x-1,4=1\]

    \[3x=2,4\]

    \[x=0,8\]

Тогда слева

    \[\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+0,6\right]= \left[1,225 \right]=1\]

Один корень мы «нащупали». Если правая часть равна 4, то

    \[3x-1,4=4\]

    \[3x=5,4\]

    \[x=1,8\]

Тогда слева

    \[\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+1,35\right]= \left[1,975 \right]=1\]

Если правая часть равна (-5), то

    \[3x-1,4=-5\]

    \[3x=-3,6\]

    \[x=-1,2\]

Тогда слева

    \[\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625-0,8\right]= \left[-0,275 \right]=-1\]

Ноль тоже является целым числом. Если правая часть равна 0, то

    \[3x-1,4=0\]

    \[3x=1,4\]

    \[x=\frac{7}{15}\]

Тогда слева

    \[\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{15}\right]= \left[\frac{39}{40} \right]=0\]

Ответ: x=0,8, x=\frac{7}{15}.

Другой способ решения, более стройный.

Пусть

    \[\frac{15x-7}{5}=t\]

Тогда

    \[x=\frac{5t+7}{15}\]

Тогда

    \[\left[\frac{5+6\cdot \frac{5t+7}{15}}{8}\right]=t\]

    \[\left[\frac{10t+39}{40}\right]=t\]

Но обязательно выполняется \left[x\right]\leqslant x <\left[x\right]+1

То есть

    \[t \leqslant \frac{10t+39}{40}<t+1\]

    \[40t \leqslant  10t+39 <t+1\]

    \[-\frac{1}{30}<t\leqslant \frac{13}{10}\]

То есть t=0, или t=1. При t=0 x=\frac{7}{15}.

При t=1 x=\frac{4}{5}.

Ответ: x=0,8, x=\frac{7}{15}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *