Учимся решать задачу 19. Часть 11

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – одиннадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена $f(x)=x^2+(3a+10)x+5b-14$ и его значение при $x=1$ являются простыми числами. Найдите $a, b$ и корни трехчлена.

По Виету

$x_1\cdot x_2=5b-14$

$x_1+x_2=-(3a+10)$

Значение трехчлена при $x=1$

$f(1)=1+3a+10+5b-14$

Но ведь это можно записать так:

$f(1)= x_1\cdot x_2- x_1-x_2+1=(x_1-1)(x_2-1)$

Так как $f(1)$ – простое, то либо $x_1-1=1$ , либо $x_2-1=1$ .

Пусть $x_1\leqslant x_2$ . Тогда

$x_1-1=1$

$x_1=2$

Тогда

$x_2=-3a-12$

То есть $x_2$ делится на 3 (правая часть делится на 3). Это возможно в одном случае, если $x_2=3$ .

Следовательно,

$2x_2=5b-14$

$6=5b-14$

$b=4$

$a=-5$

Ответ: $x_1=2; x_2=3; a=-5; b=4$ .

Задача 2. Найдите все тройки целых чисел $x, y, z$ , для каждой из которых выполняется соотношение

$3(x-3)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33$

Понятно, что $y^2<33$ , то есть $y \leqslant 5$ . Если $y=0$ , то

$3(x-3)^2+2z^2=33$

Понятно, что $(x-3)^2\leqslant 9$ . Пусть $(x-3)^2=0$ . Тогда $2z^2=33$ – решений нет. Если $(x-3)^2=1$ , $2z^2=30$ – решений нет. Если $(x-3)^2=4$ , $2z^2=21$ – решений нет. Если $(x-3)^2=9$ , $2z^2=6$ – решений нет.

Попробуем $y=1$ .

Имеем

$3(x-3)^2+6+2z^2+3z^2=33$

$3(x-3)^2+5z^2=27$

Понятно, что $(x-3)^2\leqslant 9$ . Пусть $(x-3)^2=0$ . Тогда $5z^2=27$ – решений нет. Если $(x-3)^2=1$ , $5z^2=24$ – решений нет. Если $(x-3)^2=4$ , $5z^2=15$ – решений нет. Если $(x-3)^2=9$ , $z=0$ . Тогда или $x=6$ , $y=1$ , $z=0$ , или $x=0$ , $y=1$ , $z=0$ .

Задача 3. Решите уравнение:

$\left[\frac{5+6x}{8}\right]=\frac{15x-7}{5}$

Квадратная скобка – операция извлечения целой части числа – говорит о том, что справа в уравнении – целое число.

$\frac{15x-7}{5}=3x-1,4$ – целое.

Слева же дробь можно представить как $\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}$ . Да еще из этой суммы выделят целую часть. Можно предположить, что $x<10$ . Предположим, что правая часть