Учимся решать задачу 19. Часть 11

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – одиннадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена $f(x)=x^2+(3a+10)x+5b-14$ и его значение при $x=1$ являются простыми числами. Найдите $a, b$ и корни трехчлена.

По Виету

$$ x_1\cdot x_2=5b-14$$

$$x_1+x_2=-(3a+10)$$

Значение трехчлена при $x=1$

$$f(1)=1+3a+10+5b-14$$

Но ведь это можно записать так:

$$f(1)= x_1\cdot x_2- x_1-x_2+1=(x_1-1)(x_2-1)$$

Так как $f(1)$ – простое, то либо $x_1-1=1$, либо $x_2-1=1$.

Пусть $x_1\leqslant x_2$. Тогда

$$x_1-1=1$$

$$x_1=2$$

Тогда

$$x_2=-3a-12$$

То есть $x_2$ делится на 3 (правая часть делится на 3). Это возможно в одном случае, если $x_2=3$.

Следовательно,

$$2x_2=5b-14$$

$$6=5b-14$$

$$b=4$$

$$a=-5$$

Ответ: $x_1=2; x_2=3; a=-5; b=4$.

Задача 2. Найдите все тройки целых чисел $x, y, z$, для каждой из которых выполняется соотношение

$$3(x-3)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33$$

Понятно, что $y^2<33$, то есть $y \leqslant 5$. Если $y=0$, то

$$3(x-3)^2+2z^2=33$$

Понятно, что $(x-3)^2\leqslant 9$. Пусть $(x-3)^2=0$. Тогда $2z^2=33$ – решений нет. Если $(x-3)^2=1$, $2z^2=30$ – решений нет. Если $(x-3)^2=4$, $2z^2=21$ – решений нет. Если $(x-3)^2=9$, $2z^2=6$ – решений нет.

Попробуем $y=1$.

Имеем

$$3(x-3)^2+6+2z^2+3z^2=33$$

$$3(x-3)^2+5z^2=27$$

Понятно, что $(x-3)^2\leqslant 9$. Пусть $(x-3)^2=0$. Тогда $5z^2=27$ – решений нет. Если $(x-3)^2=1$, $5z^2=24$ – решений нет. Если $(x-3)^2=4$, $5z^2=15$ – решений нет. Если $(x-3)^2=9$, $z=0$. Тогда или $x=6$, $y=1$, $z=0$, или $x=0$, $y=1$, $z=0$.

Задача 3. Решите уравнение:

$$\left[\frac{5+6x}{8}\right]=\frac{15x-7}{5}$$

Квадратная скобка – операция извлечения целой части числа – говорит о том, что справа в уравнении – целое число.

$\frac{15x-7}{5}=3x-1,4$ – целое.

Слева же дробь можно представить как $\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}$. Да еще из этой суммы выделят целую часть. Можно предположить, что $x<10$. Предположим, что правая часть

$$3x-1,4=1$$

$$3x=2,4$$

$$x=0,8$$

Тогда слева

$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+0,6\right]= \left[1,225 \right]=1$$

Один корень мы «нащупали». Если правая часть равна 4, то

$$3x-1,4=4$$

$$3x=5,4$$

$$x=1,8$$

Тогда слева

$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+1,35\right]= \left[1,975 \right]=1$$

Если правая часть равна (-5), то

$$3x-1,4=-5$$

$$3x=-3,6$$

$$x=-1,2$$

Тогда слева

$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625-0,8\right]= \left[-0,275 \right]=-1$$

Ноль тоже является целым числом. Если правая часть равна 0, то

$$3x-1,4=0$$

$$3x=1,4$$

$$x=\frac{7}{15}$$

Тогда слева

$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{15}\right]= \left[\frac{39}{40} \right]=0$$

Ответ: $x=0,8$, $x=\frac{7}{15}$.

Другой способ решения, более стройный.

Пусть

$$\frac{15x-7}{5}=t$$

Тогда

$$x=\frac{5t+7}{15}$$

Тогда

$$\left[\frac{5+6\cdot \frac{5t+7}{15}}{8}\right]=t$$

$$\left[\frac{10t+39}{40}\right]=t$$

Но обязательно выполняется $\left[x\right]\leqslant x <\left[x\right]+1$

То есть

$$t \leqslant \frac{10t+39}{40}<t+1$$

$$40t \leqslant  10t+39 <t+1$$

$$-\frac{1}{30}<t\leqslant \frac{13}{10}$$

То есть $t=0$, или $t=1$. При $t=0$ $x=\frac{7}{15}$.

При $t=1$ $x=\frac{4}{5}$.

Ответ: $x=0,8$, $x=\frac{7}{15}$.