[latexpage]
Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – одиннадцатая статья данной серии. Продолжаем решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Каждый из двух различных корней квадратного трехчлена $f(x)=x^2+(3a+10)x+5b-14$ и его значение при $x=1$ являются простыми числами. Найдите $a, b$ и корни трехчлена.
По Виету
$$ x_1\cdot x_2=5b-14$$
$$x_1+x_2=-(3a+10)$$
Значение трехчлена при $x=1$
$$f(1)=1+3a+10+5b-14$$
Но ведь это можно записать так:
$$f(1)= x_1\cdot x_2- x_1-x_2+1=(x_1-1)(x_2-1)$$
Так как $f(1)$ – простое, то либо $x_1-1=1$, либо $x_2-1=1$.
Пусть $x_1\leqslant x_2$. Тогда
$$x_1-1=1$$
$$x_1=2$$
Тогда
$$x_2=-3a-12$$
То есть $x_2$ делится на 3 (правая часть делится на 3). Это возможно в одном случае, если $x_2=3$.
Следовательно,
$$2x_2=5b-14$$
$$6=5b-14$$
$$b=4$$
$$a=-5$$
Ответ: $x_1=2; x_2=3; a=-5; b=4$.
Задача 2. Найдите все тройки целых чисел $x, y, z$, для каждой из которых выполняется соотношение
$$3(x-3)^2+6y^2+2z^2+3y^2z^2=33$$
Понятно, что $y^2<33$, то есть $y \leqslant 5$. Если $y=0$, то
$$3(x-3)^2+2z^2=33$$
Понятно, что $(x-3)^2\leqslant 9$. Пусть $(x-3)^2=0$. Тогда $2z^2=33$ – решений нет. Если $(x-3)^2=1$, $2z^2=30$ – решений нет. Если $(x-3)^2=4$, $2z^2=21$ – решений нет. Если $(x-3)^2=9$, $2z^2=6$ – решений нет.
Попробуем $y=1$.
Имеем
$$3(x-3)^2+6+2z^2+3z^2=33$$
$$3(x-3)^2+5z^2=27$$
Понятно, что $(x-3)^2\leqslant 9$. Пусть $(x-3)^2=0$. Тогда $5z^2=27$ – решений нет. Если $(x-3)^2=1$, $5z^2=24$ – решений нет. Если $(x-3)^2=4$, $5z^2=15$ – решений нет. Если $(x-3)^2=9$, $z=0$. Тогда или $x=6$, $y=1$, $z=0$, или $x=0$, $y=1$, $z=0$.
Задача 3. Решите уравнение:
$$\left[\frac{5+6x}{8}\right]=\frac{15x-7}{5}$$
Квадратная скобка – операция извлечения целой части числа – говорит о том, что справа в уравнении – целое число.
$\frac{15x-7}{5}=3x-1,4$ – целое.
Слева же дробь можно представить как $\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}$. Да еще из этой суммы выделят целую часть. Можно предположить, что $x<10$. Предположим, что правая часть
$$3x-1,4=1$$
$$3x=2,4$$
$$x=0,8$$
Тогда слева
$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+0,6\right]= \left[1,225 \right]=1$$
Один корень мы «нащупали». Если правая часть равна 4, то
$$3x-1,4=4$$
$$3x=5,4$$
$$x=1,8$$
Тогда слева
$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+1,35\right]= \left[1,975 \right]=1$$
Если правая часть равна (-5), то
$$3x-1,4=-5$$
$$3x=-3,6$$
$$x=-1,2$$
Тогда слева
$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625-0,8\right]= \left[-0,275 \right]=-1$$
Ноль тоже является целым числом. Если правая часть равна 0, то
$$3x-1,4=0$$
$$3x=1,4$$
$$x=\frac{7}{15}$$
Тогда слева
$$\left[\frac{5}{8}+\frac{3x}{4}\right]= \left[0,625+\frac{3}{4}\cdot\frac{7}{15}\right]= \left[\frac{39}{40} \right]=0$$
Ответ: $x=0,8$, $x=\frac{7}{15}$.
Другой способ решения, более стройный.
Пусть
$$\frac{15x-7}{5}=t$$
Тогда
$$x=\frac{5t+7}{15}$$
Тогда
$$\left[\frac{5+6\cdot \frac{5t+7}{15}}{8}\right]=t$$
$$\left[\frac{10t+39}{40}\right]=t$$
Но обязательно выполняется $\left[x\right]\leqslant x <\left[x\right]+1$
То есть
$$t \leqslant \frac{10t+39}{40}<t+1$$
$$40t \leqslant 10t+39 <t+1$$
$$-\frac{1}{30}<t\leqslant \frac{13}{10}$$
То есть $t=0$, или $t=1$. При $t=0$ $x=\frac{7}{15}$.
При $t=1$ $x=\frac{4}{5}$.
Ответ: $x=0,8$, $x=\frac{7}{15}$.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...