Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 10

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – десятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах

    \[1+x+x^2+x^3=2^y\]

Перепишем:

    \[(1+x)(1+x^2)=2^y\]

Если y<0, то левая часть – целое, правая – дробная. Решений нет.

Если y\geqslant 0, то справа – степень двойки. Тогда

    \[\begin{Bmatrix}{ 1+x =2^n}\\{ 1+x^2=2^k } \end{matrix}\]

Так как для целых 1+x^2>1+x,  то k>n.

И частное \frac{1+x^2}{1+x} – тоже целое.

    \[\frac{1+x^2}{1+x}=\frac{x^2-1+2}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}\]

x+1 – делитель двойки, x+1 \in \{1; -1; 2; -2\}.

Тогда x \in \{0; -2; 1; -3\}.

При x=-3

    \[1-3+9-27=2^y\]

Решений нет.

При x=-2

    \[1-2+4-8=2^y\]

Решений нет.

При x=0

    \[1+0+0+0=2^y\]

    \[y=0\]

При x=1

    \[1+1+1+1=2^y\]

    \[y=2\]

Ответ: (1; 2), (0;0)

 

Задача 2. Максим должен был умножить двузначное число на трехзначное, вместо этого он просто приписал трехзначное число справа к двухзначному, и получил пятизначное число, которое в N раз больше правильного результата (N – натуральное).

а) Могло ли N=2?

б) Могло ли N=10?

в) Каково наибольшее значение N?

Приписывание трехзначного числа справа означает, что Максим умножил двузначное число на 1000 и затем прибавил к результату трехзначное число. Например, числа были 18 и 465. Тогда Максим получил число 18465=18\cdot1000+465.

Пусть x – двузначное, y – трехзначное. Тогда согласно пункту а)

    \[x\cdot 1000+y=2xy\]

    \[2xy-y-1000x=0\]

    \[2x(y-500)-(y-500)=500\]

    \[(2x-1)(y-500)=500=4\cdot 125\]

Числа 4 и 125 выбраны произвольно.

Тогда, например,

    \[2x-1=125\]

    \[2x=126\]

    \[x=63\]

    \[y-500=4\]

    \[y=504\]

Мы доказали, что N может быть равно 2.

Рассмотрим пункт б).

    \[x\cdot 1000+y=10xy\]

    \[10xy-y-1000x=0\]

    \[10x(y-100)-(y-100)=100\]

    \[(10x-1)(y-100)=100\]

x – двузначное, поэтому 10x\geqslant 100. Следовательно,

10x-1\geqslant 99, но при 10x-1=100 нет решений в целых числах.

Рассмотрим пункт в).

    \[Nxy=1000x+y\]

    \[N=\frac{1000}{y}+\frac{1}{x}\]

Чтобы получить максимально возможное N, нужно взять минимальные x и y. Минимально возможное трехзначное число – 100, двузначное – 10.

    \[N=\frac{1000}{100}+\frac{1}{10}\]

Но в пункте б) показано, что N=10 быть не может. Попробуем N=9.

    \[9xy=1000x+y\]

    \[9xy-y=1000x\]

    \[y(9x-1)=1000x\]

    \[y=\frac{1000x}{9x-1}=\frac{999x-111+x+111}{9x-1}\]

При x=14 y=125.

Ответ: а) да;  б) нет; в) 9.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *