Учимся решать задачу 19. Часть 10

[latexpage]

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – десятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах

$$1+x+x^2+x^3=2^y$$

Перепишем:

$$(1+x)(1+x^2)=2^y$$

Если $y<0$, то левая часть – целое, правая – дробная. Решений нет.

Если $y\geqslant 0$, то справа – степень двойки. Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ 1+x =2^n}\\{ 1+x^2=2^k } \end{matrix}$$

Так как для целых $1+x^2>1+x$,  то $k>n$.

И частное $\frac{1+x^2}{1+x}$ – тоже целое.

$$\frac{1+x^2}{1+x}=\frac{x^2-1+2}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$$

$x+1$ – делитель двойки, $x+1 \in \{1; -1; 2; -2\}$.

Тогда $x \in \{0; -2; 1; -3\}$.

При $x=-3$

$$1-3+9-27=2^y$$

Решений нет.

При $x=-2$

$$1-2+4-8=2^y$$

Решений нет.

При $x=0$

$$1+0+0+0=2^y$$

$$y=0$$

При $x=1$

$$1+1+1+1=2^y$$

$$y=2$$

Ответ: $(1; 2), (0;0)$

Задача 2. Максим должен был умножить двузначное число на трехзначное, вместо этого он просто приписал трехзначное число справа к двухзначному, и получил пятизначное число, которое в $N$ раз больше правильного результата ($N$ – натуральное).

а) Могло ли $N=2$?

б) Могло ли $N=10$?

в) Каково наибольшее значение $N$?

Приписывание трехзначного числа справа означает, что Максим умножил двузначное число на 1000 и затем прибавил к результату трехзначное число. Например, числа были 18 и 465. Тогда Максим получил число $18465=18\cdot1000+465$.

Пусть $x$ – двузначное, $y$ – трехзначное. Тогда согласно пункту а)

$$x\cdot 1000+y=2xy$$

$$2xy-y-1000x=0$$

$$2x(y-500)-(y-500)=500$$

$$(2x-1)(y-500)=500=4\cdot 125$$

Числа 4 и 125 выбраны произвольно.

Тогда, например,

$$2x-1=125$$

$$2x=126$$

$$x=63$$

$$y-500=4$$

$$y=504$$

Мы доказали, что $N$ может быть равно 2.

Рассмотрим пункт б).

$$x\cdot 1000+y=10xy$$

$$10xy-y-1000x=0$$

$$10x(y-100)-(y-100)=100$$

$$(10x-1)(y-100)=100$$

$x$ – двузначное, поэтому $10x\geqslant 100$. Следовательно,

$10x-1\geqslant 99$, но при $10x-1=100$ нет решений в целых числах.

Рассмотрим пункт в).

$$Nxy=1000x+y$$

$$N=\frac{1000}{y}+\frac{1}{x}$$

Чтобы получить максимально возможное $N$, нужно взять минимальные $x$ и $y$. Минимально возможное трехзначное число – 100, двузначное – 10.

$$N=\frac{1000}{100}+\frac{1}{10}$$

Но в пункте б) показано, что $N=10$ быть не может. Попробуем $N=9$.

$$9xy=1000x+y$$

$$9xy-y=1000x$$

$$y(9x-1)=1000x$$

$$y=\frac{1000x}{9x-1}=\frac{999x-111+x+111}{9x-1}$$

При $x=14$ $y=125$.

Ответ: а) да;  б) нет; в) 9.