Учимся решать задачу 19. Часть 10

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – десятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. Решить в целых числах

$1+x+x^2+x^3=2^y$

Перепишем:

$(1+x)(1+x^2)=2^y$

Если $y<0$ , то левая часть – целое, правая – дробная. Решений нет.

Если $y\geqslant 0$ , то справа – степень двойки. Тогда

$\begin{Bmatrix}{ 1+x =2^n}\\{ 1+x^2=2^k } \end{matrix}$

Так как для целых $1+x^2>1+x$ , то $k>n$ .

И частное $\frac{1+x^2}{1+x}$ – тоже целое.

$\frac{1+x^2}{1+x}=\frac{x^2-1+2}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$

$x+1$ – делитель двойки, $x+1 \in \{1; -1; 2; -2\}$ .

Тогда $x \in \{0; -2; 1; -3\}$ .

При $x=-3$

$1-3+9-27=2^y$

Решений нет.

При $x=-2$

$1-2+4-8=2^y$

Решений нет.

При $x=0$

$1+0+0+0=2^y$

$y=0$

При $x=1$

$1+1+1+1=2^y$

$y=2$

Ответ: $(1; 2), (0;0)$

Задача 2. Максим должен был умножить двузначное число на трехзначное, вместо этого он просто приписал трехзначное число справа к двухзначному, и получил пятизначное число, которое в $N$ раз больше правильного результата ( $N$ – натуральное).

а) Могло ли $N=2$ ?

б) Могло ли $N=10$ ?

в) Каково наибольшее значение $N$ ?

Приписывание трехзначного числа справа означает, что Максим умножил двузначное число на 1000 и затем прибавил к результату трехзначное число. Например, числа были 18 и 465. Тогда Максим получил число $18465=18\cdot1000+465$ .