[latexpage]
Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – десятая статья данной серии. Будем учиться решать задачи в целых числах. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. Решить в целых числах
$$1+x+x^2+x^3=2^y$$
Перепишем:
$$(1+x)(1+x^2)=2^y$$
Если $y<0$, то левая часть – целое, правая – дробная. Решений нет.
Если $y\geqslant 0$, то справа – степень двойки. Тогда
$$\begin{Bmatrix}{ 1+x =2^n}\\{ 1+x^2=2^k } \end{matrix}$$
Так как для целых $1+x^2>1+x$, то $k>n$.
И частное $\frac{1+x^2}{1+x}$ – тоже целое.
$$\frac{1+x^2}{1+x}=\frac{x^2-1+2}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}$$
$x+1$ – делитель двойки, $x+1 \in \{1; -1; 2; -2\}$.
Тогда $x \in \{0; -2; 1; -3\}$.
При $x=-3$
$$1-3+9-27=2^y$$
Решений нет.
При $x=-2$
$$1-2+4-8=2^y$$
Решений нет.
При $x=0$
$$1+0+0+0=2^y$$
$$y=0$$
При $x=1$
$$1+1+1+1=2^y$$
$$y=2$$
Ответ: $(1; 2), (0;0)$
Задача 2. Максим должен был умножить двузначное число на трехзначное, вместо этого он просто приписал трехзначное число справа к двухзначному, и получил пятизначное число, которое в $N$ раз больше правильного результата ($N$ – натуральное).
а) Могло ли $N=2$?
б) Могло ли $N=10$?
в) Каково наибольшее значение $N$?
Приписывание трехзначного числа справа означает, что Максим умножил двузначное число на 1000 и затем прибавил к результату трехзначное число. Например, числа были 18 и 465. Тогда Максим получил число $18465=18\cdot1000+465$.
Пусть $x$ – двузначное, $y$ – трехзначное. Тогда согласно пункту а)
$$x\cdot 1000+y=2xy$$
$$2xy-y-1000x=0$$
$$2x(y-500)-(y-500)=500$$
$$(2x-1)(y-500)=500=4\cdot 125$$
Числа 4 и 125 выбраны произвольно.
Тогда, например,
$$2x-1=125$$
$$2x=126$$
$$x=63$$
$$y-500=4$$
$$y=504$$
Мы доказали, что $N$ может быть равно 2.
Рассмотрим пункт б).
$$x\cdot 1000+y=10xy$$
$$10xy-y-1000x=0$$
$$10x(y-100)-(y-100)=100$$
$$(10x-1)(y-100)=100$$
$x$ – двузначное, поэтому $10x\geqslant 100$. Следовательно,
$10x-1\geqslant 99$, но при $10x-1=100$ нет решений в целых числах.
Рассмотрим пункт в).
$$Nxy=1000x+y$$
$$N=\frac{1000}{y}+\frac{1}{x}$$
Чтобы получить максимально возможное $N$, нужно взять минимальные $x$ и $y$. Минимально возможное трехзначное число – 100, двузначное – 10.
$$N=\frac{1000}{100}+\frac{1}{10}$$
Но в пункте б) показано, что $N=10$ быть не может. Попробуем $N=9$.
$$9xy=1000x+y$$
$$9xy-y=1000x$$
$$y(9x-1)=1000x$$
$$y=\frac{1000x}{9x-1}=\frac{999x-111+x+111}{9x-1}$$
При $x=14$ $y=125$.
Ответ: а) да; б) нет; в) 9.
Пример 2. При х=2.5,...
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...