Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 1

Начинаю серию статей по подготовке к решению задачи 19. Это – первая статья данной серии, начнем с простых задач, которые в дальнейшем будут усложняться.

Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. На какие числа может быть сокращена дробь \frac{2n+6}{3n+10}, где n – целое?

Определим НОД числителя и знаменателя дроби. Согласно  алгоритму Евклида, если два числа делятся на одно и то же число, то их разность тоже обязана на него делиться.

НОД (2n+6; 3n+10)= НОД (2n+6; 3n+10-(2n+6))= НОД (2n+6; n+4)=

НОД (n+4; 2n+6-2(n+4))= НОД(n+4; -2)

Видим, что данная дробь может быть сокращена на 2, при условии, что n – четное.

Ответ: 2.

Задача 2. Найти все натуральные n, при которых дробь \frac{2n+1}{n-2} будет целым числом.

Выделим целую часть:

    \[\frac{2n+1}{n-2}=\frac{2n-4+5}{n-2}=2+\frac{5}{n-2}\]

То есть дробь \frac{5}{n-2} должна быть целым числом, или, иными словами, 5 должно делиться на n-2. Это может быть, если n-2=5, n-2=1, n-2=-1, n-2=-5. В первом случае n=7 (натуральное), во втором – n=3 (тоже натуральное), в третьем случае n=1 (годится), а вот в последнем случае n целое, но не натуральное.

Ответ:  1, 3, 7.

Задача 3. Найти все натуральные n, при которых дробь \frac{n^4+3n^2+7}{n^2+1} будет целым числом.

Выделим целую часть:

    \[\frac{n^4+3n^2+7}{n^2+1}=\frac{(n^4+n^2)+(2n^2+2)+5}{n^2+1}=n^2+2+\frac{5}{n^2+1}\]

Число 5 должно делиться на n^2+1, то есть n^2+1 либо 1, либо 5.

В первом случае n=0, во втором – n=2. Последнее нас устроит, это натуральное число.

Ответ: n=2.

 

Задача 4. Найти все натуральные n, при которых n^5+2 делится на n+2.

Выделим целую часть, для этого разделим в столбик многочлен на многочлен:

    \[\frac{ n^5+2}{n+2}=n^4-2n^3+4n^2-8n+16-\frac{30}{n+2}\]

То есть \frac{30}{n+2} – целое. Натуральными делителями числа 30 являются 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. При таких делителях n будет равно -1, 0, 1, 3, 4, 8, 13, 28. Натуральными являются 1, 3, 4, 8, 13, 28.

Ответ: 1, 3, 4, 8, 13, 28.

Задача 5. Дано трехзначное число (не может начинаться с 0), не кратное 100.

а) может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70?

б) может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) какое наибольшее натуральное значение может принимать частное этого числа и суммы его цифр?

Решим а). Пусть есть число \overline{abc}

    \[\overline{abc}=100a+10b+c\]

Тогда

    \[100a+10b+c=70(a+b+c)\]

Упрощаем:

    \[30a-60b=69c\]

    \[10(a-2b)=23c\]

Тогда c должно делиться на 10. Но c – цифра, 0\leqslant c\leqslant 9.

Значит, c может принимать только значение 0. Если так, то

    \[a-2b=0\]

    \[a=2b\]

Если a=2, b=1, условие выполнено.

Решаем б).

Аналогично пункту а)

    \[100a+10b+c=81(a+b+c)\]

Упрощаем:

    \[19a-71b=80c\]

Если c=0, то решений в целых числах при 0\leqslant a\leqslant 9 нет  (19a=71b).

    \[19a=71b+80c\]

Тогда

    \[19\cdot 9\geqslant 71b+80c\]

    \[71b+80c \leqslant 171\]

Понятно, что c \leqslant 2.

Если c=1, b на подобрать. Если с=2 – тоже.

Решаем в).

    \[\frac{100a+10b+c }{a+b+c}=\frac{a+b+c +99a+9b}{a+b+c}=1+\frac{99a+9b}{a+b+c}\]

Нам необходимо получить максимальное значение дроби. Это возможно, если минимизировать знаменатель. В знаменателе присутствует слагаемое c, положим его равным 0. Если c=0, то

    \[\frac{100a+10b+c }{a+b+c}=\frac{a+b+c +99a+9b}{a+b+c}=1+\frac{99a+9b}{a+b}=1+\frac{9(a+b)+90a}{a+b}=10+\frac{90a}{a+b}\]

Снова ищем максимум. Хорошо бы, чтобы b=0, но в этом случае число \bar{abc} будет делиться на 100, что противоречит условию. Тогда, чтобы минимизировать числитель, примем b=1.

    \[10+\frac{90a}{a+b}=10+\frac{90a}{a+1}=10+\frac{90a+90-90}{a+1}=100-\frac{90}{a+1}\]

Теперь нужно добиться, чтобы из 100 вычиталось как можно меньшее число. То есть дробь \frac{90}{a+1} должна быть минимальной. Этого можно добиться при максимальном значении знаменателя. То есть берем максимальное возможное значение a – 9.  Тогда a=9, b=1, c=0.

    \[100-\frac{90}{a+1}=100-\frac{90}{9+1}=91\]

Ответ: а) да;   б) нет;  в) 91, если число 910.

 

Комментариев - 2

  • Елена
    |

    Разве в первой задаче n – четное? В условии указано только, что n – целое.

    Ответить
    • Анна
      |

      Вы правы, поправила.

      Ответить
  • Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *