Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – вторая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.
Задача 1. На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел. Все числа различны и не превосходят 5000. Известно, что сумма любых двух написанных чисел делится на хотя бы одно из оставшихся.
а) может ли быть написано 1024 числа?
б) может ли быть написано ровно 5 чисел?
в) Какое минимальное количество чисел может быть написано?
Решаем а). Пусть есть число . Например,
. Тогда 1024 числа могут быть написаны, к примеру 1, 2, 3, 4… 2045. Тогда сумма любых двух нечетных делится на 2, сумма любых двух делится на 1, а сумма 1+2 делится на 3.
Решаем б). Если взять числа , то условие будет выполняться. Тогда
Наш пример тогда 409, 818, 1227, 1636, 2045.
Решаем в) Пусть написано три числа . Будем считать
. Должно выполняться
,
,
. Если
делится на
, то должно быть
. Так как мы приняли
, то
, значит,
, то есть
.
Тогда , значит,
делится на
, следовательно,
, и аналогично предыдущим рассуждениям
, то есть
. Следовательно,
. Тогда имеем ряд
. Но число 2045 не делится ни на 2, ни на 3. Тогда
, но при этом число
больше 5000. То есть три числа не могут быть написаны.
Решаем в). Предположим, чисел 4. Тогда это могут быть числа ,
. То есть из ряда, полученного в пункте а) мы исключили число
(так как нам нужно было оставить
и
, чтобы
,
,
.
Ответ: а) да, например 409, 818, 1227, 1636, 2045; б) нет; в) да, например 409, 818, 1227, 2045.
Задача 2. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите максимально возможное исходное число.
Пусть есть число
Новое число
По условию
Упрощаем
Сократим
Можно записать
Видно, что это равенство выполняется, если ,
.Число
, поскольку мы ищем максимально возможное исходное, то примем
. Тогда
.
Сумма цифр исходного числа должна делиться на 9, , следовательно,
или
. Но мы помним, что разность этих двух чисел 1. Поэтому нас устроит
,
. Вариант с
не дает натуральных решений. Тогда искомое число 9018.
Ответ: 9018.
Решим ту же задачу, только найдем все варианты чисел и минимально возможное.
Задача 2a. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите все возможные исходные числа.
Аналогично предыдущей задаче
Новое число
По условию
Упрощаем
Сократим
Можно записать
Видно, что это равенство выполняется, если ,
.
Также, поскольку исходное делится на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9.
Откуда понятно, что – четное (левая часть делится на 2, значит, и правая тоже). При
Переберем варианты.
a | b | c | d |
---|---|---|---|
8 | 1 | 2 | 7 |
7 | 2 | 3 | 6 |
6 | 3 | 4 | 5 |
5 | 4 | 5 | 4 |
4 | 5 | 6 | 3 |
3 | 6 | 7 | 2 |
2 | 7 | 8 | 1 |
Ответ: 8127, 3276, 6345, 5454, 4563, 3672, 2781 – минимальное число.
...
[latexpage] $$\Delta l_1=\frac{(m_A+M)g}{k_1}$$ $$\Delta l_2=\frac{Mg}{k_2}$$ $$\Delta l_1+\Delta...
В таких ситуациях я обычно говорю ученикам: не надо думать, надо формулы писать :)))...
Да, в самом конце ошиблась при подстановке. Исправлено,...
в первой задаче скорость vx в конце равна v0cosa, а косинус равен 0,5 а у вас корень из 3...