Учимся решать задачу 19. Часть 2

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – вторая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел. Все числа различны и не превосходят 5000. Известно, что сумма любых двух написанных чисел делится на хотя бы одно из оставшихся.

а) может ли быть написано 1024 числа?

б) может ли быть написано ровно 5 чисел?

в) Какое минимальное количество чисел может быть написано?

Решаем а). Пусть есть число . Например, . Тогда 1024 числа могут быть написаны, к примеру 1, 2, 3, 4… 2045. Тогда сумма любых двух нечетных делится на 2, сумма любых двух делится на 1, а сумма 1+2 делится на 3.

Решаем б). Если  взять числа , то условие будет выполняться. Тогда

Наш пример тогда 409, 818, 1227, 1636, 2045.

Решаем в) Пусть написано три числа . Будем считать . Должно выполняться , , . Если делится на , то должно быть . Так как мы приняли , то , значит, , то есть  .

Тогда , значит, делится на   , следовательно, , и аналогично предыдущим рассуждениям , то есть  . Следовательно, . Тогда имеем ряд . Но число 2045 не делится ни на 2, ни на 3. Тогда , но при этом число больше 5000. То есть три числа не могут быть написаны.

Решаем в). Предположим, чисел 4. Тогда это могут быть числа , . То есть из ряда, полученного в пункте а) мы исключили число (так как нам нужно было оставить и , чтобы , , .

Ответ: а) да, например 409, 818, 1227, 1636, 2045; б) нет; в) да, например 409, 818, 1227, 2045.

Задача 2. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите максимально возможное исходное число.

Пусть есть число

Новое число

По условию

Упрощаем

Сократим

Можно записать

Видно, что это равенство выполняется, если , .Число , поскольку мы ищем максимально возможное исходное, то примем . Тогда .

Сумма цифр исходного числа должна делиться на 9, , следовательно, или . Но мы помним, что разность этих двух чисел 1. Поэтому нас устроит , . Вариант с не дает натуральных решений.  Тогда искомое число 9018.

Ответ: 9018.

Решим ту же задачу, только найдем все варианты чисел и минимально возможное.

Задача 2a. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите все возможные исходные числа.

Аналогично предыдущей задаче

Новое число

По условию

Упрощаем

Сократим

Можно записать

Видно, что это равенство выполняется, если , .

Также, поскольку исходное делится на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9.

Откуда понятно, что – четное (левая часть делится на 2, значит, и правая тоже). При

Переберем варианты.

Ответ: 8127, 3276, 6345, 5454, 4563, 3672, 2781 – минимальное число.