Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Теория чисел (19 (C7))

Учимся решать задачу 19. Часть 2

Серия статей по подготовке к решению задачи 19. Это – вторая статья данной серии. Данный курс – по сути, конспект лекций Олега Владимировича Суханова (вот ссылка на его канал на ю-туб). Я позволила себе лишь дополнить его несколькими задачами, а в некоторых случаях предложила свое решение.

Задача 1. На доске написано число 2045 и еще несколько (не менее двух) натуральных чисел. Все числа различны и не превосходят 5000. Известно, что сумма любых двух написанных чисел делится на хотя бы одно из оставшихся.

а) может ли быть написано 1024 числа?

б) может ли быть написано ровно 5 чисел?

в) Какое минимальное количество чисел может быть написано?

Решаем а). Пусть есть число a=1. Например, 2045+1 \vdots  2. Тогда 1024 числа могут быть написаны, к примеру 1, 2, 3, 4… 2045. Тогда сумма любых двух нечетных делится на 2, сумма любых двух делится на 1, а сумма 1+2 делится на 3.

Решаем б). Если  взять числа a, 2a, 3a, 4a, 5a, то условие будет выполняться. Тогда

    \[5a=2045\]

    \[a=409\]

Наш пример тогда 409, 818, 1227, 1636, 2045.

Решаем в) Пусть написано три числа a, b, c. Будем считать a<b<c. Должно выполняться a+b  \vdots  c, b+c \vdots  a, c+a \vdots  b. Если a+b делится на c, то должно быть a+b \geqslant c. Так как мы приняли a<c, b<c, то a+b < 2c, значит, c \leqslant a+b<2c, то есть  a+b=c.

Тогда a+c=2a+b \vdots b, значит, 2a делится на b  2a\vdots b, следовательно, 2a\geqslant b, и аналогично предыдущим рассуждениям a<b\leqslant 2a, то есть  b=2a. Следовательно, c=3a. Тогда имеем ряд a, 2a, 3a. Но число 2045 не делится ни на 2, ни на 3. Тогда a=2045, но при этом число c=3a больше 5000. То есть три числа не могут быть написаны.

Решаем в). Предположим, чисел 4. Тогда это могут быть числа a, 2a, 3a, 5a, a=409. То есть из ряда, полученного в пункте а) мы исключили число 4a (так как нам нужно было оставить a, 2a и 3a, чтобы a+2a \vdots 3a, a+3a \vdots  2a, 2a+3a \vdots 5a.

Ответ: а) да, например 409, 818, 1227, 1636, 2045; б) нет; в) да, например 409, 818, 1227, 2045.

Задача 2. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите максимально возможное исходное число.

Пусть есть число \overline{abcd}

    \[\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\]

Новое число \overline{dcba}

    \[\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\]

По условию

    \[1000a+100b+10c+d-(1000d+100c+10b+a)=909\]

Упрощаем

    \[999a+90b-90c-999d=909\]

Сократим

    \[111a+10b-10c-111d=101\]

Можно записать

    \[111(a-d)=10(c-b)+101\]

Видно, что это равенство выполняется, если a-d=1, c-b=1.Число a\legslant 9, поскольку мы ищем максимально возможное исходное, то примем a=9. Тогда d=8.

Сумма цифр исходного числа должна делиться на 9, a+d=17, следовательно, b+c=1 или b+c=10. Но мы помним, что разность этих двух чисел 1. Поэтому нас устроит b=0, c=1. Вариант с b+c=10 не дает натуральных решений.  Тогда искомое число 9018.

Ответ: 9018.

Решим ту же задачу, только найдем все варианты чисел и минимально возможное.

Задача 2a. Цифры четырехзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырехзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили число 909. Найдите все возможные исходные числа.

Аналогично предыдущей задаче

    \[\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\]

Новое число \overline{dcba}

    \[\overline{dcba}=1000d+100c+10b+a\]

По условию

    \[1000a+100b+10c+d-(1000d+100c+10b+a)=909\]

Упрощаем

    \[999a+90b-90c-999d=909\]

Сократим

    \[111a+10b-10c-111d=101\]

Можно записать

    \[111(a-d)=10(c-b)+101\]

Видно, что это равенство выполняется, если a-d=1, c-b=1.

Также, поскольку исходное делится на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9.

    \[a+b+c+d=9n\]

    \[a=d+1\]

    \[c=b+1\]

    \[d+1+b+b+1+d=9n\]

    \[2d+2b+2=9n\]

Откуда понятно, что n – четное (левая часть делится на 2, значит, и правая тоже). При n=2

    \[d+b+1=9\]

    \[d+b=8\]

Переберем варианты.

abcd
8127
7236
6345
5454
4563
3672
2781

Ответ: 8127, 3276, 6345, 5454, 4563, 3672, 2781 – минимальное число.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *