Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Изопроцессы

Трубки со ртутью

Когда трубка расположена горизонтально, то давления в правом и левом воздушных карманах одинаковы.  Когда трубку перевернут вертикально, давление в верхней части станет меньше (так как объем увеличится из-за сползания столбика ртути вниз под действием силы тяжести), а в нижнем – больше (будет давить столбик ртути). На этом и будем основывать решения подобных задач.

Задача 1. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной 1 м находится столбик ртути длиной 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на 10 см. До какого давления была откачана трубка?

Когда трубка расположена горизонтально, то давления в правом и левом воздушных карманах одинаковы. И объемы карманов одинаковы, так как по условию столбик находится посередине. Обозначим давление в воздушном кармане при таком положении трубки p_1 – это наша искомая величина. Когда трубку перевернут вертикально, давление в верхней части станет меньше (так как объем увеличится из-за сползания столбика ртути вниз под действием силы тяжести), а в нижнем – больше (будет давить столбик ртути)

К задаче 1 – трубка расположена горизонтально

К задаче 1 – трубка расположена вертикально

    \[p_2S=mg+p_3S\]

Здесь p_3 – это давление в верхнем кармане, p_2 – в нижнем. Температура не меняется, следовательно, когда трубку поставят вертикально, то для нижнего кармана

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

    \[p_1=\frac{ p_2V_2}{ V_1}\]

Подставим p_2:

    \[p_1=\frac{ (mg+p_3S )V_2}{ SV_1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]

Для верхнего кармана

    \[p_1V_1=p_3V_3\]

    \[p_3=\frac{p_1V_1}{V_3}\]

Подставим это выражение в (1):

    \[p_1=\frac{ (mg+\frac{p_1V_1S}{V_3})V_2}{SV_1}=\frac{mg}{S}+\frac{p_1V_2}{V_3}\]

Но объемы пропорциональны высотам карманов, так как сечение у трубки везде одинаковое. Поэтому

    \[p_1=\frac{mg}{S}+\frac{p_1h_2}{h_3}\]

При этом h_1=\frac{l-l_0}{2}, h_2=h_1-0,1, h_3=h_1+0,1

Картинка

Выразим p_1:

    \[p_1=\frac{mgh_2}{Sh_1}\cdot\frac{h_3}{h_3-h_2}\]

Давление столбика ртути запишем так

    \[\frac{mg}{S}=\rho g l_0\]

Тогда

    \[p_1=\frac{\rho l_0 gh_2}{h_1}\cdot\frac{h_3}{h_3-h_2}=\frac{13600\cdot0,2\cdot10\cdot 0,3}{0,4}\cdot\frac{0,5}{0,2}=51000\]

Ответ: 51 кПа.
Задача 2. В трубке с газом длиной 1,73 м, закрытой с обоих концов, находится столбик ртути длиной 30 см. Когда трубка расположена вертикально, столбик ртути делит трубку на две равные части. Давление газа над ртутью равно 8 кПа. На какое расстояние сместится столбик ртути, если трубку положить горизонтально?

К задаче 2 – трубка расположена вертикально

Сначала, когда трубка стоит вертикально, объемы воздушных карманов равны, но не равны давления в них. Пусть в верхнем кармане давление p_1, а в нижнем –  p_2. Так как сечение трубки одинаково, то можно записать, что высоты карманов (а высоты определяют объемы) равны – пусть это будет длина h_0. Тогда

    \[h_0=\frac{L-l}{2}\]

Где L=1,73 – длина всей трубки, l – длина столбика ртути.

К задаче 2 – трубка расположена горизонтально

Когда трубку положат, то давления уравняются, а объемы перестанут быть равными. Длина кармана, что был вверху, уменьшится, а кармана, бывшего внизу – увеличится. Процесс выравнивания давлений – изотермический, поэтому для верхнего кармана

    \[p_1V_0=p_1'V_1\]

Для нижнего:

    \[p_2V_0=p_2'V_2\]

Но, как мы заметили ранее, давления выровняются, поэтому p_1'= p_2'. Разделим уравнения друг на друга с учетом сказанного:

    \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{p_1}{p_2}\]

Заменяя объемы на высоты карманов (h_1 – новая длина кармана, бывшего вверху, h_2 – новая высота нижнего кармана), получим:

    \[\frac{h_1}{h_2}=\frac{p_1}{p_2}\]

Давление p_2 можно записать для вертикального положения трубки:

    \[p_2=p_1+\rho g l\]

Тогда

    \[\frac{h_1}{h_2}=\frac{p_1}{ p_1+\rho g l }\]

    \[h_1=\frac{p_1 h_2}{ p_1+\rho g l }\]

Но

    \[L=h_1+h_2+l\]

Следовательно,

    \[h_1= L-h_2-l\]

    \[L-h_2-l=\frac{p_1 h_2}{ p_1+\rho g l }\]

    \[L -l=\frac{p_1 h_2}{ p_1+\rho g l } +h_2\]

    \[h_2=\frac{L-l}{1+\frac{p_1}{ p_1+\rho g l }}\]

    \[h_2=\frac{(L-l)( p_1+\rho g l)}{2p_1+\rho g l }\]

    \[\Delta h=h_0-h_2=\frac{L-l}{2}-h_2=\frac{L-l}{2}-\frac{(L-l)( p_1+\rho g l)}{2p_1+\rho g l }\]

Подставим числа:

    \[\Delta h=\frac{1,73-0,3}{2}-\frac{(1,73-0,3)( 8000+136000\cdot0,3)}{16000+136000\cdot0,3}=0,715-1,228=-0,513\]

Так как h_2 больше, чем h_0, то логичен отрицательный результат. Но нам знак в данном случае не важен, а важен модуль этого перемещения: 51,3 см.

Ответ: 51,3 см.
Задача 3. Узкая цилиндрическая трубка, закрытая с одною конца, содержит воздух, отделенный от наружного воздуха столбиком ртути. Когда трубка обращена закрытым концом кверху, воздух внутри нее занимает длину l_1. Когда же трубка повернута открытым концом вверх, воздух в ней занимает длину l_2. Длина столбика ртути равна h. Определите атмосферное давление.

К задаче 3

Трубка повернута открытым концом вниз. Атмосферное давление удерживает столбик ртути внутри нее:

    \[p_0=p_1+\rho g h\]

Теперь перевернем трубку. На воздушный карман давит атмосфера да еще и столбик ртути:

    \[p_2=p_0+\rho g h\]

К этому можно еще добавить закон Бойля-Мариотта:

    \[p_1V_1=p_2V_2\]

Или, так как сечение трубки одинаковое по всей длине, то

    \[p_1l_1=p_2l_2\]

Подставляем:

    \[l_1(p_0-\rho g h)=l_2(p_0+\rho g h)\]

    \[p_0(l_1-l_2)= \rho g h(l_2+l_1)\]

Откуда

    \[p_0=\frac{\rho g h(l_2+l_1)}{ l_1-l_2}\]

Ответ: p_0=\frac{\rho g h(l_2+l_1)}{ l_1-l_2}

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *