Трубки с жидкостью – 2

Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика воды. Слева на него давит  столб воды высотой $\frac{L}{3}$ и атмосфера. Тогда

$$ma=(\rho g \frac{L}{3}+p_0)S$$

Откуда

$$p_1=\rho g \frac{L}{3}+p_0 $$

Теперь найдем давление у запаянного конца. Тогда по второму закону произведение $ma$ будет равно разности сил давлений у правого и левого концов горизонтального столба воды:

$$ma=((p+p_0)-p_1)S$$

$$pS=ma+p_1S-p_0S=\rho L S\cdot \frac{g}{5}+(\rho g \frac{L}{3}+p_0)S-p_0S$$

$$p=\rho L \cdot \frac{g}{5}+\rho g \frac{L}{3}=\rho g \frac{8L}{15}$$

Ответ: у изгиба давление равно $p_1=\rho g \frac{L}{3}+p_0 $, у запаянного конца $p=\rho g \frac{8L}{15}$.

Когда мы начнем двигать трубку с ускорением, например,  вправо, то в правом колене ртуть опустится, а в левом – поднимется до краев.

Так как всего длина столбика составляет $L+\frac{2L}{9}=\frac{11L}{9}$, то, если $\frac{9L}{9}$ этой длины окажется в вертикальном колене, то в горизонтальном останется только $\frac{2L}{9}$. Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика ртути. Слева на него давит  столб ртути высотой $L$:

$$ma=\rho gL S$$

Где $m=\frac{2L}{9}\cdot \rho S$

Тогда:

$$\frac{2L}{9}\cdot \rho S a=\rho gL S$$

Или

$$a=\frac{9}{2}g$$

Ответ: $a=4,5g=45$ м/с$^2$.

Когда начнется движение тройника с ускорением в указанную сторону (влево), столб воды в правом колене поднимется и излишек выльется, при этом высота правого столба будет полной – $l$. А вот в среднем колене столбик станет ниже. Давайте определим, на сколько.

Полная масса воды в тройнике

$$m=4\rho l S$$

Так как вылилось $\frac{m}{16}$, то это  $\frac{\rho l S }{4}$ – то есть в левом вертикальном колене уровень опустился на $\frac{l}{4}$.

При движении жидкости в сосуде ее поверхность наклонена к горизонтали под некоторым углом. Этот угол можно  определить из треугольника ускорений. Тогда

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}$$

Угол наклона поверхности жидкости мы можем также найти из рисунка:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{l}{4}}{l}=0,25$$

Следовательно,

$$\frac{a}{g}=0,25$$

$$a=0,25g$$

Теперь определим давление у закрытого конца. По второму закону Ньютона для горизонтального столбика жидкости длиной $l$ (от точки $O$ до точки $O’$)

$$ma=( (p_0+\rho \frac{3}{4}l)-p)S$$

Подставим ускорение и массу:

$$\rho lS\cdot0,25g=((p_0+\rho g\frac{3}{4}l)-p)S$$

$$\rho l\cdot0,25g=p_0+\rho g \frac{3}{4}l-p$$

$$p= p_0+\rho g \frac{3}{4}l-\rho l\cdot0,25g =p_0+\rho g \frac{l}{2} $$

Ответ: $p= p_0+\rho g \frac{l}{2} $.

Когда начнется движение тройника с ускорением в указанную сторону (вправо), столб воды в левом колене поднимется и излишек выльется, при этом высота левого столба будет полной – $l$. А вот в среднем колене и в правом столбики станут ниже. Давайте определим, на сколько.

Полная масса воды в тройнике

$$m=4\rho l S$$

Так как вылилось $\frac{9m}{32}$, то это  $\frac{9\rho l S }{8}$.

При движении жидкости в сосуде ее поверхность наклонена к горизонтали под некоторым углом. Этот угол можно  определить из треугольника ускорений. Тогда

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}$$

Угол наклона поверхности жидкости мы можем также найти из рисунка: так все вертикальные колена расположены на одном расстоянии, то треугольники $ABC$ и $AEF$ подобны с коэффициентом 2, следовательно, $EF=2BC$ и тогда уровень в правом колене опустился на $\frac{6l}{8}$, а в среднем на $\frac{3l}{8}$. Теперь можно определить тангенс угла наклона прямой $AF$ к горизонту:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{6l}{8}}{l}=0,75$$

Следовательно,

$$\frac{a}{g}=0,75$$

$$a=0,75g$$

Ответ: $a=0,75g$

Когда начнется движение тройника с ускорением в указанную сторону (влево), столб воды в правом колене поднимется и излишек выльется, при этом высота правого столба будет полной – $l$. А вот в левом колене столбик станет ниже. Давайте определим, на сколько.

Полная масса воды в тройнике

$$m=4\rho l S$$

Так как вылилось $\frac{m}{8}$, то это  $\frac{\rho l S }{2}$. То есть в левом колене высота столба равна $\frac{\rho l S }{2}$.

Теперь можно определить тангенс угла наклона прямой уровня к горизонту:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{\frac{l}{2}}{l}=0,5$$

Тогда

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{a}{g}=0,5$$

Следовательно,

$$a=0,5g$$

Определяем давление в нижней части трубки:

$$p=p_0+\rho g l+p_1$$

Где $p_1$- давление в центральной части горизонтального отрезка. Определим его. Можно его найти как среднее арифметическое между величинами давлений в правом и левом столбах (это получится из второго закона Ньютона, если вы его составите):

$$p_1=\frac{\rho g l +\frac{\rho g l }{2}}{2}=0,75\rho g l$$

Тогда

$$p=p_0+1,75\rho g l$$

Ответ: $p=p_0+1,75\rho g l$