[latexpage]
В этой статье мы будем разгонять разнообразной формы трубки, наполненные различными жидкостями, и наблюдать, как из них выливается часть содержимого. Эти задачи часто присутствуют на разного рода олимпиадах по физике. Вращать трубки мы тоже будем, в следующей статье.
Задача 1. («Физтех», 2016, 9) Тонкая Г-образная трубка постоянного внутреннего сечения полностью заполнена ртутью (см. рисунок). Горизонтальное колено трубки закрыто с одного конца и имеет длину $L = 150$ см. Вертикальное колено высотой $H = 10$ см открыто в атмосферу. Атмосферное давление $p_0 = 740$ мм рт. ст. Ртуть начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим чем $a_0$.
1) Найти давление (в мм рт. ст.) в середине горизонтального колена при движении с ускорением $a_0$.
2) Найти длину вылившегося слоя ртути при движении с ускорением $\frac{5a_0}{4}$.
Рисунок 1
Решение.
Показать
Запишем второй закон Ньютона для массы ртути в горизонтальном колене. Сила давления столба ртути в вертикальном колене равна $S(p_0+\rho g H)$, тогда второй закон выглядит так:
$$ma_0= S(p_0+\rho g H)$$
Отсюда можно найти ускорение:
$$a_0=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{m}=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{\rho L S}=\frac{ p_0+\rho g H}{\rho L }$$
Теперь определим давление в середине горизонтального колена. Для этого запишем второй закон Ньютона для левой половинки горизонтального столбика ртути. Слева на него давит атмосфера и вертикальный столбик, справа на него давит правая половинка горизонтального столба. Разность указанных сил давления равна $\frac{m}{2}a_0$:
$$\frac{m}{2}a_0= S(p_0+\rho g H)-pS$$
Делим на площадь $S$
$$p= p_0+\rho g H-\frac{m a_0}{2S}$$
Подставляем массу:
$$p= p_0+\rho g H-\frac{\rho L a_0}{2}$$
Подставляем найденное ранее ускорение:
$$p= p_0+\rho g H-\frac{ p_0+\rho g H }{2}=\frac{ p_0+\rho g H }{2}=370+\frac{13600\cdot9,8\cdot0,1}{2\cdot133}=420,1$$
Теперь определим, сколько выльется ртути.
Для этого снова составим второй закон Ньютона для горизонтального столбика. Когда ртуть начнет выливаться, вертикальный столбик будет оставаться таким же по высоте, а вот горизонтальный укоротится. Поэтому при составлении второго закона мы учтем, чт о масса горизонтального столба теперь другая:
$$m_1\cdot \frac {5a_0}{4} = S(p_0+\rho g H)$$
$$m_1=\rho L_1 S$$
$$m_1=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{ \frac {5a_0}{4}}=\frac{ 4S(p_0+\rho g H)}{5a_0}=\frac{ 4S\rho L(p_0+\rho g H)}{5(p_0+\rho g H )}= \frac{ 4S\rho L}{5}$$
Тогда
$$\rho L_1 S=\frac{ 4S\rho L}{5}$$
Делим на сечение и плотность ртути:
$$L_1=\frac{ 4L}{5}$$
То есть длина столбика стала равной $0,8L$, значит, вылилось $0,2L$, или 30 см.
Ответ: давление в середине горизонтального столба при движении с ускорением $a_0$ 420 мм. рт. ст., при движении с новым ускорением выльется 30 см.
Задача 2. («Физтех», 2016, 9) Тонкая $U$-образная трубка постоянного внутреннего сечения с горизонтальным коленом длиной $L$ и двумя одинаковыми вертикальными коленами, открытыми в атмосферу, заполнена водой не полностью (см. рисунок). В каждом вертикальном колене остается слой воздуха длиной $H$. Вода начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим, чем некоторая величина $a_0$.
1) Найти ускорение $a_0$.
2) Найти длину вылившегося слоя воды при движении с ускорением $\frac{4a_0}{3}$.
Горизонтальное колено остаётся всегда заполненным водой.
Рисунок 2
Решение.
Показать
Когда мы начнем двигать трубку с ускорением вправо, то в правом колене вода опустится, а в левом – поднимется до краев. Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика воды. Слева на него давит столб воды высотой $h+H$, а справа – столб высотой $h-H$. Тогда
$$ma_0=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H)S$$
Откуда
$$a_0=\frac{2\rho g H S}{m}=\frac{2\rho g H S}{\rho L S}=\frac{2g H}{L}$$
Новое ускорение будет равно $a=\frac{4}{3}\cdot\frac{2g H}{L}=\frac{8g H}{3L}$.
Чтобы определить, сколько выльется воды, снова составим второй закон, только учтем, что высота левого столбика воды по-прежнему равна $h+H$, а справа теперь столб высотой $h-H-L_v$, где $L_v$ – длина вылившегося столбика.
$$ma=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H-L_v)S$$
$$ma=\rho g S (2H+L_v)$$
Подставляем массу горизонтального столба и новое ускорение:
$$\rho L S\frac{8g H}{3L}=\rho g S (2H+L_v)$$
Отсюда
$$\frac{8 H}{3}=2H+L_v$$
$$L_v=\frac{2H}{3}$$
Ответ: $a_0=\frac{2g H}{L}$, $L_v=\frac{2H}{3}$.
Задача 3. («Физтех», 2016, 10) Тонкая Г-образная трубка постоянного внутреннего сечения полностью заполнена ртутью (см. рисунок). Горизонтальное колено трубки закрыто с одного конца. Вертикальное колено высотой $H = 8$ мм открыто в атмосферу. Атмосферное давление $p_0 = 752$ мм рт. ст. Ртуть начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим чем $a_0 = 0,8g$. При движении трубки с некоторым ускорением $a$, большим $a_0$, выливается слой ртути длиной $l = 19$ см.
1) Найти длину $L$горизонтального колена.
2) Найти ускорение $a$.
Рисунок 3
Решение.
Показать
Запишем второй закон Ньютона для массы ртути в горизонтальном колене. Сила давления столба ртути в вертикальном колене равна $S(p_0+\rho g H)$, тогда второй закон выглядит так:
$$ma_0= S(p_0+\rho g H)$$
$$\rho L S a_0= S(p_0+\rho g H)$$
Отсюда можно найти длину горизонтального колена $L$:
$$L=\frac{ S(p_0+\rho g H)}{ \rho S a_0}=\frac{ p_0+\rho g H}{\rho\cdot 0,8g}=$$
$$=\frac{ 752\cdot 133+13600\cdot9,8\cdot0,008}{13600\cdot0,8\cdot9,8}=0,95$$
Теперь снова составим второй закон с учетом того, что длина горизонтального столба укоротилась на 0,19 м:
$$m_1a= S(p_0+\rho g H)$$
$$m_1=\rho (L-0,19)S$$
Подставим:
$$\rho (L-0,19)S a= S(p_0+\rho g H)$$
Тогда
$$a=\frac{ p_0+\rho g H }{\rho (L-0,19)}= \frac{ 752\cdot 133+13600\cdot9,8\cdot0,008}{13600 (0,95-0,19)}=9,8$$
Ответ: $L=0,95$ м, $a=g$.
Задача 4. (‹Физтех», 2016, 10) Тонкая $U$-образная трубка постоянного внутреннего сечения с горизонтальным коленом длиной $L$ и двумя одинаковыми вертикальными коленами, открытыми в атмосферу, заполнена водой не полностью (см. рисунок). В каждом вертикальном колене остаётся слой воздуха. Вода начинает выливаться, если трубку двигать вдоль горизонтального колена с постоянным ускорением, не меньшим, чем $a_0= \frac{g}{8}$.
1)Найти длину $H$ слоя воздуха в одном вертикальном колене, когда трубка покоится.
2)Найти длину вылившегося слоя воды при движении с ускорением $a=\frac{g}{6}$.
Горизонтальное колено остаётся всегда заполненным водой.
Рисунок 4
Решение.
Показать
Когда мы начнем двигать трубку с ускорением вправо, то в правом колене вода опустится, а в левом – поднимется до краев. Составим уравнение по второму закону Ньютона для горизонтального столбика воды. Слева на него давит столб воды высотой $h+H$, а справа – столб высотой $h-H$. Тогда
$$ma_0=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H)S$$
Откуда
$$\frac{g}{8}m=2\rho g H S$$
$$H=\frac{m}{16\rho S}=\frac{\rho L S}{16\rho S}=\frac{L}{16}$$
Чтобы определить, сколько выльется воды, снова составим второй закон, только учтем, что высота левого столбика воды по-прежнему равна $h+H$, а справа теперь столб высотой $h-H-L_v$, где $L_v$ – длина вылившегося столбика.
$$ma=\rho g (h+H)S-\rho g (h-H-L_v)S$$
$$ma=\rho g S (2H+L_v)$$
Подставляем массу горизонтального столба и новое ускорение:
$$\rho L S\cdot \frac{g }{6}=\rho g S (2H+L_v)$$
Отсюда
$$\frac{L}{6}=2H+L_v$$
Вместо $H$ подставим $\frac{L}{16}$:
$$L_v=\frac{L}{6}-\frac{L}{8}=\frac{L}{24}$$
Ответ: $H=\frac{L}{16}$, $L_v=\frac{L}{24}$.
Комментариев - 3
Формула в 3-ей задаче перекрыта рисунком 3!
А почему в первой задаче сказано что Когда ртуть начнет выливаться, вертикальный столбик будет оставаться таким же по высоте, а вот горизонтальный укоротится. Поэтому при составлении второго закона мы учтем, чт о масса горизонтального столба теперь другая. Все же будет как раз наоборот.
Когда будем двигать трубку вправо с ускорением, ртуть начнет “вжимать” в левую сторону. А там трубка сверху открыта и ртути есть, куда сбежать. В правой же части сосуда ртуть “отступит” от стенки и образуется вакуум.