[latexpage]
В предыдущих двух статьях мы разгоняли изогнутые трубки с жидкостями, в результате чего из них выливалась часть содержимого. Теперь мы будем такие трубки вращать. Все найденные мною задачи на эту тему я разделила на две статьи, так что продолжение следует!
Задача 1. (‹Физтех», 2016, 9) Тонкая трубка запаяна с одного конца, заполнена жидкостью плотностью $ \rho$ и закреплена на горизонтальной платформе (см. рисунок). Открытое колено трубки вертикально и заполнено жидкостью до высоты $H$. Платформа вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси. Вертикальное колено находится на расстоянии $R$, а конец горизонтального – на расстоянии $7R$ от оси вращения. Атмосферное давление равно $p_0$.

Рисунок 1
1) Найти давление жидкости в месте изгиба трубки.
2) Найти давление жидкости в горизонтальном колене на расстоянии $2R$ от оси вращения.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене: $p_1=p_0+\rho g H$.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии $2R$ от оси вращения, а левый – на расстоянии $R$. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии $1,5R$ от оси вращения. Масса такого столбика равна
$$m=\rho SR$$
На этот столбик слева давит столб жидкости в вертикальном колене, а давление справа обозначим $p_2$. Тогда
$$ma_n=(p_2-p_1)S= p_2S- (p_0+\rho g H)S~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
$$a_n=\omega^2\cdot \frac{3R}{2} $$
Подставим все в (1):
$$\rho SR \cdot \omega^2\cdot \frac{3R}{2}= p_2S- (p_0+\rho g H)S$$
$$ p_2 =\rho R \cdot \omega^2\cdot \frac{3R}{2}+p_0+\rho g H$$
$$p_2= p_0+\rho g H+1,5\rho R^2 \omega^2$$
Ответ: $p_1=p_0+\rho g H$, $p_2= p_0+\rho g H+1,5\rho R^2 \omega^2$
Задача 2. (МФТИ, 1996 ) Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена ртутью и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси так, что ртуть не выливается и заполняет полностью горизонтальное колено трубки (см. рисунок). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке. Атмосферное давление $p_0$‚ плотность ртути $\rho$.

Рисунок 2
1) Найти давление ртути в месте изгиба трубки.
2) Найти давление ртути у запаянного конца трубки.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене: $p_1=p_0+\rho g H$.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии $R$ от оси вращения, а левый – на расстоянии $3R$. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии $2R$ от оси вращения. Масса такого столбика равна
$$m=\rho S\cdot 2R$$
На этот столбик слева давит столб жидкости в вертикальном колене, а давление справа обозначим $p_2$. Тогда
$$ma_n=(p_1-p_2)S= (p_0+\rho g H)S -p_2S~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
$$a_n=\omega^2\cdot 2R$$
Подставим все в (1):
$$\rho S\cdot 2R \cdot \omega^2\cdot 2R= (p_0+\rho g H)S- p_2S $$
$$ p_2 =-\rho 4R^2 \cdot \omega^2+p_0+\rho g H$$
Ответ: $p_1=p_0+\rho g H$, $p_2= p_0+\rho g H-4\rho R^2 \omega^2$
Задача
3. (МФТИ, 1996) Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена водой и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси (см. рисунок). Открытое и запаянное колена трубки вертикальны. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление $p_0$‚ плотность воды $\rho$.

Рисунок 3
1) Найти давление воды в месте изгиба трубки, расположенном на оси вращения.
2) Найти давление ртути у запаянного конца трубки.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене: $p_1=p_0+\rho g H$.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии $L$ от оси вращения, а левый – на оси. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии $\frac{L}{2}$ от оси вращения. Масса такого столбика равна
$$m=\rho L S$$
На этот столбик слева давит столб жидкости в вертикальном колене, а справа – столбик высотой $h$. Обозначим давление у запаянного конца $p$. Тогда
$$ma_n=(p_1-p_2)S=(p+\rho g h) S- (p_0+\rho g H)S ~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
$$a_n=\omega^2\cdot \frac{L}{2}$$
Подставим все в (1):
$$\rho LS \cdot \omega^2\cdot \frac{L}{2}= pS+\rho g h S- (p_0+\rho g H)S $$
$$ p =\frac{\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}+p_0+\rho g H-\rho g h$$
$$ p =\frac{\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}+p_0+\rho g (H- h)$$
Ответ: $p_1=p_0+\rho g H$, $ p =\frac{\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}+p_0+\rho g (H- h)$
Задача
4. (МФТИ, 1996) Тонкая трубка, запаянная сходного конца, заполнена маслом и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси так, что масло не выливается и заполняет полностью горизонтальное колено трубки (см. рисунок). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление $p_0$‚ плотность масла $\rho$.

Рисунок 4
1) Найти давление масла в месте изгиба трубки.
2) Найти давление масла у запаянного конца трубки.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене: $p_1=p_0+\rho g H$.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии $L$ от оси вращения, а левый – на расстоянии $2L$. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии $\frac{L}{2}$ от оси вращения. Масса такого столбика равна
$$m=3\rho L S$$
На этот столбик справа давит столб жидкости в вертикальном колене, а давление слева обозначим $p$. Тогда
$$ma_n=(p_1-p_2)S=(p+\rho g h) S- pS ~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
$$a_n=\omega^2\cdot \frac{L}{2}$$
Подставим все в (1):
$$3\rho LS \cdot \omega^2\cdot \frac{L}{2}= (p_0+\rho g H)S- pS $$
$$ p = p_0+\rho g H- \frac{3\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}$$
Ответ: $p_1=p_0+\rho g H$, $ p = p_0+\rho g H- \frac{3\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}$.
Через недельку...
и за этот ответ спасибо. Теперь уж...
Огромное спасибо...
А почему я не вижу нормального текста ? Половина текст ,а другая половина символы ...
Ждем-с. Скоро...