В предыдущих двух статьях мы разгоняли изогнутые трубки с жидкостями, в результате чего из них выливалась часть содержимого. Теперь мы будем такие трубки вращать. Все найденные мною задачи на эту тему я разделила на две статьи, так что продолжение следует!
Задача 1. (‹Физтех», 2016, 9) Тонкая трубка запаяна с одного конца, заполнена жидкостью плотностью
и закреплена на горизонтальной платформе (см. рисунок). Открытое колено трубки вертикально и заполнено жидкостью до высоты
. Платформа вращается с угловой скоростью
вокруг вертикальной оси. Вертикальное колено находится на расстоянии
, а конец горизонтального – на расстоянии
от оси вращения. Атмосферное давление равно
.

Рисунок 1
1) Найти давление жидкости в месте изгиба трубки.
2) Найти давление жидкости в горизонтальном колене на расстоянии
от оси вращения.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене:
.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии
от оси вращения, а левый – на расстоянии
. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии
от оси вращения. Масса такого столбика равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[m=\rho SR\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7fbc57be7e7c81fed34bb408893887c6_l3.png)
На этот столбик слева давит столб жидкости в вертикальном колене, а давление справа обозначим
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ma_n=(p_2-p_1)S= p_2S- (p_0+\rho g H)S~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee899518eb8827a834bf537394726d85_l3.png)
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[a_n=\omega^2\cdot \frac{3R}{2}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf90f87b073f1ea2dfd373ae4e5e40f0_l3.png)
Подставим все в (1):
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\rho SR \cdot \omega^2\cdot \frac{3R}{2}= p_2S- (p_0+\rho g H)S\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-750961ddad7b8596fde623985317c704_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p_2 =\rho R \cdot \omega^2\cdot \frac{3R}{2}+p_0+\rho g H\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5baae2c4c6c344f0cacd1783d121ebac_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p_2= p_0+\rho g H+1,5\rho R^2 \omega^2\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc87cbbc5bdfa4571bab1d3f58f05cdf_l3.png)
Ответ:
, 
Задача 2. (МФТИ, 1996 ) Тонкая запаянная с одного конца трубка заполнена ртутью и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью
вокруг вертикальной оси так, что ртуть не выливается и заполняет полностью горизонтальное колено трубки (см. рисунок). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки указаны на рисунке. Атмосферное давление
‚ плотность ртути
.

Рисунок 2
1) Найти давление ртути в месте изгиба трубки.
2) Найти давление ртути у запаянного конца трубки.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене:
.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии
от оси вращения, а левый – на расстоянии
. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии
от оси вращения. Масса такого столбика равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[m=\rho S\cdot 2R\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec23f39e837a930fef2f0ffc825bf9ad_l3.png)
На этот столбик слева давит столб жидкости в вертикальном колене, а давление справа обозначим
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ma_n=(p_1-p_2)S= (p_0+\rho g H)S -p_2S~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ca1e6e16483b4df22b12173758769eb8_l3.png)
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[a_n=\omega^2\cdot 2R\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-087c7af04805ec1a62ebe14ccd00e72a_l3.png)
Подставим все в (1):
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\rho S\cdot 2R \cdot \omega^2\cdot 2R= (p_0+\rho g H)S- p_2S\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a527f22f9f058c6f9847ee8a1b60bdf5_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p_2 =-\rho 4R^2 \cdot \omega^2+p_0+\rho g H\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c1f5e7ff85654f5b890cc3d976c8c85a_l3.png)
Ответ:
, 
Задача
3. (МФТИ, 1996) Тонкая трубка, запаянная с одного конца, заполнена водой и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью

вокруг вертикальной оси (см. рисунок). Открытое и запаянное колена трубки вертикальны. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление

‚ плотность воды

.

Рисунок 3
1) Найти давление воды в месте изгиба трубки, расположенном на оси вращения.
2) Найти давление ртути у запаянного конца трубки.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене:
.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии
от оси вращения, а левый – на оси. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии
от оси вращения. Масса такого столбика равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[m=\rho L S\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a65efff5fffccccbf94c656e0973f6ca_l3.png)
На этот столбик слева давит столб жидкости в вертикальном колене, а справа – столбик высотой
. Обозначим давление у запаянного конца
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ma_n=(p_1-p_2)S=(p+\rho g h) S- (p_0+\rho g H)S ~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1dd81e21c3f2d583a9c9079fcd6595e1_l3.png)
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[a_n=\omega^2\cdot \frac{L}{2}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d52b8fbe6c14579139017aab29482f9_l3.png)
Подставим все в (1):
![Rendered by QuickLaTeX.com \[\rho LS \cdot \omega^2\cdot \frac{L}{2}= pS+\rho g h S- (p_0+\rho g H)S\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-920474b6c29cb4b0a1ede9e9b9f27efa_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p =\frac{\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}+p_0+\rho g H-\rho g h\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-521ddf8534b7f7b6179a1b66ea939e89_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p =\frac{\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}+p_0+\rho g (H- h)\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0fef3bcdbcbbc2c6b1bf68a4535c13f2_l3.png)
Ответ:
, 
Задача
4. (МФТИ, 1996) Тонкая трубка, запаянная сходного конца, заполнена маслом и закреплена на горизонтальной платформе, вращающейся с угловой скоростью

вокруг вертикальной оси так, что масло не выливается и заполняет полностью горизонтальное колено трубки (см. рисунок). Открытое колено трубки вертикально. Геометрические размеры установки даны на рисунке. Атмосферное давление

‚ плотность масла

.

Рисунок 4
1) Найти давление масла в месте изгиба трубки.
2) Найти давление масла у запаянного конца трубки.
Решение.
Показать
Давление в месте изгиба равно давлению столба жидкости в вертикальном колене:
.
Теперь рассмотрим столбик жидкости в горизонтальном колене, правый конец которого расположен на расстоянии
от оси вращения, а левый – на расстоянии
. Центр масс этого маленького столбика находится тогда на расстоянии
от оси вращения. Масса такого столбика равна
![Rendered by QuickLaTeX.com \[m=3\rho L S\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-310efd675d7932afc3206fcc7515830d_l3.png)
На этот столбик справа давит столб жидкости в вертикальном колене, а давление слева обозначим
. Тогда
![Rendered by QuickLaTeX.com \[ma_n=(p_1-p_2)S=(p+\rho g h) S- pS ~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2d844036ec303d74ee03a74f7f70a7bd_l3.png)
Нормальное ускорение центра масс выбранного нами столбика равно:
![Rendered by QuickLaTeX.com \[a_n=\omega^2\cdot \frac{L}{2}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d52b8fbe6c14579139017aab29482f9_l3.png)
Подставим все в (1):
![Rendered by QuickLaTeX.com \[3\rho LS \cdot \omega^2\cdot \frac{L}{2}= (p_0+\rho g H)S- pS\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-37425a6a38fe0064350eb7e980931beb_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \[p = p_0+\rho g H- \frac{3\rho L^2 \cdot \omega^2}{2}\]](//easy-physic.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c07c66a06e2e29c8b0995138949e8d10_l3.png)
Ответ:
,
.
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Вот в том и вопрос, что при решении задачи 20 используется геометрия треугольника...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...