Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Тригонометрия и свойства функций в задачах с параметром

Есть разные способы решать задачи с параметром. Самый наглядный – графический, но он не везде применим. Хорош и аналитический способ – но в этой задаче две совершенно разные функции, и это наталкивает на применение свойств функций.

Задача. При каких значениях параметра a уравнение

    \[\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} -\cos(2x+a)=x^2-8x-a\]

имеет одно решение?

Обратим внимание на то, что в уравнении одновременно присутствуют несколько разного вида функций: и квадратичная, и тригонометрическая. Когда перед нами такое сочетание несочитаемого, это должно наталкивать на мысль о применении свойств функций. Имеем два косинуса, под знаками которых разные выражения. Нельзя ли и справа получить два таких же выражения?

Перепишем тогда таким образом, чтобы при x^2 получился бы коэффициент -\frac{2}{3}:

    \[-\frac{2}{3}\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} +\frac{2}{3}\cos(2x+a)= -\frac{2}{3}(x^2-8x-a)\]

    \[-\frac{2}{3}\cos{\frac{10x}{3}-\frac{2x^2}{3}-\frac{a}{3}} +\frac{2}{3}\cos(2x+a)= -\frac{2 x^2}{3}+\frac{16x}{3}-\frac{2a}{3}\]

Заметим следующее: под знаками косинусов -\frac{a}{3} и a, а справа – -\frac{2a}{3} (сумма, взятая с обратным знаком), аналогично слева \frac{10x}{3} и 2x, а справа – \frac{16x}{3} – опять сумма с обратным знаком! То есть (вот это действительно трудный переход – его трудно заметить)

    \[\frac{2}{3}\cos(2x+a)-(2x+a)= \frac{2}{3}\cos{-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}}-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}\]

То, что мы получили, уже прорыв, но еще не победа. Будьте внимательны: справа имеем сумму, а слева – разность. В идеале, чтобы ввести функцию, выражения и справа и слева должны быть идентичны и отличаться только аргументами. Поэтому воспользуемся четностью функции косинуса:

    \[\frac{2}{3}\cos(-2x-a)+(-2x-a)= \frac{2}{3}\cos{-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}}-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}\]

Вот теперь у нас полный порядок! Выражения справа и слева отличаются только аргументами. Введем функцию:

    \[g(u)=\frac{2}{3}\cos u+u\]

Производная этой функции в силу ограниченности тригонометрических функций положительна:

    \[g'(u)= -\frac{2}{3}\sin u+1\]

То есть функция такая монотонно возрастает, и, что важно, непрерывна. Следовательно, в каждой точке принимает единственное значение, и тогда аргументы равны:

    \[-2x-a=-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}\]

Преобразуем это квадратное уравнение относительно x:

    \[2x^2-16x-2a=0\]

    \[x^2-8x-a=0\]

Квадратное уравнение имеет единственный корень, если дискриминант его равен 0:

    \[D=64+4a=0\]

    \[a=-16\]

Ответ: a=-16.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *