Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Тригонометрия и свойства функций в задачах с параметром

Есть разные способы решать задачи с параметром. Самый наглядный – графический, но он не везде применим. Хорош и аналитический способ – но в этой задаче две совершенно разные функции, и это наталкивает на применение свойств функций.

Задача. При каких значениях параметра уравнение

   

имеет одно решение?

Обратим внимание на то, что в уравнении одновременно присутствуют несколько разного вида функций: и квадратичная, и тригонометрическая. Когда перед нами такое сочетание несочитаемого, это должно наталкивать на мысль о применении свойств функций. Имеем два косинуса, под знаками которых разные выражения. Нельзя ли и справа получить два таких же выражения?

Перепишем тогда таким образом, чтобы при получился бы коэффициент :

   

   

Заметим следующее: под знаками косинусов и , а справа – (сумма, взятая с обратным знаком), аналогично слева и , а справа – – опять сумма с обратным знаком! То есть (вот это действительно трудный переход – его трудно заметить)

   

То, что мы получили, уже прорыв, но еще не победа. Будьте внимательны: справа имеем сумму, а слева – разность. В идеале, чтобы ввести функцию, выражения и справа и слева должны быть идентичны и отличаться только аргументами. Поэтому воспользуемся четностью функции косинуса:

   

Вот теперь у нас полный порядок! Выражения справа и слева отличаются только аргументами. Введем функцию:

   

Производная этой функции в силу ограниченности тригонометрических функций положительна:

   

То есть функция такая монотонно возрастает, и, что важно, непрерывна. Следовательно, в каждой точке принимает единственное значение, и тогда аргументы равны:

   

Преобразуем это квадратное уравнение относительно :

   

   

Квадратное уравнение имеет единственный корень, если дискриминант его равен :

   

   

Ответ: .

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *