Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (18 (С5))

Тригонометрия и параметр

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача. Найдите значения параметра q, при каждом из которых уравнение

    \[3(x-2)^2=-2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)-3a+3\]

имеет решения.

Перепишем уравнение иначе:

    \[3(x^2-4x+4)+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)\]

    \[3x^2-12x+12+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)\]

    \[3x^2-9x+3-3x+3a+6= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)\]

    \[3(x^2-3x+1)-3(x-a-2)= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)\]

    \[3(x^2-3x+1)+2\sin(x^2-3x+1)=3(x-a-2)+2\sin(x-a-2)\]

Видим, что выражения справа и слева очень похожи, поэтому введем функцию вида  3t+2\sin t. Производная этой функции положительна, следовательно, она возрастающая, а значит, взаимнооднозначная. Таким образом, значения параметра можно найти из  уравнения:

    \[x^2-3x+1= x-a-2\]

Перепишем:

    \[x^2-4x+3=-a\]

Далее применим графический метод. Слева – парабола, справа – прямая. Определим, когда они будут иметь одну общую точку и когда – 2.

Рисунок для графического решения

Из рисунка понятно, что одна общая точка будет при касании прямой и параболы, касание произойдет в вершине, которая имеет ординату (-1). Тогда при a=1 имеем одно решение. Далее, при -a>-1, то есть при a<1 будем иметь два решения.

Ответ: при a \in (-\infty; 1) – два решения, при a=1 – одно.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *