Тригонометрия и параметр

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача. Найдите значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет решения.

Перепишем уравнение иначе:

Видим, что выражения справа и слева очень похожи, поэтому введем функцию вида  . Производная этой функции положительна, следовательно, она возрастающая, а значит, взаимнооднозначная. Таким образом, значения параметра можно найти из  уравнения:

Перепишем:

Далее применим графический метод. Слева – парабола, справа – прямая. Определим, когда они будут иметь одну общую точку и когда – 2.

Рисунок для графического решения

Из рисунка понятно, что одна общая точка будет при касании прямой и параболы, касание произойдет в вершине, которая имеет ординату (-1). Тогда при имеем одно решение. Далее, при , то есть при будем иметь два решения.

Ответ: при – два решения, при – одно.