Тригонометрия и параметр

[latexpage]

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача. Найдите значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение

$$3(x-2)^2=-2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)-3a+3$$

имеет решения.

Перепишем уравнение иначе:

$$3(x^2-4x+4)+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$

$$3x^2-12x+12+3a-3= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$

$$3x^2-9x+3-3x+3a+6= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$

$$3(x^2-3x+1)-3(x-a-2)= -2\sin(x^2-3x+1)+2\sin(x-a-2)$$

$$3(x^2-3x+1)+2\sin(x^2-3x+1)=3(x-a-2)+2\sin(x-a-2)$$

Видим, что выражения справа и слева очень похожи, поэтому введем функцию вида  $3t+2\sin t$. Производная этой функции положительна, следовательно, она возрастающая, а значит, взаимнооднозначная. Таким образом, значения параметра можно найти из  уравнения:

$$ x^2-3x+1= x-a-2$$

Перепишем:

$$x^2-4x+3=-a$$

Далее применим графический метод. Слева – парабола, справа – прямая. Определим, когда они будут иметь одну общую точку и когда – 2.

Рисунок для графического решения

Из рисунка понятно, что одна общая точка будет при касании прямой и параболы, касание произойдет в вершине, которая имеет ординату (-1). Тогда при $a=1$ имеем одно решение. Далее, при $-a>-1$, то есть при $a<1$ будем иметь два решения.

Ответ: при $a \in (-\infty; 1)$ – два решения, при $a=1$ – одно.