Тригонометрические уравнения - задание 13 профильного ЕГЭ

Тригонометрические уравнения – задание 13 профильного ЕГЭ

1. Решить уравнение.

$4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0$

Решение: преобразуем косинус разности:

$4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0$

$4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0$

По формуле основного тригонометрического тождества:

$4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0$

$4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0$

Получили квадратное уравнение относительно $\sin 3x$ . Его корни:

$\sin 3x=-1,5$

Либо

$\sin 3x=0,5$

Первый корень – посторонний, поэтому

$3x=\frac{\pi}{6}+2{\pi}n, n \in Z$

Либо

$3x=\frac{5\pi}{6}+2{\pi}k, k \in Z$

Тогда

$x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z$

$x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z$

Ответ: $x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z$ , $x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z$

2. Решить уравнение.

$\sin^3 x- \cos^4 x=-1$

$\sin^3 x =\cos^4 x -1$

Справа – разность квадратов.

$\sin^3 x =(\cos^2 x -1)( \cos^2 x +1)$

По формуле основного тригонометрического тождества:

$\sin^3 x =-\sin^2 x( \cos^2 x +1)$

$\sin^3 x +\sin^2 x( \cos^2 x +1)=0$

$\sin^2 x(\sin x +\cos^2 x +1)=0$

Первый корень – $\sin x=0$ , $x=\pi k, k \in Z$

Приравниваем к нулю второй множитель:

$\sin x +\cos^2 x +1=0$

$\sin x +1-\sin^2 x +1=0$

$\sin^2 x -\sin x - 2=0$

Ищем корни этого квадратного уравнения, по Виету $\sin x = 2$ – посторонний корень, остается $\sin x = -1$ . Решение:

$x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n$

Ответ: $x=\pi k, k \in Z$ , $x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n$

3. Решить уравнение.

$3 \sin^2 x - 3\cos 2x -12\sin x +7=0$

Преобразуем косинус двойного аргумента:

$3 \sin^2 x - 3(1-2\sin^2 x) -12\sin x +7=0$

$3 \sin^2 x - 3+6\sin^2 x -12\sin x +7=0$

$9\sin^2 x -12\sin x +4=0$

Мы видим полный квадрат:

$(3\sin x -2)^2=0$

Или $3\sin x =2$ , $\sin x=\frac{2}{3}$ , $x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z$

Ответ: $x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z$

4. Решить уравнение.

$\sqrt{1- \cos^2 x}+ 6\cos 2x=0$

$\sqrt{1- \cos^2 x}=- 6\cos 2x$

Поскольку перед нами корень, то сразу определим ОДЗ:

$- 6\cos 2x \geqslant 0$

$\cos 2x \leqslant 0$

$1-2\sin^2 x \leqslant 0$

$-2\sin^2 x \leqslant -1$

$\sin^2 x \geqslant \frac{1}{2}$

ОДЗ: $\sin x\in [-1;-\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]$

$\sqrt{\sin^2 x}=- 6\cos 2x$

$\left|\sin x \right|=- 6\cos 2x$

$\left|\sin x \right|+6(1-2\sin^2 x)=0$

$\left|\sin x \right|+6-12\sin^2 x=0$

При $\sin x \geqslant 0$ имеем:

$\sin x +6-12\sin^2 x=0$

$12\sin^2 x-\sin x -6=0$

$\sin x=\frac{3}{4}$

$x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z$

Так как второй корень квадратного уравнения отрицателен, то к рассматриваемому промежутку он отношения не имеет.

При $\sin x < 0$ имеем:

$-\sin x +6-12\sin^2 x=0$

$12\sin^2 x+\sin x -6=0$

$\sin x=-\frac{3}{4}$

Второй корень квадратного уравнения положителен, а мы рассматриваем случай, когда $\sin x < 0$ – поэтому мы его отбросили.

$x=(-1)^n \arcsin(-\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z$

или $x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z$

Оба полученных решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z$ и $x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z$

5. Решить уравнение.

$2\sin^2 x+ \sin^2 2x=\frac{5}{4}-2 \cos 2x$

$2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x=\frac{5}{4}-2 (1-2\sin^2 x)$

$2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x-\frac{5}{4}+2 -4\sin^2 x)=0$

$-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x+\frac{3}{4}=0$

$-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x(1-\sin^2 x)+\frac{3}{4}=0$

$-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x-4\sin^4 x+\frac{3}{4}=0$

$4\sin^4 x -2\sin^2 x-\frac{3}{4}=0$

Получили биквадратное уравнение относительно $\sin x$ . Обозначаем $\sin^2 x=a$ :

$4a^2 -2a-\frac{3}{4}=0$

Корни этого уравнения: $a_1=\frac{3}{4}$ и $a_2=-\frac{1}{4}$ . Так как $a= \sin^2 x$ , то отрицательный корень является посторонним. Тогда $\sin^2 x=\frac{3}{4}$ , и $\sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ .