Тригонометрические уравнения – задание 13 профильного ЕГЭ

1. Решить уравнение.

   

Решение: преобразуем косинус разности:

   

   

По формуле основного тригонометрического тождества:

   

   

Получили квадратное уравнение относительно . Его корни:

   

Либо

   

Первый корень – посторонний, поэтому

   

Либо

   

Тогда

   

   

Ответ: ,

 

2. Решить уравнение.

   

   

Справа – разность квадратов.

   

По формуле основного тригонометрического тождества:

   

   

   

Первый корень – ,

Приравниваем к нулю второй множитель:

   

   

   

Ищем корни этого квадратного уравнения, по Виету – посторонний корень, остается . Решение:

   

Ответ: ,

 

3. Решить уравнение.

   

Преобразуем косинус двойного аргумента:

   

   

   

Мы видим полный квадрат:

   

Или , ,

Ответ:

4. Решить уравнение.

   

   

Поскольку перед нами корень, то сразу определим ОДЗ:

   

   

   

   

   

ОДЗ:

   

   

   

   

При имеем:

   

   

   

   

Так как второй корень квадратного уравнения отрицателен, то к рассматриваемому промежутку он отношения не имеет.

При имеем:

   

   

   

Второй корень квадратного уравнения положителен, а мы рассматриваем случай, когда  – поэтому мы его отбросили.

   

или  

Оба полученных решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: и

 

5. Решить уравнение.

   

   

   

   

   

   

   

Получили биквадратное уравнение относительно . Обозначаем :

   

Корни этого уравнения: и . Так как , то отрицательный корень является посторонним. Тогда , и .

Определяем :

   

 

6. Решить уравнение.

   

Представим как косинус двойного угла:

   

   

   

Уравнение распалось на два:

   

   

Первое решение:

   

   

Второе решение:

   

   

   

 

7. Решить уравнение.

   

Функцию синуса заменим косинусом:

   

Разность косинусов удобно заменить произведением синусов:

   

Уравнение распадается на два:

   

Или

   

Решение первого:

   

   

   

Решение второго:

   

   

   

Ответ: ,