Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Тригонометрия, Уравнения (13 (С1))

Тригонометрические уравнения – задание 13 профильного ЕГЭ


1. Решить уравнение.

    \[4 \cos^2 {3x}-4 \cos(3x-\frac{\pi}{2})-1=0\]

Решение: преобразуем косинус разности:

    \[4 \cos^2 {3x}-4 (\cos3x \cdot \cos(\frac{\pi}{2})+\sin3x \cdot \sin(\frac{\pi}{2}))-1=0\]

    \[4 \cos^2 {3x}-4 \sin3x -1=0\]

По формуле основного тригонометрического тождества:

    \[4-4 \sin^2 {3x}-4 \sin 3x -1=0\]

    \[4 \sin^2 {3x}+4 \sin 3x -3=0\]

Получили квадратное уравнение относительно \sin 3x. Его корни:

    \[\sin 3x=-1,5\]

Либо

    \[\sin 3x=0,5\]

Первый корень – посторонний, поэтому

    \[3x=\frac{\pi}{6}+2{\pi}n, n \in Z\]

Либо

    \[3x=\frac{5\pi}{6}+2{\pi}k, k \in Z\]

Тогда

    \[x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z\]

    \[x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z\]

Ответ: x=\frac{\pi}{18}+\frac{2{\pi}n}{3}, n \in Z,x=\frac{5\pi}{18}+\frac{2{\pi}k}{3}, k \in Z

 

2. Решить уравнение.

    \[\sin^3 x- \cos^4 x=-1\]

    \[\sin^3 x =\cos^4 x -1\]

Справа – разность квадратов.

    \[\sin^3 x =(\cos^2 x -1)( \cos^2 x +1)\]

По формуле основного тригонометрического тождества:

    \[\sin^3 x =-\sin^2 x( \cos^2 x +1)\]

    \[\sin^3 x +\sin^2 x( \cos^2 x +1)=0\]

    \[\sin^2 x(\sin x +\cos^2 x +1)=0\]

Первый корень – \sin x=0, x=\pi k, k \in Z

Приравниваем к нулю второй множитель:

    \[\sin x +\cos^2 x +1=0\]

    \[\sin x +1-\sin^2 x +1=0\]

    \[\sin^2 x -\sin x - 2=0\]

Ищем корни этого квадратного уравнения, по Виету \sin x = 2 – посторонний корень, остается \sin x = -1. Решение:

    \[x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n\]

Ответ: x=\pi k, k \in Z, x=(-1)^n(-\frac{\pi}{2})+\pi n

 

3. Решить уравнение.

    \[3 \sin^2 x - 3\cos 2x -12\sin x +7=0\]

Преобразуем косинус двойного аргумента:

    \[3 \sin^2 x - 3(1-2\sin^2 x) -12\sin x +7=0\]

    \[3 \sin^2 x - 3+6\sin^2 x -12\sin x +7=0\]

    \[9\sin^2 x -12\sin x +4=0\]

Мы видим полный квадрат:

    \[(3\sin x -2)^2=0\]

Или 3\sin x =2, \sin x=\frac{2}{3}, x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z

Ответ: x=(-1)^n \arcsin(\frac{2}{3})+\pi n, n \in Z

4. Решить уравнение.

    \[\sqrt{1- \cos^2 x}+ 6\cos 2x=0\]

    \[\sqrt{1- \cos^2 x}=- 6\cos 2x\]

Поскольку перед нами корень, то сразу определим ОДЗ:

    \[- 6\cos 2x \geqslant 0\]

    \[\cos 2x \leqslant 0\]

    \[1-2\sin^2 x \leqslant 0\]

    \[-2\sin^2 x \leqslant -1\]

    \[\sin^2 x \geqslant \frac{1}{2}\]

ОДЗ: \sin x\in [-1;-\frac{\sqrt{2}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{2}}{2}; 1]

    \[\sqrt{\sin^2 x}=- 6\cos 2x\]

    \[\left|\sin x \right|=- 6\cos 2x\]

    \[\left|\sin x \right|+6(1-2\sin^2 x)=0\]

    \[\left|\sin x \right|+6-12\sin^2 x=0\]

При \sin x \geqslant 0 имеем:

    \[\sin x +6-12\sin^2 x=0\]

    \[12\sin^2 x-\sin x -6=0\]

    \[\sin x=\frac{3}{4}\]

    \[x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z\]

Так как второй корень квадратного уравнения отрицателен, то к рассматриваемому промежутку он отношения не имеет.

При \sin x < 0 имеем:

    \[-\sin x +6-12\sin^2 x=0\]

    \[12\sin^2 x+\sin x -6=0\]

    \[\sin x=-\frac{3}{4}\]

Второй корень квадратного уравнения положителен, а мы рассматриваем случай, когда \sin x < 0 – поэтому мы его отбросили.

    \[x=(-1)^n \arcsin(-\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z\]

или  x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z

Оба полученных решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:x=(-1)^k \arcsin(\frac{3}{4})+\pi k, k \in Z и x=(-1)^{n+1} \arcsin(\frac{3}{4})+\pi n, n \in Z

 

5. Решить уравнение.

    \[2\sin^2 x+ \sin^2 2x=\frac{5}{4}-2 \cos 2x\]

    \[2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x=\frac{5}{4}-2 (1-2\sin^2 x)\]

    \[2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x-\frac{5}{4}+2 -4\sin^2 x)=0\]

    \[-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x\cos^2 x+\frac{3}{4}=0\]

    \[-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x(1-\sin^2 x)+\frac{3}{4}=0\]

    \[-2\sin^2 x+ 4\sin^2 x-4\sin^4 x+\frac{3}{4}=0\]

    \[4\sin^4 x -2\sin^2 x-\frac{3}{4}=0\]

Получили биквадратное уравнение относительно \sin x. Обозначаем \sin^2 x=a:

    \[4a^2 -2a-\frac{3}{4}=0\]

Корни этого уравнения: a_1=\frac{3}{4} и a_2=-\frac{1}{4}. Так как a= \sin^2 x, то отрицательный корень является посторонним. Тогда \sin^2 x=\frac{3}{4}, и \sin x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}.

Определяем x:

    \[x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n, n \in Z\]

 

6. Решить уравнение.

    \[\cos {\frac{x}{2}}=1+\cos x\]

Представим \cos x как косинус двойного угла:

    \[\cos {\frac{x}{2}}=1+\left(2\cos^2 {\frac{x}{2}}-1\right)\]

    \[2\cos^2 {\frac{x}{2}}-\cos {\frac{x}{2}}=0\]

    \[\cos {\frac{x}{2}}(2\cos {\frac{x}{2}}-1)=0\]

Уравнение распалось на два:

    \[\cos {\frac{x}{2}}=0\]

    \[2\cos {\frac{x}{2}}-1=0\]

Первое решение:

    \[\frac{x}{2}}=(-1)^k \cdot {\frac{\pi}{2}}+2 \pi n, n \in Z\]

    \[x=(-1)^k \cdot {\pi}+4 \pi n, n \in Z\]

Второе решение:

    \[\cos {\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\]

    \[\frac{x}{2}}=(-1)^k \cdot {\frac{\pi}{3}}+2 \pi m, m \in Z\]

    \[x=(-1)^k \cdot {\frac{2\pi}{3}}+4 \pi m, m \in Z\]

 

7. Решить уравнение.

    \[\cos 12x-\sin 4 x=0\]

Функцию синуса заменим косинусом:

    \[\cos 12x-\cos (90^{\circ}-4x)=0\]

Разность косинусов удобно заменить произведением синусов:

    \[-2 \sin{\frac{8x+90^{\circ}}{2}} \sin{\frac{16x-90^{\circ}}{2}}=0\]

Уравнение распадается на два:

    \[\sin(4x+45^{\circ}) =0\]

Или

    \[\sin(8x-45^{\circ})=0\]

Решение первого:

    \[4x+45^{\circ} =\pi n, n \in Z\]

    \[4x=-\frac{\pi}{4}+\pi n, n \in Z\]

    \[x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}, n \in Z\]

Решение второго:

    \[8x-45^{\circ} =\pi m, m \in Z\]

    \[8x=\frac{\pi}{4}+\pi m, m \in Z\]

    \[x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi m}{8}, n \in Z\]

Ответ: x=-\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}, n \in Z, x=-\frac{\pi}{32}+\frac{\pi m}{8}, n \in Z

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *