Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 18 (С5)

Тригонометрические уравнения с параметром

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача 1. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

   

Относительно величины имеет ровно 89 решений на полуинтервале .

В этом задании сразу понятно, что имеем корень на каждом полукруге, то есть тригонометрическая функция должна иметь два корня на полном обороте, или на , то есть тангенс принимает единственное значение. Следовательно, квадратное уравнение должно иметь одно решение, а так будет, например, если . Проверяем эту версию.

   

   

   

Таким образом, значения параметра и .

Теперь эти значения параметра необходимо проверить: подставим их в исходное уравнение. Подставляем :

   

   

Значение параметра подходит, подставим :

   

   

Это значение тоже подошло, исходное уравнение будет иметь единственный корень.

Ситуация, когда у уравнения два отрицательных корня, не равных друг другу, нам тоже могла бы подходить. В этом случае мы получили бы два различных значения тангенса, что нас и устроило бы. Но здесь корни не получаются отрицательными, так как один из них – квадрат, поэтому этот вариант отпадает.

Ответ: .

 

Задача 2. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

   

Относительно переменной   имеет ровно 120 решений на полуинтервале  .

В данном случае на каждом обороте нужно иметь четыре решения, то есть функция тангенса будет принимать два значения. Следовательно, в этой задаче нам необходимо, чтобы дискриминант был положителен – только тогда квадратное уравнение будет иметь два корня.

   

   

   

   

Видим, что дискриминант положителен, так как представляет собой полный квадрат. Поэтому уравнение будет всегда иметь два корня, за исключением случая, когда он равен нулю. Поэтому найдем точки, которые обращают дискриминант в ноль, и просто исключим их из решения:

   

   

   

Снова вариант с двумя различными отрицательными корнями отпал.

Ответ: .

 

Задача 3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

   

относительно величины имеет ровно 43 решения на отрезке .

Задача аналогична предыдущим. Предлагаю вам решить ее самостоятельно, а потом уже посмотреть решение.

Решение.

[spoiler]

Тангенс должен принимать два значения, чтобы на каждом обороте было бы 4 корня. Поэтому дискриминант должен быть положителен:

   

   

Видим, что дискриминант положителен, так как представляет собой полный квадрат. Вариант с двумя различными отрицательными корнями отпал.Поэтому уравнение будет всегда иметь два корня, за исключением случая, когда он равен нулю. Поэтому найдем точки, которые обращают дискриминант в ноль, и просто исключим их из решения:

   

   

   

Ответ: .[\spoiler]

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *