Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Уравнения (13 (С1))

Тригонометрические уравнения с отбором корней

Тригонометрические уравнения в этих заданиях объединены в системы с неравенствами. Неравенства помогают отобрать корни после решения уравнения. Уравнения простые, только пара из них требуют введения дополнительного угла. Поэтому с них можно начинать подготовку к решению заданий 13 профильного ЕГЭ.

Задача 1. Решите систему:

    \[\begin{Bmatrix}{1-h\geqslant 0}\\{-1-h \leqslant 0}\\{-3\cos(\pi h)+3\sqrt{3}\sin(\pi h)+6=0}\end{matrix}\]

По сути, необходимо решить уравнение, а неравенства помогут отобрать корни. Первое, что приходит на ум, разделить уравнение на 3:

    \[\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{-\cos(\pi h)+\sqrt{3}\sin(\pi h)+2=0}\end{matrix}\]

Теперь разделим его еще на два, и перенесем единицу вправо:

    \[\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{-\frac{1}{2}\cos(\pi h)+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\pi h)=-1}\end{matrix}\]

Уравнение интересно тем, что его можно решить введением дополнительного угла:

    \[\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{\sin{\varphi}\cos(\pi h)+\cos{\varphi}\sin(\pi h)=-1}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{h\leqslant 1}\\{h \geqslant -1}\\{\sin{\pi h-\frac{\pi}{6}}=-1}\end{matrix}\]

Тогда \pi h-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k

    \[h-\frac{1}{6}=-\frac{1}{2}+2k\]

    \[h=-\frac{1}{3}+2k\]

Только при k=0 наше решение попадет в заданный неравенствами интервал.

Ответ: h=-\frac{1}{3}

 

Задача 2. Решите систему:

    \[\begin{Bmatrix}{g+13\geqslant 0}\\{g+12 \leqslant 0}\\{-18\operatorname{tg}^2(\pi g)+(-18-18\sqrt{3})\operatorname{tg}(\pi g)-18\sqrt{3}=0}\end{matrix}\]

Разделим на 18 уравнение:

    \[\begin{Bmatrix}{g\geqslant -13}\\{g\leqslant -12}\\{\operatorname{tg}^2(\pi g)+(1+\sqrt{3})\operatorname{tg}(\pi g)+\sqrt{3}=0}\end{matrix}\]

Решим квадратное уравнение относительно \operatorname{tg}(\pi g):

    \[D=(1+\sqrt{3})^2-4\cdot\sqrt{3}=(1-\sqrt{3})^2\]

Тогда \operatorname{tg}(\pi g)=-1 или \operatorname{tg}(\pi g)=-\sqrt{3},

\pi g=-\frac{\pi}{4}+\pi k или \pi g=-\frac{\pi}{3}+\pi k

g=-\frac{1}{4}+k или g=-\frac{1}{3}+k

Тогда в промежуток, заданный неравенствами, попадут следующие точки:

    \[-13<-\frac{1}{4}+k<-12\]

    \[-12,75<k<-11,75\]

    \[k=-12\]

    \[g=-12,25\]

Или же

    \[-13<-\frac{1}{3}+k <-12\]

    \[-12\frac{2}{3}<k<-11\frac{2}{3}\]

    \[k=-12\]

    \[g=-12\frac{1}{3}=-\frac{37}{3}\]

Ответ: g=-12,25 или g=-\frac{37}{3}

 

Задача 3. Решите систему:

    \[\begin{Bmatrix}{-p\geqslant 0}\\{-3-p \leqslant 0}\\{-\frac{20}{\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})+6=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{p\leqslant 0}\\{p \geqslant -3}\\{-\frac{20+6\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})}{\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})=0}\end{matrix}\]

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен. Приравняем числитель к нулю:

    \[6\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})-20=0\]

    \[\sin(\pi p+\frac{7\pi}{2})=\frac{10}{3}\]

Решение – пустое множество.

Задача 4. Решите систему:

    \[\begin{Bmatrix}{\nu-\frac{1}{2}\leqslant 0}\\{\nu+1 \geqslant 0}\\{9^{-2\sin (2\pi \nu)}-81^{\cos(-4\pi-\pi \nu)}=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{\nu \leqslant \frac{1}{2}}\\{\nu\geqslant -1}\\{9^{-2\sin (2\pi \nu)=9^{2\cos(-4\pi-\pi \nu)}\end{matrix}\]

Уравнение может быть записано теперь так:

    \[-2\sin (2\pi \nu)=2\cos(-4\pi-\pi \nu)\]

    \[-\sin (2\pi \nu)-\cos(\pi \nu)=0\]

    \[-2\sin (\pi \nu) \cos(\pi \nu)-\cos(\pi \nu)=0\]

    \[- \cos(\pi \nu)( 2\sin (\pi \nu)+1)=0\]

Уравнение распадается на 2:

    \[\cos(\pi \nu)=0\]

    \[\sin(\pi \nu)=-\frac{1}{2}\]

Тогда

    \[\pi \nu=\pm \frac{\pi}{2}+\pi k\]

    \[\nu=\pm \frac{1}{2}+k\]

Или:

    \[\pi \nu=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\]

    \[\pi \nu=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k\]

 

    \[\nu=-\frac{1}{6}+2k\]

    \[\nu=-\frac{5}{6}+2k\]

Произведем отбор корней, решения первого уравнения:

    \[-1<\pm \frac{1}{2}+k<\frac{1}{2}\]

Получаем, что -1,5<k<0 или -0,5<k<1

То есть k=-1 или k=0

\nu=\frac{1}{2} и \nu=-\frac{1}{2}.

Решения второго уравнения:

    \[-1<-\frac{1}{6}+2k <\frac{1}{2}\]

    \[-\frac{5}{6}<2k <\frac{2}{3}\]

    \[k=0\]

    \[\nu=-\frac{1}{6}\]

    \[-1<-\frac{5}{6}+2k <\frac{1}{2}\]

    \[-\frac{1}{6}<2k <\frac{4}{3}\]

    \[k=0\]

    \[\nu=-\frac{5}{6}\]

Ответ: \nu=-\frac{5}{6}, \nu=-\frac{1}{2},  \nu=-\frac{1}{6}, \nu=\frac{1}{2}.

 

 

Задача 5. Решите систему:

    \[\begin{Bmatrix}{-2-c\geqslant 0}\\{-3-c \leqslant 0}\\{4\cos(\pi c)+4\sqrt{3}\sin(\pi c)+4\sqrt{3}=0}\end{matrix}\]

    \[\begin{Bmatrix}{c\leqslant -2}\\{c \geqslant -3}\\{\cos(\pi c)+ \sqrt{3}\sin(\pi c)+ \sqrt{3}=0}\end{matrix}\]

Разделив уравнение на 2, можем ввести дополнительный угол:

    \[\frac{1}{2}\cos(\pi c)+ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin(\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\sin(\varphi)\cos(\pi c)+ \cos(\varphi)\sin(\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\sin(\frac{\pi}{6})\cos(\pi c)+ \cos(\frac{\pi}{6})\sin(\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\sin(\frac{\pi}{6}+\pi c)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\]

    \[\frac{\pi}{6}+\pi c=-\frac{\pi}{3}+2\pi k\]

    \[\frac{\pi}{6}+\pi c=-\frac{2\pi}{3}+2\pi k\]

Имеем два решения:

    \[\frac{1}{6}+c=-\frac{1}{3}+2k\]

    \[\frac{1}{6}+c=-\frac{2}{3}+2k\]

Упрощаем:

    \[c=-\frac{1}{2}+2k\]

    \[c=-\frac{5}{6}+2k\]

Произведем отбор корней:

    \[-3<-\frac{1}{2}+2k<-2\]

    \[-3<-\frac{5}{6}+2k<-2\]

    \[-2,5<2k<-1,5\]

    \[-2\frac{1}{6}<2k<-1\frac{1}{6}\]

Тогда в обоих случаях k=-1.

Определим корни, входящие в интервал:

    \[c=-2,5\]

    \[c=-\frac{17}{6}\]

Ответ: c=-2,5 и c=-\frac{17}{6}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *