При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:
1) Уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
3) Обе части уравнения возводятся в квадрат.
При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:
1) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
2) Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;
3) При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.
Задача 1. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку
Так как в уравнении есть тангенс, то оговариваем, что
Также будут забракованы нами все решения, которые подразумевают равенство косинуса нулю.
Раскрываем скобки:
Переходим от косинусов к синусам через основное тригонометрическое тождество:
Имеем квадратное уравнение относительно синусов:
Так как второй коэффициент равен сумме первого и третьего: a+c=b, то первый корень равен (-1), а второй (-c/a), то есть 0,5.
Первый корень приведет к решению, которое означает равенство косинуса 0, поэтому это посторонний корень. Рассматриваем второй корень:
или
Отберем корни: промежуток – это третий оборот в положительную сторону и еще половина четвертого. Тогда в указанный промежуток войдут точки, изображенные на рисунке:
.

Отбор корней, 1 уравнение
Ответ: a) или
б)
Задача 2. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку
Так как пока нет никаких видимых ограничений, то сразу начинаем решение.
Уравнение распадается на два:
или
Решаем первое:
или
Решаем второе:
или

Отбор корней, 2 уравнение
Корни показаны на рисунке красными точками. Нужный промежуток показан зеленой дугой: точка (-5) – это приблизительно . Концы промежутка закрашены: эти точки принадлежат промежутку. Тогда отбираем корни, принадлежащие промежутку:
Ответ: a) или
или
б)
Задача 3. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку[)
Сначала воспользуемся формулами приведения, чтобы в аргументе не присутствовали бы числа, а только неизвестные:
Целый оборот исключаем:
Тогда имеем: или
– посторонний корень.
или
Отберем корни: на рисунке корни показаны красными точками, зеленой дугой – нужный промежуток, точка начала промежутка принадлежит ему, а точка конца – нет.

Отбор корней, 3 уравнение
Ответ: а) или
б)
Задача 4. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку
Сначала отбросим целые обороты:
Применяем формулу приведения:
Уравнение распадается на два:
или
Решение:
или
,
Отберем корни: на рисунке показан зеленой дугой нужный промежуток, концы его закрашены. Красными точками показаны: на единичной окружности – корни уравнения, на дуге промежутка – отобранные корни.

Отбор корней, 4 уравнение
Ответ: а) или
,
б)
Задача 5. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку (]
Откинем целые обороты и поменяем знаки:
Применим формулы приведения:
Заменим косинус двойного аргумента:
Решение: или
или

Отбор корней, 5 уравнение
На рисунке показана единичная окружность (синим цветом), на ней – красные точки решений уравнения. Зеленой спиралью показан нужный промежуток, причем его левый конец не закрашен – эта точка не принадлежит промежутку по условию.
Ответ: а) или
б)
Задача 6. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку
, или
Раскроем оба синуса суммы:
Так как не является корнем уравнения, то разделим на него все слагаемые:
Отобранные корни показаны на рисунке на зеленой дуге, которой отмечен заданный интервал.

Отбор корней, 6 уравнение
Ответ: а) , б)
Задача 7. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку
Раскрываем формулу двойного аргумента:
Решаем как обычное биквадратное уравнение:
, где
,
– этот вариант решения отбрасываем.
Тогда:
Решение: .
Отберем корни. На рисунке показаны решения уравнения на единичной окружности, и отобранные корни – на зеленой дуге промежутка.

Отбор корней, 7 уравнение
Ответ: а) , б)
Задача 8. а) Решить уравнение:
б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку (]
Воспользовавшись формулами приведения:
Так как присутствует синус половинного аргумента, то раскроем косинус – как косинус двойного аргумента:
или
Тогда:
или
или
,
или
,
,
Отберем корни.

Отбор корней, 8 уравнение
Ответ: а) , б)
Комментариев - 7
И как производился отбор точек на окружности? Просто наугад отмечены точки и всё! Ничего не вычислено, не получено.. Это как? Нужно гадать?=((
Это называется отбор корней по окружности. При этом не нужно ничего вычислять (ну или в уме) – точки-то совсем простые, на поверхности все.
В первой задаче разве не косинус разности?
Где вы видите там косинус разности?
tg(x)=a, cos(x)=b. Тогда получается cos(a-b)
Возможно, решила не оптимальным способом.
Если сделать такую замену, то получится
cos(x) * (a – b)
По-моему, косинуса разности всё равно не получается.