Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 13 (С1), Тригонометрия

Тригонометрические уравнения 3


При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:

1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс;

2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат.

При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:

1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

2)      Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

3)      При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.

Задача 1.  а) Решить уравнение: cos x*(tg x-cos x)=-sin^2 x

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку [4{pi}; {13{pi}}/2]

Так как в уравнении есть тангенс, то оговариваем, что cos x<>0″ title=”cos x<>0″/><img src=

Также будут забракованы нами все решения, который подразумевают равенство косинуса нулю.

Раскрываем скобки: cos x*{{sin x}/{cos x}}-cos^2 x=-sin^2 x

sin x-cos^2 x=-sin^2 x

Переходим от косинусов к синусам через основное тригонометрическое тождество:

sin x-(1 - sin^2 x)+sin^2 x=0

Имеем квадратное уравнение относительно синусов:

2sin^2 x+sin x-1=0

Так как второй коэффициент равен сумме первого и третьего: a+c=b, то первый корень равен (-1), а второй (-c/a), то есть 0,5.

Первый корень приведет к решению, которое означает равенство косинуса 0, поэтому это посторонний корень. Рассматриваем второй корень:

sin x={1/2}

x={pi}/6+2{pi}n или x={5{pi}}/6+2{pi}n

Отберем корни: промежуток [4{pi}; {13{pi}}/2] – это третий оборот в положительную сторону и еще половина четвертого. Тогда в указанный промежуток войдут точки, изображенные на рисунке: {25{pi}}/6, {29{pi}}/6, {37{pi}}/6.

Отбор корней, 1 уравнение

Ответ: a)x={pi}/6+2{pi}n или x={5{pi}}/6+2{pi}n

б) {25{pi}}/6, {29{pi}}/6, {37{pi}}/6

Задача 2.  а) Решить уравнение: sin x*cos^2 x-{1/2}sin^2 x-{1/4}sin x+{3/8}=0

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку [-{5{pi}}/2; -5]

Так как пока нет никаких видимых ограничений, то сразу начинаем решение.

sin x*(1-sin^2 x)-{1/2}sin^2 x-{1/4}sin x+{3/8}=0

sin x-sin^3 x-{1/2}sin^2 x-{1/4}sin x+{3/8}=0

8sin^3 x+4sin^2 x-6sin x-3=0

4sin^2 x(2sin x+1)-3(2sin x+1)=0

(4sin^2 x-3)(2sin x+1)=0

Уравнение распадается на два:

4sin^2 x-3=0 или 2sin x+1=0

Решаем первое:

4sin^2 x=3

sin^2 x={3/4}

sin x=pm {sqrt{3}}/2

x=pm {{pi}/3}+{pi}n, n in Z или x=pm {{2pi}/3}+{pi}n, n in Z

Решаем второе:

sin x=-{1/2}

x=-{1/2}

x=-{pi}/6+2{pi}n, l in Z или x=-{5{pi}}/6+2{pi}l, l in Z

Отбор корней, 2 уравнение

Корни показаны на рисунке красными точками. Нужный промежуток показан зеленой дугой: точка (-5) – это приблизительно -1,6{pi}=-1,6*3,14=-5. Концы промежутка закрашены: эти точки принадлежат промежутку. Тогда отбираем корни, принадлежащие промежутку:

Ответ: a) x=pm {{pi}/3}+{pi}n, n in Z или x=pm {{2pi}/3}+{pi}n, n in Z

x=-{pi}/6+2{pi}l, l in Z или x=-{5{pi}}/6+2{pi}l, l in Z

б)-{7{pi}}/3, -{13{pi}}/6, -{5{pi}}/3

 

Задача 3.  а) Решить уравнение: 2sin^2 ({7{pi}}/2+x)=5sin x +4

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку[-{2{pi}}/3; {19{pi}}/6)

Сначала воспользуемся формулами приведения, чтобы в аргументе не присутствовали бы числа, а только неизвестные:

2sin^2 (3,5{pi}+x)=5sin x +4

Целый оборот  исключаем:

2sin^2 ({3{pi}}/2+x)=5sin x +4

2cos^2 x=5sin x +4

2(1-sin^2 x)=5sin x +4

2sin^2 x+5sin x +2=0

D=5^2-4*2*2=9

Тогда имеем: sin x =-{1/2} или sin x =-2 – посторонний корень.

x=-{pi}/6+2{pi}l, l in Z или x=-{5{pi}}/6+2{pi}l, l in Z

Отберем корни: на рисунке корни показаны красными точками, зеленой дугой – нужный промежуток, точка начала промежутка  принадлежит ему, а точка конца – нет.

Отбор корней, 3 уравнение

Ответ: а) x=-{pi}/6+2{pi}l, l in Z или x=-{5{pi}}/6+2{pi}l, l in Z

б)-{pi}/6, {7{pi}}/6, {11{pi}}/6

 

Задача 4.  а) Решить уравнение: {sqrt{2}}*sin({-}{{9{pi}}/2}+x)*sin x=cos x

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку [{13{pi}}/2; 8{pi}]

Сначала отбросим целые обороты:

{sqrt{2}}*sin({-}{pi}/2+x)*sin x=cos x

Применяем формулу приведения:

{sqrt{2}}*({-}cos ({}-x))*sin x=cos x

cos x*(sqrt{2}sin x+1)=0

Уравнение распадается на два:

cos x=0 или sin x=-1 /{sqrt{2}}

Решение:

x={pi}/2+{pi}n, n in Z или x=-{pi}/4+2{pi}k, k in Z, x=-{3{pi}}/4+2{pi}k, k in Z

Отберем корни: на рисунке показан зеленой дугой нужный промежуток, концы его закрашены. Красными точками показаны: на единичной окружности – корни уравнения, на дуге промежутка – отобранные корни.

Отбор корней, 4 уравнение

Ответ: а) x={pi}/2+{pi}n, n in Z или x=-{pi}/4+2{pi}k, k in Z, x=-{3{pi}}/4+2{pi}k, k in Z

б){13{pi}}/2, {15{pi}}/2, {29{pi}}/4, {31{pi}}/4

 

Задача 5.  а) Решить уравнение: cos2x+sin(x-{5{pi}}/2)+1=0

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку (-2,5{pi}; -0,5{pi}]

Откинем целые обороты и поменяем знаки:

cos2x-sin({-}{x}+{pi}/2)+1=0

Применим формулы приведения:

cos2x-cos({-}x)+1=0

Заменим косинус двойного аргумента:

2cos^2 x-cos x=0

cos x(2cos x-1)=0

Решение: cos x=0 или 2cos x-1=0

x={pi}/2+{pi}n, n in Z или x=pm{pi}/3+2{pi}k, k in Z

Отбор корней, 5 уравнение

На рисунке показана единичная окружность (синим цветом), на ней – красные точки решений уравнения. Зеленой спиралью показан нужный промежуток, причем его левый конец не закрашен ({-}{5{pi}}/2)– эта точка не принадлежит промежутку по условию.

Ответ: а) x={pi}/2+{pi}n, n in Z или x=pm{pi}/3+2{pi}k, k in Z

б)-{7{pi}}/3, -{5{pi}}/3, -{3{pi}}/2, -{pi}/2

 

 

Задача 6.  а) Решить уравнение: sin ({4{pi}}/3+x)=2sin ({4{pi}}/3-x)

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку0<x<{3{pi}}/2 , или (0; {3{pi}}/2)

Раскроем оба синуса суммы:

sin ({4{pi}}/3+x)-2sin ({4{pi}}/3-x)=0

sin ({4{pi}}/3+x)+2sin (x-{4{pi}}/3)=0

sin x*cos {4{pi}}/3+cos x*sin {4{pi}}/3+2(sin x*cos {4{pi}}/3-cos x*sin {4{pi}}/3)=0

3sin x*cos {4{pi}}/3-cos x*sin {4{pi}}/3=0

3sin x-cos x*tg {4{pi}}/3=0

3sin x-{sqrt{3}}cos x=0

Так как cos x=0 не является корнем уравнения, то разделим на него все слагаемые:

3tg x-{sqrt{3}}=0

tg x=1/{sqrt{3}}

x={pi}/6+{pi}n

Отобранные корни показаны на рисунке на зеленой дуге, которой отмечен заданный интервал.

Отбор корней, 6 уравнение

Ответ: а) x={pi}/6+{pi}n, n in Z, б) x={pi}/6, {7{pi}}/6

 

Задача 7.  а) Решить уравнение: 8sin^4 x=cos 2x+2

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку [-{5{pi}}/6; -{pi}/4]

Раскрываем формулу двойного аргумента:

8sin^4 x-cos 2x-2=0

8sin^4 x-(1-2sin^2 x)-2=0

8sin^4 x+2sin^2 x-3=0

Решаем как обычное биквадратное уравнение:

8a^4 x+2a^2 x-3=0, где a=sin^2 x

D=100

a_1={1/2}, a_2=-{3/4} – этот вариант решения отбрасываем.

Тогда: sin x=pm 1/{sqrt{2}}

Решение: x={pi}/4+{{pi}n}/2, n in Z.

Отберем корни. На рисунке показаны решения уравнения на единичной окружности, и отобранные корни – на зеленой дуге промежутка.

Отбор корней, 7 уравнение

Ответ: а) x={pi}/4+{{pi}n}/2, n in Z, б) x=-{3{pi}}/4, -{pi}/4, {pi}/4

 

Задача 8.  а) Решить уравнение: cos {{3{pi}+x}/2}-cos ({pi}+x)=1

б) Выбрать корни указанного уравнения, принадлежащие промежутку (4{pi}; {11{pi}}/2]

Воспользовавшись формулами приведения:

-sin {x/2}+cos x=1

Так как присутствует синус половинного аргумента, то раскроем косинус – как косинус двойного аргумента:

-sin {x/2}+1-2sin^2 {x/2}=1 или

2sin^2 {x/2}+sin {x/2}=0

sin {x/2}*(2sin {x/2}+1)=0

Тогда:

sin {x/2}=0 или 2sin {x/2}+1=0

sin {x/2}=0 или sin {x/2}=-{1/2}

{x/2}={pi}n, x=2{pi}n или

x/2=-{pi}/6+2{pi}k, x/2=-{5{pi}}/6+2{pi}k

x=-{pi}/3+2{pi}k, x=-{5{pi}}/3+2{pi}k

Отберем корни.

Отбор корней, 8 уравнение

Ответ: а) x=(-1)^n*{pi}/3+2{pi}k, б) {13{pi}}/3

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *