В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:
При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:
1) Уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
3) Обе части уравнения возводятся в квадрат.
При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:
1) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
2) Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;
3) При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.
Теперь можно начать решение.
Задача 1. Решить уравнение:
Введем ограничения, связанные с наличием как котангенса, так и косинуса в знаменателе:
Сначала постараемся избавиться от котангенса двойного аргумента:
Приведем к одному знаменателю подкоренное выражение:
Возводим в квадрат:
Приведем к одному знаменателю:
или
Первое решение не подходит по ОДЗ: мы это оговорили в самом начале.
Так как косинус не равен нулю, разделим на него это уравнение:
Ответ:
Задача 2. Решить уравнение:
Определим ОДЗ: видя присутствие тангенса, сразу оговорим, что
Также подкоренное выражение не может быть отрицательно:
Приравниваем оба множителя к нулю:
Согласно этому пути решения получим корни: – и все они не годятся. Почему? Произведение равно нулю тогда, когда один множитель равен нулю, а второй при этом не теряет смысла – а при таких решениях второй множитель теряет смысл, потому что 2х тогда
.
Поэтому рассмотрим второй множитель, и приравняем его к нулю:
– это и будет искомым решением.
Ответ:
Задача 3. Решить уравнение:
Заметим, что справа и слева суммы аргументов – одинаковые. Можем тогда заменить произведение синусов на разность косинусов:
Если считать 2х аргументом, то 6х – тройной аргумент. Раскрываем формулу тройного аргумента:
Тогда или или
– этот корень является посторонним, что выясняется подстановкой в исходное уравнение. Посторонние корни приобретены, так как применен переход от произведения синусов к разности косинусов – а это формула, справедливая не при всех значениях аргумента.
Ответ:
Задача 4. Решить уравнение:
Заметим, что:
Теперь можем преобразовать синусы и косинусы разности и суммы:
Некоторые слагаемые сократятся:
Замечаем, что как справа, так и слева имеется возможность вынести общий множитель за скобку:
Тогда: или
Решаем первое: ,
Решаем второе:
Тогда: или
Имеем: ,
Или ,
,
,
Ответ:
Задача 5. Решить уравнение:
Заменяем сумму и разность синусов:
Тогда или или
Решение первого: ,
Чтобы решить второе, заменим сумму синусов произведением:
Тогда: или
,
Решения уравнения совпадают с ранее найденными:
Ответ: ,
Задача 6. Решить уравнение:
Задача эта легко решается введением дополнительного угла. Разделим уравнение на корень из двух:
Вспомним, как вводить дополнительный угол:
Вводим новый угол:
Тогда ,
Уравнение теперь будет выглядеть так:
Можем приравнять аргументы:
Задача 7. Решить уравнение:
Прежде всего избавимся от модуля. Там, где присутствует модуль, его раскрывают справа и слева от точки перемены знака подмодульного выражения и решают уравнение дважды. У нас подмодульное выражение , приравняем к нулю:
.
Тогда, если , то
и
– данный корень промежутку
не принадлежит. Первому корню соответствует решение:
Если , то
и
.
Первый из полученных корней дает в решении пустое множество, так как косинус превышает 1. Второй корень принадлежит своему промежутку, поэтому
Ответ: ,
Задача 8. Решить уравнение:
Сразу оговорим условие существования тангенса:
Также раскрываем модуль. Если , то
Приведем к одному знаменателю:
Домножим на :
Если , то теряет смысл второй сомножитель:
. Тогда приравниваем к нулю второй сомножитель:
Так как , то разделим на него уравнение:
Если , то
Приведем к одному знаменателю:
Домножим на :
Приравниваем к нулю множители:
или
Решение первого уравнения: ,
Решение второго:
Разделим на :
,
– это решение объединим с решением, полученным выше:
Ответ: ,
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...