Тригонометрические уравнения 2

В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:

При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:

1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс;

2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат.

При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:

1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

2)      Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

3)      При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.

Теперь можно начать решение.

Задача 1. Решить уравнение:

Введем ограничения, связанные с наличием как котангенса, так и косинуса в знаменателе:

Сначала постараемся избавиться от котангенса двойного аргумента:

Приведем к одному знаменателю подкоренное выражение:

Возводим в квадрат:

Приведем к одному знаменателю:

или

Первое решение не подходит по ОДЗ: мы это оговорили в самом начале.

Так как косинус не равен нулю, разделим на него это уравнение:

Ответ:

 

Задача 2. Решить уравнение:

Определим ОДЗ: видя присутствие тангенса, сразу оговорим, что

Также подкоренное выражение не может быть отрицательно:

Приравниваем оба множителя к нулю:

Согласно этому пути решения получим корни: – и все они не годятся. Почему? Произведение равно нулю тогда, когда один множитель равен нулю, а второй при этом не теряет смысла – а  при таких решениях второй множитель теряет смысл, потому что 2х тогда .

Поэтому рассмотрим второй множитель, и приравняем его к нулю:

– это и будет искомым решением.

Ответ:

 

Задача 3. Решить уравнение:

Заметим, что справа и слева суммы аргументов – одинаковые. Можем тогда заменить произведение синусов на разность косинусов:

Если считать 2х аргументом, то 6х – тройной аргумент. Раскрываем формулу тройного аргумента:

Тогда или    или

 

– этот корень является посторонним, что выясняется подстановкой в исходное уравнение. Посторонние корни приобретены, так как применен переход от произведения синусов к разности косинусов – а это формула, справедливая не при всех значениях аргумента.

Ответ:

 

Задача 4. Решить уравнение:

Заметим, что:

Теперь можем преобразовать синусы и косинусы разности и суммы:

Некоторые слагаемые сократятся:

Замечаем, что как справа, так и слева имеется возможность вынести общий множитель за скобку:

Тогда: или

Решаем первое: ,

Решаем второе:

Тогда: или

Имеем: ,

Или  , ,

,

Ответ:

 

 

Задача 5. Решить уравнение:

Заменяем сумму и разность синусов:

Тогда или или

Решение первого: ,

Чтобы решить второе, заменим сумму синусов произведением:

Тогда: или

,

Решения уравнения совпадают с ранее найденными:

Ответ: ,

 

Задача 6. Решить уравнение:

Задача эта легко решается введением дополнительного угла. Разделим уравнение на корень из двух:

Вспомним, как вводить  дополнительный угол:

Вводим новый угол:

Тогда ,

Уравнение теперь будет выглядеть так:

Можем приравнять аргументы:

 

Задача 7. Решить уравнение:

Прежде всего избавимся от модуля. Там, где присутствует модуль, его раскрывают справа и слева от точки перемены знака подмодульного выражения и решают уравнение дважды. У нас подмодульное выражение , приравняем к нулю: .

Тогда, если , то

 и – данный корень промежутку не принадлежит. Первому корню соответствует решение:

 

Если , то

 и .

Первый из полученных корней дает в решении пустое множество, так как косинус превышает 1. Второй корень  принадлежит своему промежутку, поэтому 

Ответ: , 

 

Задача 8. Решить уравнение:

Сразу оговорим условие существования тангенса:

Также раскрываем модуль. Если , то

Приведем к одному знаменателю:

Домножим на :

Если , то теряет смысл второй сомножитель: . Тогда приравниваем к нулю второй сомножитель:

Так как , то разделим на него уравнение:

 

Если , то

Приведем к одному знаменателю:

Домножим на :

Приравниваем к нулю множители:

  или

Решение первого уравнения: ,

Решение второго:

Разделим на :

, – это решение объединим с решением, полученным выше:

Ответ: ,