Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 13 (С1), Тригонометрия

Тригонометрические уравнения 2



В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:

При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:

1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс;

2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат.

При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:

1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

2)      Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

3)      При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.

Теперь можно начать решение.

Задача 1. Решить уравнение: sqrt{ctg 2x-ctg x}=1/{cos x}

Введем ограничения, связанные с наличием как котангенса, так и косинуса в знаменателе:

cos x<>0″ title=”cos x<>0″/><img src=

sin x<>0″ title=”sin x<>0″/><img src=

Сначала постараемся избавиться от котангенса двойного аргумента:

sqrt{{ctg^2 x-1}/{2ctg x}-ctg x}=1/{cos x}

Приведем к одному знаменателю подкоренное выражение:

sqrt{{ctg^2 x-1}/{2ctg x}-{2ctg^2 x}/{ctg x}}=1/{cos x}

sqrt{{-ctg^2 x-1}/{2ctg x}}=1/{cos x}

Возводим в квадрат:

{-ctg^2 x-1}/{2ctg x}=1/{cos^2 x}

-{ctg x}/2-1/{2ctg x}=1/{cos^2 x}

-{sin x}/{2cos x}-{cos x}/{2sin x}=1/{cos^2 x}

Приведем к одному знаменателю:

-({sin^2 x+cos^2 x}/{2sin x cos x })=1/{cos^2 x}

-1/{2sin x cos x }=1/{cos^2 x}

- cos^2 x -2sin x cos x =0

cos x(cos x + 2sin x) =0

cos x =0 или cos x + 2sin x =0

Первое решение не подходит по ОДЗ: мы это оговорили в самом начале.

cos x + 2sin x =0

Так как косинус не равен нулю, разделим на него это уравнение:

1 + 2tg x =0

tg x =-1/2

x =arctg(-1/2)+{pi}n

Ответ: x =arctg(-1/2)+{pi}n

 

Задача 2. Решить уравнение: sqrt{cos^2 x-sin^2 x}(tg 2x-1)=0

Определим ОДЗ: видя присутствие тангенса, сразу оговорим, что cos 2x<>0″ title=”cos 2x<>0″/><img src=

Также подкоренное выражение не может быть отрицательно:

cos^2 x-sin^2 x>=0″ title=”cos^2 x-sin^2 x>=0″/><img src=

Приравниваем оба множителя к нулю:

cos^2 x-sin^2 x=0

cos^2 x-1+cos^2 x=0

2cos^2 x=1

cos^2 x=1/2

cos x=pm 1/{sqrt{2}}

Согласно этому пути решения получим корни: {pi}/4, -{pi}/4, {3{pi}}/4, -{3{pi}}/4 – и все они не годятся. Почему? Произведение равно нулю тогда, когда один множитель равен нулю, а второй при этом не теряет смысла – а  при таких решениях второй множитель теряет смысл, потому что 2х тогда {pi}/2, -{pi}/2, {3{pi}}/2, -{3{pi}}/2.

Поэтому рассмотрим второй множитель, и приравняем его к нулю:

tg 2x=1

2x={pi}/4+2{pi}k

x={pi}/8+{pi}k – это и будет искомым решением.

Ответ: x={pi}/8+{pi}k

 

Задача 3. Решить уравнение: sin x*sin 7x=sin 3x*sin 5x

Заметим, что справа и слева суммы аргументов – одинаковые. Можем тогда заменить произведение синусов на разность косинусов:

sin {(8x-6x)/2}*sin {(8x+6x)/2}=sin {(8x+2x)/2}*sin {(8x-2x)/2}

-{1/2}(cos 8x-cos 6x)=-{1/2}(cos 8x-cos 2x)

cos 6x=cos 2x

Если считать 2х аргументом, то 6х – тройной аргумент. Раскрываем формулу тройного аргумента:

4cos^3 2x-3cos 2x=cos 2x

cos 2x (4cos^2 2x-4)=0

Тогда или cos 2x =0   или cos^2 2x-1=0

2x =pm {pi}/2+{pi}n

x ={{pi}n}/4

 

cos^2 2x=1

cos 2x=pm 1

2x={pi}n

x={{pi}n}/2 – этот корень является посторонним, что выясняется подстановкой в исходное уравнение. Посторонние корни приобретены, так как применен переход от произведения синусов к разности косинусов – а это формула, справедливая не при всех значениях аргумента.

Ответ: x ={{pi}n}/4

 



Задача 4. Решить уравнение: sin 3x+sin 4x+ sin 5x =cos x+ cos 2x + cos 3x

Заметим, что:

sin (4x-x)+sin 4x+ sin (4x+x) =cos (2x-x)+ cos 2x + cos (2x+x)

Теперь можем преобразовать синусы и косинусы разности и суммы:

sin 4x+sin {4x} *cos x+ cos {4x}*sin x+sin {4x}*cos x-cos {4x}*sin x =cos {2x}*cos x+sin {2x}*sin x+ cos 2x + cos {2x}*cos x-sin {2x}*sin x

Некоторые слагаемые сократятся:

sin 4x+2sin {4x} *cos x =2cos {2x}*cos x + cos 2x

Замечаем, что как справа, так и слева имеется возможность вынести общий множитель за скобку:

sin 4x(1+2cos x) =cos {2x}(2cos x + 1)

(1+2cos x) (sin 4x -cos {2x})=0

Тогда: 1+2cos x=0 или sin 4x -cos {2x}=0

Решаем первое: cos x=-{1/2}, x=pm {2{pi}}/3+2{pi}n

Решаем второе: sin 4x -cos {2x}=0

2sin {2x}*cos {2x} -cos {2x}=0

{cos {2x}}*(2sin 2x-1) =0

Тогда: cos {2x} =0 или 2sin {2x} = 1

Имеем: 2x = {pi}/2+{pi}n, x = {pi}/4+{{pi}n}/2

Или  sin {2x} = 1/2, 2x = {pi}/6+2{pi}n, x = {pi}/{12}+{pi}n

2x = {5pi}/6+2{pi}n, x = {5pi}/{12}+{pi}n

Ответ: x=pm {2{pi}}/3+2{pi}n

x = {pi}/4+{{pi}n}/2

x = {pi}/{12}+{pi}n

x = {5pi}/{12}+{pi}n

 

 

Задача 5. Решить уравнение: sin^2 2x+sin^2 3x =sin^2 4x+ sin^2 5x

sin^2 2x-sin^2 4x = sin^2 5x -sin^2 3x

(sin 2x - sin 4x) (sin 2x + sin 4x) =  (sin 5x - sin 3x) (sin 5x + sin 3x)

Заменяем сумму и разность синусов:

(2sin 3x * cos({-}x)) (2sin ({-}x) cos 3x) =  (2sin 4x * cos x) (2sin x cos 4x)

-sin 2x * sin 6x =  sin 8x sin 2x 

sin 2x ( sin 6x +  sin 8x )=0 

Тогда или sin 2x =0  или sin 6x +  sin 8x =0 

Решение первого: 2x ={pi}+2{pi}n, x ={pi}/2+{pi}n

Чтобы решить второе, заменим сумму синусов произведением:

sin 6x +  sin 8x =2 sin 7x cos x =0 

Тогда: sin 7x =0  или cos x =0 

7x ={pi}n, x ={{pi}n}/7

Решения уравнения cos x =0  совпадают с ранее найденными: x ={pi}/2+{pi}n

Ответ: x ={pi}/2+{pi}n, x ={{pi}n}/7, n in Z

 

Задача 6. Решить уравнение: sin x+cos x =sqrt{2}sin 7x

Задача эта легко решается введением дополнительного угла. Разделим уравнение на корень из двух:

(sin x+cos x) /{sqrt{2}}=sin 7x

Вспомним, как вводить  дополнительный угол:

asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}(sin x*a/{sqrt{a^2+b^2}}+cos x* b/{sqrt{a^2+b^2}})

asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}(sin x*cos varphi+cos x* sin varphi)= sqrt{a^2+b^2}sin(x+varphi)

cos varphi=a/{sqrt{a^2+b^2}}, sin varphi= b/{sqrt{a^2+b^2}}

Вводим новый угол:

Тогда a=1 /{sqrt{2}}, b=1 /{sqrt{2}}

sin varphi=1 /{sqrt{2}}, cos varphi=1 /{sqrt{2}}

Уравнение теперь будет выглядеть так:

sin (x+45{circ})=sin 7x

Можем приравнять аргументы:

x+45{circ}=7x

6x={pi}/4

x={pi}/24+2{pi}n

 

Задача 7. Решить уравнение: 4delim{|}{cos x}{|} +3=4sin^2 x

Прежде всего избавимся от модуля. Там, где присутствует модуль, его раскрывают справа и слева от точки перемены знака подмодульного выражения и решают уравнение дважды. У нас подмодульное выражение cos x, приравняем к нулю: cos x=0.

Тогда, если cos x>0″ title=”cos x>0″/><img src=, то

4cos x +3=4sin^2 x

4cos x +3-4(1-cos^2 x)=0

4cos^2 x+4cos x -1=0

D=32

cos x =-{1/2}+sqrt{2}/2  и cos x =-{1/2}-sqrt{2}/2 – данный корень промежутку cos x>0″ title=”cos x>0″/><img src= не принадлежит. Первому корню соответствует решение: x =arccos({-{1/2}+sqrt{2}/2})+2{pi}n

 

Если cos x<0, то

-4cos x +3=4sin^2 x

4cos^2 x-4cos x -1=0

D=32

cos x ={1/2}+sqrt{2}/2  и cos x ={1/2}-sqrt{2}/2.

Первый из полученных корней дает в решении пустое множество, так как косинус превышает 1. Второй корень  принадлежит своему промежутку, поэтому x =arccos({1/2}-{sqrt{2}}/2)+2{pi}n

Ответ: x =arccos({-}{1/2}+{sqrt{2}}/2)+2{pi}nx =arccos({1/2}-{sqrt{2}}/2)+2{pi}n

 

Задача 8. Решить уравнение: delim{|}{tg 2x}{|}+1 =1/{cos^2 2x}

Сразу оговорим условие существования тангенса: cos 2x<>0″ title=”cos 2x<>0″/><img src=

Также раскрываем модуль. Если tg 2x>0″ title=”tg 2x>0″/><img src=, то

tg 2x+1 =1/{cos^2 2x}

sin 2x/{cos 2x}-1/{cos^2 2x}=-1

Приведем к одному знаменателю:

{sin 2x*cos 2x -1}/{cos^2 2x}=-1

Домножим на cos^2 2x:

sin 2x*cos 2x -1=- cos^2 x  

sin 2x*cos 2x -sin^2 2x-cos^2 2x+ cos^2 x=0

sin 2x*cos 2x -sin^2 2x =0

sin 2x(cos 2x -sin 2x) =0

Если sin 2x =0, то теряет смысл второй сомножитель: cos 2x -sin 2x. Тогда приравниваем к нулю второй сомножитель:

cos 2x -sin 2x =0

Так как cos 2x<>0″ title=”cos 2x<>0″/><img src=, то разделим на него уравнение:

1 -tg 2x =0

tg 2x =1

2x ={pi}/4+{pi}n

x ={pi}/8+{{pi}n}/2

 

Если tg 2x<0, то

-tg 2x+1 =1/{cos^2 2x}

- sin 2x/{cos 2x} -1/{cos^2 2x}=-1

Приведем к одному знаменателю:

{sin 2x*cos 2x +1}/{cos^2 2x}=1

Домножим на cos^2 2x:

sin 2x*cos 2x +1=cos^2 x  

sin 2x*cos 2x +sin^2 2x+cos^2 2x- cos^2 x=0

sin 2x*cos 2x +sin^2 2x =0

sin 2x(cos 2x +sin 2x) =0

sin 2x(cos 2x +sin 2x) =0

Приравниваем к нулю множители:

sin 2x =0  или cos 2x +sin 2x =0

Решение первого уравнения: 2x =2{pi}n, x ={{pi}n}/2

Решение второго:

cos 2x +sin 2x =0

Разделим на cos 2x:

tg 2x = -1

2x =-{pi}/4+{pi}n, x =- {pi}/8+{{pi}n}/2 – это решение объединим с решением, полученным выше: x =pm{pi}/8+{{pi}n}/2

Ответ: x =pm{pi}/8+{{pi}n}/2, x ={{pi}n}/2

 



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *