Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Просто об электротехнике, электронике, математике, физике
Категория: 10-11 класс, 13 (С1), Тригонометрия

Тригонометрические уравнения 1



В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:

При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:

1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс;

2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат.

При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:

1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

2)      Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

3)      При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.

Теперь можно начать решение.

Задача 1. Решить уравнение: sqrt{sin 2x}=sqrt{cos x-sin x-1}

Возводим обе части уравнения в квадрат:

sin 2x=cos x-sin x-1

Разложим формулу sin 2x, и представим единицу как сумму квадрата синуса и квадрата косинуса:

2{sin x}{cos x}=cos x-sin x-sin^2 x-cos^2 x

Сгруппируем слагаемые:

(sin^2 x +2{sin x}{cos x}+cos^2 x)-(cos x+sin x)=0

Видим, что в первой скобке – квадрат суммы:

(sin x +cos x)^2-(cos x+sin x)=0

(sin x +cos x)(cos x+sin x-1)=0

Приравниваем к нулю каждый множитель и решаем два получившихся уравнения:

Первое: sin x +cos x=0

sin x =-cos x

sin x =-sqrt{1-sin^2 x}

При возведении в квадрат:

sin^2 x =1-sin^2 x

2sin^2 x =1

sin^2 x =1/2

sin x =pm 1/{sqrt{2}}

Заметим, что по решению синус и косинус равны по модулю, но разные по знаку. В этом варианте решения в исходном уравнении слева под корнем окажется величина отрицательная, значит, это – посторонние корни, поэтому мы даже не будем их записывать. Приобрели мы посторонние корни в результате возведения уравнения  квадрат.

Второе: cos x+sin x-1=0

cos x=1-sin x

sqrt{1-sin^2 x}=1-sin x

Возводим в квадрат:

1-sin^2 x=(1-sin x)^2

1-sin^2 x=1-2sin x+sin^2 x

2sin^2 x-2sin x=0

sin x(1-sin x)=0

Снова уравнение распалось на два:

sin x=1 – это посторонний корень, который приведет к появлению в исходном уравнении корня из отрицательного числа в правой части.

sin x=0 или x={pi}n, n in Z  – данный корень тоже содержит посторонние корни, которые также приобретены в результате возведения уравнения в квадрат. При синусе, равном нулю, косинус может быть равен как 1, так и (-1). Второе – недопустимо: в этом случае в правой части исходного уравнения – отрицательное число под корнем. Поэтому решение у уравнения всего одно: x=2{pi}n, n in Z.

 

Задача 2. Решить уравнение: sqrt{4+3cos x-cos 2x}=sqrt{6}*sin x

Возводим обе части уравнения в квадрат:

4+3cos x-cos 2x=6sin^2 x

Косинус двойного аргумента заменяем, также от синуса переходим к косинусу с помощью основного тригонометрического тождества:

4+3cos x-(2cos^2 x-1)=6(1-cos^2 x)

4+3cos x-2cos^2 x+1=6-6cos^2 x

4cos^2 x+3cos x -1=0

Вводим замену:

4a^2+3a -1=0

 

D=9+4*4=25

Корни: a_1=1/4, a_2=-1

Обратная замена:

cos x=1/4 или cos x=-1

Решения: x=arccos {1/4}+2{pi}n, x={pi}+2{pi}n, n in Z

Проверка показывает, что все корни удовлетворяют исходному уравнению.

 



Задача 3. Решить уравнение: sqrt{3/2+cos^2 x}=sin x-cos x

Чтобы избавиться от корня, возведем в квадрат:

3/2+cos^2 x=(sin x-cos x)^2

3/2+cos^2 x=sin^2 x-2sin x cos x+cos^2 x

Домножим на 2 для удобства:

3+2cos^2 x=2-4sin x cos x

1+2cos^2 x+4sin x cos x=0

Произведем перегруппировку:

sin^2 x+ sin x cos x+ 3cos^2 x+3sin x cos x=0

sin x(sin x+ cos x)+ 3cos x(cos x+sin x)=0

(sin x+ cos x)(sin x+ 3cos x)=0

sin x+ cos x=0 или sin x+ 3cos x=0

Первое:

sin x =-cos x

sin x =-sqrt{1-sin^2 x}

При возведении в квадрат:

sin^2 x =1-sin^2 x

2sin^2 x =1

sin^2 x =1/2

sin x =pm 1/{sqrt{2}}

Так как правая часть уравнения должна быть неотрицательной, и, кроме того, синус и косинус – разных знаков, то решение одно:

x={3pi}/4+2{pi}n

Второе:

sin x+ 3cos x=0

Так как решения уравнения cos x=0 не являются решениями исходного уравнения, то деление на cos x не приведет к потере корней, тогда разделим на cos x:

tg x+ 3=0

tg x= -3

Решением этого уравнения является угол, синус и косинус которого имеют разные знаки. При этом угол в четвертом квадранте нам не подойдет: у такого угла отрицательный синус и положительный косинус, а это противоречит исходному уравнению: приведет к отрицательному значению операции извлечения корня. Угол во втором квадранте нас устроит.

x={pi}- arctg{3}+2{pi}n

Ответ: x={3pi}/4+2{pi}n, x={pi}- arctg{3}+2{pi}n

 

Задача 4. Решить уравнение: sqrt{5cos x-cos 2x}=-2sin x

Сразу делаем вывод, что полученный нами далее в ходе решения sin x должен быть неположительным , иначе результат извлечения корня не будет положительным.

Возводим все уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

5cos x-cos 2x=4sin^2 x

Раскрываем формулу двойного аргумента и заменяем синусы на косинусы:

5cos x-(1-2cos^2 x)=4(1-cos^2 x)

Получили квадратное уравнение относительно косинусов:

2cos^2 x +5cos x-3=0

cos x=1/2 или cos x=-3  – очевидно, что решение второго – пустое множество.

С учетом того, что синус должен быть отрицателен (или равен нулю), решение единственное:

Ответ: x=-{pi}/3+2{pi}n, n in Z.

 

Задача 5. Решить уравнение: sqrt{cos x+cos 3x}=-sqrt{2}cos x

Полученный в ходе решения косинус может быть или отрицательным числом, или нулем.

Возводим уравнение в квадрат:

cos x+cos 3x=2cos^2 x

Формулу тройного аргумента раскроем:

cos x+4cos^3 x-3cos x-2cos^2 x=0

4cos^3 x-2cos^2 x -2cos x =0

2cos x(2cos^2 x -cos x-1) =0

cos x =0 или 2cos^2 x -cos x-1 =0 – сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень – 1, а второй – с/a – (-1/2)

Итак, имеем: cos x =0, или cos x =1, илиcos x =-1/2

Решения первого уравнения:

x ={pi}/2+{pi}n, n in Z

Решения второго уравнения:

x =2{pi}n, n in Z – не являются решениями исходного уравнения, так как косинус должен быть отрицателен.

Решения третьего:

x =pm {2{pi}}/3+2{pi}n, n in Z

Ответ: x ={pi}/2+{pi}n, n in Z, x =pm {2{pi}}/3+2{pi}n, n in Z

 

Задача 6. Решить уравнение: sqrt{sin 3x-sin x}=1/{sqrt{3}}sin x

Замечаем, что синус должен быть неотрицательным числом, так как слева – корень.

Возводим в квадрат:

sin 3x-sin x={1/3}sin^2 x

Раскроем формулу тройного аргумента:

3sin x-4sin^3 x-sin x-{1/3}sin^2 x=0

Домножим на 3 для удобства:

12sin^3 x+sin^2 x-6sin x =0

sin x (12sin^2 x+sin x-6) =0

Приравняем к нулю оба множителя:

sin x =0 или  12sin^2 x+sin x-6 =0

x ={pi}n, n in Z

Решаем теперь второе, квадратное, уравнение:

12sin^2 x+sin x-6 =0

D=1+12*4*6=289

Корни получаются такие: 2/3 и (-3/4) – последний корень не подходит по ОДЗ, так как результат извлечения корня не может быть отрицательным.

Второму корню будет соответствовать решение:

x =arcsin (2/3)+2{pi}n, n in Z и x ={pi}-arcsin (2/3)+2{pi}n, n in Z, эти два решения можно объединить в одно и записать: x =(-1)^n*arcsin (2/3)+{pi}n, n in Z

Ответ: x ={pi}n, x =(-1)^n*arcsin (2/3)+{pi}n, n in Z.



Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *