В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:
При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:
1) Уравнение содержит тангенс или котангенс;
2) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
3) Обе части уравнения возводятся в квадрат.
При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:
1) Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;
2) Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;
3) При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.
Теперь можно начать решение.
Задача 1. Решить уравнение:
Возводим обе части уравнения в квадрат:
Разложим формулу , и представим единицу как сумму квадрата синуса и квадрата косинуса:
Сгруппируем слагаемые:
Видим, что в первой скобке – квадрат суммы:
Приравниваем к нулю каждый множитель и решаем два получившихся уравнения:
Первое:
При возведении в квадрат:
Заметим, что по решению синус и косинус равны по модулю, но разные по знаку. В этом варианте решения в исходном уравнении слева под корнем окажется величина отрицательная, значит, это – посторонние корни, поэтому мы даже не будем их записывать. Приобрели мы посторонние корни в результате возведения уравнения квадрат.
Второе:
Возводим в квадрат:
Снова уравнение распалось на два:
– это посторонний корень, который приведет к появлению в исходном уравнении корня из отрицательного числа в правой части.
или
– данный корень тоже содержит посторонние корни, которые также приобретены в результате возведения уравнения в квадрат. При синусе, равном нулю, косинус может быть равен как 1, так и (-1). Второе – недопустимо: в этом случае в правой части исходного уравнения – отрицательное число под корнем. Поэтому решение у уравнения всего одно:
.
Задача 2. Решить уравнение:
Возводим обе части уравнения в квадрат:
Косинус двойного аргумента заменяем, также от синуса переходим к косинусу с помощью основного тригонометрического тождества:
Вводим замену:
Корни:
Обратная замена:
или
Решения:
Проверка показывает, что все корни удовлетворяют исходному уравнению.
Задача 3. Решить уравнение:
Чтобы избавиться от корня, возведем в квадрат:
Домножим на 2 для удобства:
Произведем перегруппировку:
или
Первое:
При возведении в квадрат:
Так как правая часть уравнения должна быть неотрицательной, и, кроме того, синус и косинус – разных знаков, то решение одно:
Второе:
Так как решения уравнения не являются решениями исходного уравнения, то деление на
не приведет к потере корней, тогда разделим на
:
Решением этого уравнения является угол, синус и косинус которого имеют разные знаки. При этом угол в четвертом квадранте нам не подойдет: у такого угла отрицательный синус и положительный косинус, а это противоречит исходному уравнению: приведет к отрицательному значению операции извлечения корня. Угол во втором квадранте нас устроит.
Ответ: ,
Задача 4. Решить уравнение:
Сразу делаем вывод, что полученный нами далее в ходе решения должен быть неположительным , иначе результат извлечения корня не будет положительным.
Возводим все уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:
Раскрываем формулу двойного аргумента и заменяем синусы на косинусы:
Получили квадратное уравнение относительно косинусов:
или
– очевидно, что решение второго – пустое множество.
С учетом того, что синус должен быть отрицателен (или равен нулю), решение единственное:
Ответ: .
Задача 5. Решить уравнение:
Полученный в ходе решения косинус может быть или отрицательным числом, или нулем.
Возводим уравнение в квадрат:
Формулу тройного аргумента раскроем:
или
– сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень – 1, а второй – с/a – (-1/2)
Итак, имеем: , или
, или
Решения первого уравнения:
Решения второго уравнения:
– не являются решениями исходного уравнения, так как косинус должен быть отрицателен.
Решения третьего:
Ответ: ,
Задача 6. Решить уравнение:
Замечаем, что синус должен быть неотрицательным числом, так как слева – корень.
Возводим в квадрат:
Раскроем формулу тройного аргумента:
Домножим на 3 для удобства:
Приравняем к нулю оба множителя:
или
Решаем теперь второе, квадратное, уравнение:
Корни получаются такие: 2/3 и (-3/4) – последний корень не подходит по ОДЗ, так как результат извлечения корня не может быть отрицательным.
Второму корню будет соответствовать решение:
и
, эти два решения можно объединить в одно и записать:
Ответ: ,
.
Александр, закралась опечатка, теперь благодаря Вам она...
...
Да, спасибо, почему-то иногда право и лево... хм... меняются...
Вот в том и вопрос, что при решении задачи 20 используется геометрия треугольника...
Добрый час! Во втором примере небольшая несозвучность: функции на графике...