Тригонометрические уравнения 1

В этой статье будут рассмотрены тригонометрические уравнения с корнями. Прежде чем приступить к решению, вспомним, когда появляется опасность потерять корни или приобрести посторонние. Итак:

При решении тригонометрических уравнений могут появиться посторонние корни, если:

1)      Уравнение содержит тангенс или котангенс;

2)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

3)      Обе части уравнения возводятся в квадрат.

При решении тригонометрических уравнений могут быть потеряны корни, если:

1)      Обе части уравнения умножаются или делятся на выражение, содержащее неизвестное;

2)      Используются тригонометрические формулы, которые справедливы не при всех значениях неизвестного;

3)      При решении системы тригонометрических уравнений для обозначения целого числа в найденных значениях x и y используется только одна буква.

Теперь можно начать решение.

Задача 1. Решить уравнение:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

Разложим формулу , и представим единицу как сумму квадрата синуса и квадрата косинуса:

Сгруппируем слагаемые:

Видим, что в первой скобке – квадрат суммы:

Приравниваем к нулю каждый множитель и решаем два получившихся уравнения:

Первое:

При возведении в квадрат:

Заметим, что по решению синус и косинус равны по модулю, но разные по знаку. В этом варианте решения в исходном уравнении слева под корнем окажется величина отрицательная, значит, это – посторонние корни, поэтому мы даже не будем их записывать. Приобрели мы посторонние корни в результате возведения уравнения  квадрат.

Второе:

Возводим в квадрат:

Снова уравнение распалось на два:

– это посторонний корень, который приведет к появлению в исходном уравнении корня из отрицательного числа в правой части.

или  – данный корень тоже содержит посторонние корни, которые также приобретены в результате возведения уравнения в квадрат. При синусе, равном нулю, косинус может быть равен как 1, так и (-1). Второе – недопустимо: в этом случае в правой части исходного уравнения – отрицательное число под корнем. Поэтому решение у уравнения всего одно: .

 

Задача 2. Решить уравнение:

Возводим обе части уравнения в квадрат:

Косинус двойного аргумента заменяем, также от синуса переходим к косинусу с помощью основного тригонометрического тождества:

Вводим замену:

 

Корни:

Обратная замена:

или

Решения:

Проверка показывает, что все корни удовлетворяют исходному уравнению.

 

Задача 3. Решить уравнение:

Чтобы избавиться от корня, возведем в квадрат:

Домножим на 2 для удобства:

Произведем перегруппировку:

или

Первое:

При возведении в квадрат:

Так как правая часть уравнения должна быть неотрицательной, и, кроме того, синус и косинус – разных знаков, то решение одно:

Второе:

Так как решения уравнения не являются решениями исходного уравнения, то деление на не приведет к потере корней, тогда разделим на :

Решением этого уравнения является угол, синус и косинус которого имеют разные знаки. При этом угол в четвертом квадранте нам не подойдет: у такого угла отрицательный синус и положительный косинус, а это противоречит исходному уравнению: приведет к отрицательному значению операции извлечения корня. Угол во втором квадранте нас устроит.

Ответ: ,

 

Задача 4. Решить уравнение:

Сразу делаем вывод, что полученный нами далее в ходе решения должен быть неположительным , иначе результат извлечения корня не будет положительным.

Возводим все уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

Раскрываем формулу двойного аргумента и заменяем синусы на косинусы:

Получили квадратное уравнение относительно косинусов:

или   – очевидно, что решение второго – пустое множество.

С учетом того, что синус должен быть отрицателен (или равен нулю), решение единственное:

Ответ: .

 

Задача 5. Решить уравнение:

Полученный в ходе решения косинус может быть или отрицательным числом, или нулем.

Возводим уравнение в квадрат:

Формулу тройного аргумента раскроем:

или – сумма коэффициентов уравнения равна 0, поэтому первый корень – 1, а второй – с/a – (-1/2)

Итак, имеем: , или , или

Решения первого уравнения:

Решения второго уравнения:

– не являются решениями исходного уравнения, так как косинус должен быть отрицателен.

Решения третьего:

Ответ: ,

 

Задача 6. Решить уравнение:

Замечаем, что синус должен быть неотрицательным числом, так как слева – корень.

Возводим в квадрат:

Раскроем формулу тройного аргумента:

Домножим на 3 для удобства:

Приравняем к нулю оба множителя:

или 

Решаем теперь второе, квадратное, уравнение:

Корни получаются такие: 2/3 и (-3/4) – последний корень не подходит по ОДЗ, так как результат извлечения корня не может быть отрицательным.

Второму корню будет соответствовать решение:

и , эти два решения можно объединить в одно и записать:

Ответ: , .