Три заряженные концентрические сферы

[latexpage]

Продолжаю серию задач с проводящими сферами. Вот несложная задача.

Три проводящие концентрические сферы радиусов $r_0$, $2r_0$ и $3r_0$ имеют заряды $q$, $2q$ и $-3q$ соответственно. Определите потенциал каждой из сфер и постройте график зависимости $\varphi(r)$.

Решение. Рассмотрим внутреннюю сферу. Ее потенциал будет складываться из потенциалов всех трех сфер, причем потенциал поверхности будет равен потенциалу любой точки внутри нее:

$$\varphi_1=\frac{kq}{r_0}+ \frac{2kq}{2r_0}- \frac{3kq}{3r_0}= \frac{kq}{r_0}$$

Если рассмотреть пространство между внутренней и второй сферами, то потенциал каждой точки здесь зависит от ее расстояния от центра сферы и определяется по формуле:

$$\varphi(r)= \frac{kq}{r}$$

На поверхности это величина $\frac{kq}{r_0}$, а при удалении от центра потенциал падает – это гипербола.

Теперь рассмотрим вторую сферу. Он также является суммой трех потенциалов:

$$\varphi_2=\frac{kq}{2r_0}+ \frac{2kq}{2r_0}- \frac{3kq}{3r_0}= \frac{kq}{2r_0}$$

Первое слагаемое – потенциал внутренней сферы на расстоянии $2r_0$, второе – потенциал самой этой сферы, третье – потенциал внешней сферы.

При удалении от поверхности этой сферы потенциал тоже будет падать, так как он будет определяться выражением:

$$\varphi(r)= \frac{kq}{r}+ \frac{2kq}{r}- \frac{3kq}{3r_0} = \frac{3kq}{r}- \frac{kq}{r_0} $$

Теперь переходим ко внешней сфере: ее потенциал складывается из потенциалов двух первых при $r=3r_0$, и потенциала самой третьей сферы.

$$\varphi_3=\frac{kq}{3r_0}+ \frac{2kq}{3r_0}- \frac{3kq}{3r_0}=0$$

Значит, во внешнем пространстве тоже будет нулевой потенциал.