Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Потенциал, Электростатика

Три заряженные концентрические сферы

Продолжаю серию задач с проводящими сферами. Вот несложная задача.

Три проводящие концентрические сферы радиусов r_0, 2r_0 и 3r_0 имеют заряды q, 2q и -3q соответственно. Определите потенциал каждой из сфер и постройте график зависимости \varphi(r).

Решение. Рассмотрим внутреннюю сферу. Ее потенциал будет складываться из потенциалов всех трех сфер, причем потенциал поверхности будет равен потенциалу любой точки внутри нее:

    \[\varphi_1=\frac{kq}{r_0}+ \frac{2kq}{2r_0}- \frac{3kq}{3r_0}= \frac{kq}{r_0}\]

Если рассмотреть пространство между внутренней и второй сферами, то потенциал каждой точки здесь зависит от ее расстояния от центра сферы и определяется по формуле:

    \[\varphi(r)= \frac{kq}{r}\]

На поверхности это величина \frac{kq}{r_0}, а при удалении от центра потенциал падает – это гипербола.

Теперь рассмотрим вторую сферу. Он также является суммой трех потенциалов:

    \[\varphi_2=\frac{kq}{2r_0}+ \frac{2kq}{2r_0}- \frac{3kq}{3r_0}= \frac{kq}{2r_0}\]

Первое слагаемое – потенциал внутренней сферы на расстоянии 2r_0, второе – потенциал самой этой сферы, третье – потенциал внешней сферы.

При удалении от поверхности этой сферы потенциал тоже будет падать, так как он будет определяться выражением:

    \[\varphi(r)= \frac{kq}{r}+ \frac{2kq}{r}- \frac{3kq}{3r_0} = \frac{3kq}{r}- \frac{kq}{r_0}\]

Теперь переходим ко внешней сфере: ее потенциал складывается из потенциалов двух первых при r=3r_0, и потенциала самой третьей сферы.

    \[\varphi_3=\frac{kq}{3r_0}+ \frac{2kq}{3r_0}- \frac{3kq}{3r_0}=0\]

Значит, во внешнем пространстве тоже будет нулевой потенциал.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *