Три заряженные концентрические сферы

Продолжаю серию задач с проводящими сферами. Вот несложная задача.

Три проводящие концентрические сферы радиусов , и  имеют заряды , и  соответственно. Определите потенциал каждой из сфер и постройте график зависимости .

Решение. Рассмотрим внутреннюю сферу. Ее потенциал будет складываться из потенциалов всех трех сфер, причем потенциал поверхности будет равен потенциалу любой точки внутри нее:

Если рассмотреть пространство между внутренней и второй сферами, то потенциал каждой точки здесь зависит от ее расстояния от центра сферы и определяется по формуле:

На поверхности это величина , а при удалении от центра потенциал падает - это гипербола.

Теперь рассмотрим вторую сферу. Он также является суммой трех потенциалов:

Первое слагаемое - потенциал внутренней сферы на расстоянии , второе - потенциал самой этой сферы, третье - потенциал внешней сферы.

При удалении от поверхности этой сферы потенциал тоже будет падать, так как он будет определяться выражением:

Теперь переходим ко внешней сфере: ее потенциал складывается из потенциалов двух первых при , и потенциала самой третьей сферы.

Значит, во внешнем пространстве тоже будет нулевой потенциал.