Три способа решить уравнение с параметром

[latexpage]

В статье разбираем три решения одной задачи. Три разных видения, три подхода. Выбирайте на вкус.

Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$3\sin x+ \cos x =a$$

Имеет единственное решение на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

Решение. Способ 1.

Обозначим $\cos x=u$, $\sin x=\upsilon$ и найдем, при каких значениях $a$ система имеет единственное решение, $-\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant u\leqslant  \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Первое уравнение – окружность с центром в точке $(0;0)$ единичного радиуса. Второе уравнение – семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-\frac{1}{3}$.

$$\upsilon=-\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}a$$

Изобразим интересующую нас дугу окружности: $A(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$, $B(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Дуга окружности

Если прямая проходит через  $A$, то

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a$$

$$a=\sqrt{2}$$

Прямая проходит через точку B

Если прямая проходит через точку $B$,

$$\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a$$

$$a=2\sqrt{2}$$

При $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ прямая пересекает дугу в одной точке.

Рассмотрим случай касания прямой и окружности. Уравнение прямой

$$u+3\upsilon -a=0$$

Касание прямой и дуги

При касании расстояние от прямой до центра окружности равно 1, тогда

$$\rho=\frac{\mid a\mid}{\sqrt{1+9}}=1$$

Откуда

$$a=\sqrt{10}$$

Ответ: $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\cup \{\sqrt{10}\}$

Способ 2. Перепишем уравнение в виде

$$(a+1)\sin^2\frac{x}{2}-6\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+(a-1)\cos^2\frac{x}{2}=0$$

Разделим на $\cos^2\frac{x}{2}$, получим

$$(a+1)\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}-6\operatorname{tg}\frac{x}{2}+(a-1)=0$$

$$\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \frac{3\pi}{4}$$

$$\frac{\pi}{8}\leqslant \frac{x}{2}\leqslant \frac{3\pi}{8}$$

$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}$$

$$\sqrt{2}-1\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \sqrt{2}+1$$

Переформулируем задачу: пусть $\operatorname{tg} \frac{x}{2}=t$.

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$(a+1)t^2-6t+(a-1)=0$$

имеет единственное решение на отрезке $[\sqrt{2}-1; \sqrt{2}+1]$.

При $a=-1$ уравнение линейное, корень его $t=-\frac{1}{3}$. Корень единственен, но не принадлежит отрезку.

При $a\neq -1$ уравнение квадратное, может иметь два корня. При этом один должен попадать на отрезок, а второй быть слева от него или справа.

Значит, значение функции в левом конце отрезка и в правом должны иметь разные знаки. Знак неравенства нестрогий, так как корень может попасть и в точки краев отрезка.

$$f(\sqrt{2}-1)\cdot f( \sqrt{2}+1)\leqslant 0$$

$$((a+1)( \sqrt{2}-1)^2-6(\sqrt{2}-1)+(a-1))\cdot ((a+1)( \sqrt{2}+1)^2-6(\sqrt{2}+1)+(a-1)) \leqslant 0$$

$$((a+1)(4+ 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}-8)\cdot ((a+1)(4- 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}+4) \leqslant 0$$

$$((a(4+ 2\sqrt{2})-4\sqrt{2}-4)\cdot (a(4- 2\sqrt{2})-8\sqrt{2}+8) \leqslant 0$$

$$((a(4+ 2\sqrt{2})-4\sqrt{2}-4)\cdot (a(4- 2\sqrt{2})-8\sqrt{2}+8) \leqslant 0$$

Каждую скобку приравниваем к нулю, избавляемся от иррациональности в знаменателе и получаем

$$(a-2\sqrt{2})\cdot (a-\sqrt{2})\leqslant 0$$

Откуда $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.

Но может иметь и один корень, тогда его дискриминант равен 0.

$$D=36-4(a-1)(a+1)=40-4a^2=0$$

$$a=\sqrt{10}$$

Так как мы уже видели, что интересующая нас дуга лежит выше оси $x$, то отрицательное значение параметра отбрасываем.

Ответ $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup \{\sqrt{10}\}$.

Способ 3. Я просто построила оба графика, очень приближенно, и сложила ординаты точек (на глаз, примерно).

Графики обеих тригонометрических функций

Затем отметила отрезок, который меня интересует, и просто подставила его края, потому что видно, что горизонтальная прямая пересекает график один раз между точками $A$ и $B$:

Определяем значение параметра в точках A и B

Для точки $A$ (тут два корня):

$$3\sin \frac{\pi}{4}+ \cos \frac{\pi}{4} =a$$

$$ a= 3\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2} =2\sqrt{2} $$

Для точки $B$:

$$3\sin \frac{3\pi}{4}+ \cos \frac{3\pi}{4} =a$$

$$ a= 3\frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2} $$

И для точки $C$, в которой функция принимает наибольшее значение:

$$f(x)= 3\sin x+ \cos x$$

$$f’(x)=3\cos x-\sin x=0$$

$$\operatorname{tg} x=3$$

Тогда при таком тангенсе $\sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos x=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Таким образом,

$$ a= 3\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}=\sqrt{10} $$

Так как в точке $A$ два корня, значение параметра $a=2\sqrt{2}$ выкалываем.

Ответ $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup \{\sqrt{10}\}$.