Три способа решить уравнение с параметром

В статье разбираем три решения одной задачи. Три разных видения, три подхода. Выбирайте на вкус.

Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$3\sin x+ \cos x =a$

Имеет единственное решение на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$ .

Решение. Способ 1.

Обозначим $\cos x=u$ , $\sin x=\upsilon$ и найдем, при каких значениях $a$ система имеет единственное решение, $-\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant u\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Первое уравнение – окружность с центром в точке $(0;0)$ единичного радиуса. Второе уравнение – семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-\frac{1}{3}$ .

$\upsilon=-\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}a$

Изобразим интересующую нас дугу окружности: $A(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$ , $B(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Дуга окружности

Если прямая проходит через $A$ , то

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a$

$a=\sqrt{2}$

Прямая проходит через точку B

Если прямая проходит через точку $B$ ,

$\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a$

$a=2\sqrt{2}$

При $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ прямая пересекает дугу в одной точке.

Рассмотрим случай касания прямой и окружности. Уравнение прямой

$u+3\upsilon -a=0$

Касание прямой и дуги

При касании расстояние от прямой до центра окружности равно 1, тогда

$\rho=\frac{\mid a\mid}{\sqrt{1+9}}=1$

Откуда

$a=\sqrt{10}$

Ответ: $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\cup \{\sqrt{10}\}$

Способ 2. Перепишем уравнение в виде

$(a+1)\sin^2\frac{x}{2}-6\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+(a-1)\cos^2\frac{x}{2}=0$

Разделим на $\cos^2\frac{x}{2}$ , получим

$(a+1)\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}-6\operatorname{tg}\frac{x}{2}+(a-1)=0$

$\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{8}\leqslant \frac{x}{2}\leqslant \frac{3\pi}{8}$

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}$

$\sqrt{2}-1\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \sqrt{2}+1$

Переформулируем задачу: пусть $\operatorname{tg} \frac{x}{2}=t$ .

При каких значениях параметра $a$ уравнение

$(a+1)t^2-6t+(a-1)=0$

имеет единственное решение на отрезке $[\sqrt{2}-1; \sqrt{2}+1]$ .

При $a=-1$ уравнение линейное, корень его $t=-\frac{1}{3}$ . Корень единственен, но не принадлежит отрезку.

При $a\neq -1$ уравнение квадратное, может иметь два корня. При этом один должен попадать на отрезок, а второй быть слева от него или справа.

Значит, значение функции в левом конце отрезка и в правом должны иметь разные знаки. Знак неравенства нестрогий, так как корень может попасть и в точки краев отрезка.

$f(\sqrt{2}-1)\cdot f( \sqrt{2}+1)\leqslant 0$

$((a+1)( \sqrt{2}-1)^2-6(\sqrt{2}-1)+(a-1))\cdot ((a+1)( \sqrt{2}+1)^2-6(\sqrt{2}+1)+(a-1)) \leqslant 0$

$((a+1)(4+ 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}-8)\cdot ((a+1)(4- 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}+4) \leqslant 0$

$((a(4+ 2\sqrt{2})-4\sqrt{2}-4)\cdot (a(4- 2\sqrt{2})-8\sqrt{2}+8) \leqslant 0$

Каждую скобку приравниваем к нулю, избавляемся от иррациональности в знаменателе и получаем

$(a-2\sqrt{2})\cdot (a-\sqrt{2})\leqslant 0$

Откуда $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ .

Но может иметь и один корень, тогда его дискриминант равен 0.

$D=36-4(a-1)(a+1)=40-4a^2=0$

$a=\sqrt{10}$

Так как мы уже видели, что интересующая нас дуга лежит выше оси $x$ , то отрицательное значение параметра отбрасываем.

Ответ $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup \{\sqrt{10}\}$ .

Способ 3. Я просто построила оба графика, очень приближенно, и сложила ординаты точек (на глаз, примерно).

Графики обеих тригонометрических функций

Затем отметила отрезок, который меня интересует, и просто подставила его края, потому что видно, что горизонтальная прямая пересекает график один раз между точками $A$ и $B$ :