[latexpage]
В статье разбираем три решения одной задачи. Три разных видения, три подхода. Выбирайте на вкус.
Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$3\sin x+ \cos x =a$$
Имеет единственное решение на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.
Решение. Способ 1.
Обозначим $\cos x=u$, $\sin x=\upsilon$ и найдем, при каких значениях $a$ система имеет единственное решение, $-\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant u\leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Первое уравнение – окружность с центром в точке $(0;0)$ единичного радиуса. Второе уравнение – семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=-\frac{1}{3}$.
$$\upsilon=-\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}a$$
Изобразим интересующую нас дугу окружности: $A(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$, $B(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Дуга окружности
Если прямая проходит через $A$, то
$$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a$$
$$a=\sqrt{2}$$

Прямая проходит через точку B
Если прямая проходит через точку $B$,
$$\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a$$
$$a=2\sqrt{2}$$
При $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$ прямая пересекает дугу в одной точке.
Рассмотрим случай касания прямой и окружности. Уравнение прямой
$$u+3\upsilon -a=0$$

Касание прямой и дуги
При касании расстояние от прямой до центра окружности равно 1, тогда
$$\rho=\frac{\mid a\mid}{\sqrt{1+9}}=1$$
Откуда
$$a=\sqrt{10}$$
Ответ: $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\cup \{\sqrt{10}\}$
Способ 2. Перепишем уравнение в виде
$$(a+1)\sin^2\frac{x}{2}-6\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+(a-1)\cos^2\frac{x}{2}=0$$
Разделим на $\cos^2\frac{x}{2}$, получим
$$(a+1)\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}-6\operatorname{tg}\frac{x}{2}+(a-1)=0$$
$$\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \frac{3\pi}{4}$$
$$\frac{\pi}{8}\leqslant \frac{x}{2}\leqslant \frac{3\pi}{8}$$
$$\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}$$
$$\sqrt{2}-1\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \sqrt{2}+1$$
Переформулируем задачу: пусть $\operatorname{tg} \frac{x}{2}=t$.
При каких значениях параметра $a$ уравнение
$$(a+1)t^2-6t+(a-1)=0$$
имеет единственное решение на отрезке $[\sqrt{2}-1; \sqrt{2}+1]$.
При $a=-1$ уравнение линейное, корень его $t=-\frac{1}{3}$. Корень единственен, но не принадлежит отрезку.
При $a\neq -1$ уравнение квадратное, может иметь два корня. При этом один должен попадать на отрезок, а второй быть слева от него или справа.
Значит, значение функции в левом конце отрезка и в правом должны иметь разные знаки. Знак неравенства нестрогий, так как корень может попасть и в точки краев отрезка.
$$f(\sqrt{2}-1)\cdot f( \sqrt{2}+1)\leqslant 0$$
$$((a+1)( \sqrt{2}-1)^2-6(\sqrt{2}-1)+(a-1))\cdot ((a+1)( \sqrt{2}+1)^2-6(\sqrt{2}+1)+(a-1)) \leqslant 0$$
$$((a+1)(4+ 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}-8)\cdot ((a+1)(4- 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}+4) \leqslant 0$$
$$((a(4+ 2\sqrt{2})-4\sqrt{2}-4)\cdot (a(4- 2\sqrt{2})-8\sqrt{2}+8) \leqslant 0$$
$$((a(4+ 2\sqrt{2})-4\sqrt{2}-4)\cdot (a(4- 2\sqrt{2})-8\sqrt{2}+8) \leqslant 0$$
Каждую скобку приравниваем к нулю, избавляемся от иррациональности в знаменателе и получаем
$$(a-2\sqrt{2})\cdot (a-\sqrt{2})\leqslant 0$$
Откуда $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.
Но может иметь и один корень, тогда его дискриминант равен 0.
$$D=36-4(a-1)(a+1)=40-4a^2=0$$
$$a=\sqrt{10}$$
Так как мы уже видели, что интересующая нас дуга лежит выше оси $x$, то отрицательное значение параметра отбрасываем.
Ответ $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup \{\sqrt{10}\}$.
Способ 3. Я просто построила оба графика, очень приближенно, и сложила ординаты точек (на глаз, примерно).

Графики обеих тригонометрических функций
Затем отметила отрезок, который меня интересует, и просто подставила его края, потому что видно, что горизонтальная прямая пересекает график один раз между точками $A$ и $B$:

Определяем значение параметра в точках A и B
Для точки $A$ (тут два корня):
$$3\sin \frac{\pi}{4}+ \cos \frac{\pi}{4} =a$$
$$ a= 3\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2} =2\sqrt{2} $$
Для точки $B$:
$$3\sin \frac{3\pi}{4}+ \cos \frac{3\pi}{4} =a$$
$$ a= 3\frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2} $$
И для точки $C$, в которой функция принимает наибольшее значение:
$$f(x)= 3\sin x+ \cos x$$
$$f’(x)=3\cos x-\sin x=0$$
$$\operatorname{tg} x=3$$
Тогда при таком тангенсе $\sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos x=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Таким образом,
$$ a= 3\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}=\sqrt{10} $$
Так как в точке $A$ два корня, значение параметра $a=2\sqrt{2}$ выкалываем.
Ответ $a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup \{\sqrt{10}\}$.
В 14-ой нашел отношение q1\q2 + q2\q1 = 7 а дальше никак не...
Почему в 13 задании объем воды уменьшается? У нас же плавится...
А как решается 6-й...
Понял,...
Потому что дана не удельная, а просто теплоемкость - она уже внутри себя несет...