Просто о физике, математике, электротехнике
Просто о физике, математике, электротехнике
Категория: Параметры (17 (С5))

Три способа решить уравнение с параметром

В статье разбираем три решения одной задачи. Три разных видения, три подхода. Выбирайте на вкус.

Задача. При каких значениях параметра a уравнение

    \[3\sin x+ \cos x =a\]

Имеет единственное решение на отрезке \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right].

Решение. Способ 1.

Обозначим \cos x=u, \sin x=\upsilon и найдем, при каких значениях a система имеет единственное решение, -\frac{\sqrt{2}}{2}\leqslant u\leqslant  \frac{\sqrt{2}}{2}.

Первое уравнение – окружность с центром в точке (0;0) единичного радиуса. Второе уравнение – семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=-\frac{1}{3}.

    \[\upsilon=-\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}a\]

Изобразим интересующую нас дугу окружности: A(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}), B(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}).

Дуга окружности

Если прямая проходит через  A, то

    \[\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a\]

    \[a=\sqrt{2}\]

Прямая проходит через точку B

Если прямая проходит через точку B,

    \[\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{3}a\]

    \[a=2\sqrt{2}\]

При a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) прямая пересекает дугу в одной точке.

Рассмотрим случай касания прямой и окружности. Уравнение прямой

    \[u+3\upsilon -a=0\]

Касание прямой и дуги

При касании расстояние от прямой до центра окружности равно 1, тогда

    \[\rho=\frac{\mid a\mid}{\sqrt{1+9}}=1\]

Откуда

    \[a=\sqrt{10}\]

Ответ: a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2})\cup \{\sqrt{10}\}


Способ 2. Перепишем уравнение в виде

    \[(a+1)\sin^2\frac{x}{2}-6\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+(a-1)\cos^2\frac{x}{2}=0\]

Разделим на \cos^2\frac{x}{2}, получим

    \[(a+1)\operatorname{tg}^2\frac{x}{2}-6\operatorname{tg}\frac{x}{2}+(a-1)=0\]

    \[\frac{\pi}{4}\leqslant x\leqslant \frac{3\pi}{4}\]

    \[\frac{\pi}{8}\leqslant \frac{x}{2}\leqslant \frac{3\pi}{8}\]

    \[\operatorname{tg}\frac{\pi}{8}\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \operatorname{tg}\frac{3\pi}{8}\]

    \[\sqrt{2}-1\leqslant\operatorname{tg} \frac{x}{2}\leqslant \sqrt{2}+1\]

Переформулируем задачу: пусть \operatorname{tg} \frac{x}{2}=t.

При каких значениях параметра a уравнение

    \[(a+1)t^2-6t+(a-1)=0\]

имеет единственное решение на отрезке [\sqrt{2}-1; \sqrt{2}+1].

При a=-1 уравнение линейное, корень его t=-\frac{1}{3}. Корень единственен, но не принадлежит отрезку.

При a\neq -1 уравнение квадратное, может иметь два корня. При этом один должен попадать на отрезок, а второй быть слева от него или справа.

Значит, значение функции в левом конце отрезка и в правом должны иметь разные знаки. Знак неравенства нестрогий, так как корень может попасть и в точки краев отрезка.

    \[f(\sqrt{2}-1)\cdot f( \sqrt{2}+1)\leqslant 0\]

    \[((a+1)( \sqrt{2}-1)^2-6(\sqrt{2}-1)+(a-1))\cdot ((a+1)( \sqrt{2}+1)^2-6(\sqrt{2}+1)+(a-1)) \leqslant 0\]

    \[((a+1)(4+ 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}-8)\cdot ((a+1)(4- 2\sqrt{2})-6\sqrt{2}+4) \leqslant 0\]

    \[((a(4+ 2\sqrt{2})-4\sqrt{2}-4)\cdot (a(4- 2\sqrt{2})-8\sqrt{2}+8) \leqslant 0\]

    \[((a(4+ 2\sqrt{2})-4\sqrt{2}-4)\cdot (a(4- 2\sqrt{2})-8\sqrt{2}+8) \leqslant 0\]

Каждую скобку приравниваем к нулю, избавляемся от иррациональности в знаменателе и получаем

    \[(a-2\sqrt{2})\cdot (a-\sqrt{2})\leqslant 0\]

Откуда a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}).

Но может иметь и один корень, тогда его дискриминант равен 0.

    \[D=36-4(a-1)(a+1)=40-4a^2=0\]

    \[a=\sqrt{10}\]

Так как мы уже видели, что интересующая нас дуга лежит выше оси x, то отрицательное значение параметра отбрасываем.

Ответ a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup \{\sqrt{10}\}.

Способ 3. Я просто построила оба графика, очень приближенно, и сложила ординаты точек (на глаз, примерно).

Графики обеих тригонометрических функций

Затем отметила отрезок, который меня интересует, и просто подставила его края, потому что видно, что горизонтальная прямая пересекает график один раз между точками A и B:

Определяем значение параметра в точках A и B

 

Для точки A (тут два корня):

    \[3\sin \frac{\pi}{4}+ \cos \frac{\pi}{4} =a\]

    \[a= 3\frac{\sqrt{2}}{2}+ \frac{\sqrt{2}}{2} =2\sqrt{2}\]

Для точки B:

    \[3\sin \frac{3\pi}{4}+ \cos \frac{3\pi}{4} =a\]

    \[a= 3\frac{\sqrt{2}}{2}- \frac{\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2}\]

И для точки C, в которой функция принимает наибольшее значение:

    \[f(x)= 3\sin x+ \cos x\]

    \[f'(x)=3\cos x-\sin x=0\]

    \[\operatorname{tg} x=3\]

Тогда при таком тангенсе \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}}, \cos x=\frac{1}{\sqrt{10}}. Таким образом,

    \[a= 3\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}\]

Так как в точке A два корня, значение параметра a=2\sqrt{2} выкалываем.

Ответ a \in [\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup \{\sqrt{10}\}.

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *